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《线性系统理论》实验指导书
线性系统理论
实验指导书
同济大学电气工程系
2011-9-18
实验一控制系统模型及特征
一.实验目的
1.熟悉描述线性系统的几种模型形式,以及在MATLAB中的表示方式;
2.了解这些模型之间的相互转换;
3.了解这些模型的基本特性.
二.实验内容
1.MATLAB的基本功能
Matlab是matrixlaboratory的缩写
(1)基础部分矩阵运算,如矩阵的加、减、乘、逆阵、乘方;矩阵的超越函数(指数,对数,开方);三角变换,正交变换,秩等等。
(2)提供了大量的数学基本函数及基本运算和逻辑运算,如:
abs(绝对值或复数模值),sqrt方根,sin,cos,tan及反函数,指数,对数,Г函数,Bessel函数等等。
(3)提供了二维、三维作图功能:
Plot,Subplot。
(4)在基本运算和函数的基础上安装有专用工具包,如:
控制系统工具箱,辩识,优化,信号处理工具箱等。
(5)可以用来作通用计算,解代数方程,数字信号处理,自动控制理论与仿真辨识等等。
2.基本数学模型的MATLAB输入及相互转换
控制系统工具箱可用于线性时不变(LTI)系统模型。
其模型的输入方法分别可采用不同方法。
(1)传递函数:
有num=[231],den=[1465]
sys1=tf(num,den)
(2)传递函数:
有z=[-1-2],p=[-5–10-12],
k=5,sys2=zpk(z,p,k)
(3)状态空间形式:
sys3=ss(A,B,C,D)
(4)可在SIMULINK中输入MATLAB中生成的方法来实现
linmod-Extractlinearmodelfromcontinuous-timesystem.
linmod2-Extractlinearmodel,advancedmethod.
(5)模型之间相互转换
ss-Conversiontostatespace.
zpk-Conversiontozero/pole/gain.
tf-Conversiontotransferfunction.
tf2ss,ss2tf
如:
sys4=ss(sys1)
3.模型的特征
(1)特征根,极点,自然频率等
pole,eig-Systempoles.
pzmap-Pole-zeromap.
damp-Naturalfrequencyanddampingofsystempoles.
(2)根轨迹等图形特征
rlocus-Evansrootlocus
bode-Bodeplotofthefrequencyresponse.
nyquist-Nyquistplot.
nichols-Nicholschart.
ltiview-ResponseanalysisGUI.
(3)能控性与能观性
ctrb-Controllabilitymatrix.
obsv-Observabilitymatrix.
Rank(Qc),Rank(Qo)
(4)稳定性
pole,eig-Systempoles
(5)规范型
canon-State-spacecanonicalforms.
Jordan-
(6)输入响应
step(sys2,10)-Stepresponse.
Impulse(sys2,10)-Impulseresponse.
lsim-Responsetoarbitraryinputs.
例如:
t=0:
0.01:
10,u=stepfun(t,0),lsim(sys2,u,t)
4.实例
例如传输函数:
%Supposewestartwithaplantdescriptionintransferfunctionform:
%
%0.2s2+0.3s+1
%H(s)=----------------------------------
%(s2+0.4s+1)(s+0.5)
%
num=[0.20.31];
den1=[10.41];
den2=[10.5];
den=conv(den1,den2)
%printsys(num,den)
%naturalfrequenciesanddampingfactorsoftheplantpoles:
damp(den)
rlocus(num,den);
fprintf('Pressanykeytocontinue');
pause%Pressanykeyafterplot...
%Theplantmaybeconvertedtoastatespacerepresentation
%x=Ax+Bu
%y=Cx+Du
%usingthetf2sscommand:
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);pause%Strikeanykeytocontinue.
%Forsystemsdescribedinstate-spaceorbytransferfunctions,
%thestepresponseisfoundbyusingtheSTEPcommand:
step(a,b,c,d,1);
title('Stepresponse'),pause%Pressanykeyafterplot
%ThefrequencyresponseisfoundbyusingtheBODEcommand:
bode(a,b,c,d,1);pause%Pressanykeyafterplot
end
三.实验报告
1.求下列系统的基本特性:
零点、极点、极点、阻尼、Bode图,阶跃响应、脉冲响应和正弦响应,并将它们转换为状态空间描述。
2.求下列系统的规范型
1)
,2)
实验二控制系统的运动分析
一.实验目的
熟悉SIMULINK仿真方法,研究在不同模型参数条件下系统的响应.
二.实验内容
1.Simulink主要模块介绍
(1)Continuous连续系统模块
(2)MathOperations数据计算模块
(3)Sources信号源模块
(4)Sinks输出显示模块
2.Simulink建模
整个建模过程如下:
(1)在Simulink环境下,创建新的模型文件:
SimulinkLibraryBrowser->File->New->Model创建成功模型输入窗口。
(2)输入模型及设置参数
根据系统的模型,在SimulinkLibraryBrowser窗口选择相应的模块,直接用鼠标拖到model*窗口;模块之间用线连接起来。
各模块的参数可以通过直接双击该模块,弹出参数设置对话框来进行设置。
3.Simulink仿真
模型输入完成后,就可以进行仿真。
仿真时直接点击►就开始仿真。
仿真时采用的参数可以通过下列方式设置:
Simulation->Simulationparameters
可设置参数有:
仿真总时间Simulationtime(开始时间-结束时间)
积分步长和积分方法Solveroptions
三.实验报告
1.线性系统的研究
现有一典型两阶控制系统的结构图如下
当输入为单位阶跃输入条件下,研究:
(1)当
时,对系统响应的影响;
(2)当
时,对系统响应的影响.
(3)输入为sin(wt)的响应。
2.写出实验报告:
结果以及分析。
实验三状态反馈控制器设计
一.实验目的
熟悉状态反馈控制器的设计原理以及MATLAB的设计方法.
二.实验内容
1.极点配置算法
给定一个线性定常系统的状态空间模型
(3.1)
在状态反馈
(3.2)
作用下,闭环系统得状态方程是
(3.3)
对于给定系统(3.1)和一组给定的期望闭环极点
,按以下步骤可以设计出闭环系统(3.3)具有给定极点的状态反馈控制器(3.2)。
MATLAB提供了两个函数,来确定极点配置问题的状态反馈控制器K.
1)K=acker(A,B,P),其中A,B为系统矩阵,P为期望的闭环极点,而返回的变量K为状态反馈向量。
该函数只能应用到单输入系统,要配置的闭环极点中可以包含多重极点。
2)K=place(A,B,P),其中A,B为系统矩阵,P为期望的闭环极点,而返回的变量K为状态反馈向量。
该函数适用于多输入系统,但要配置的闭环极点中不可以包含多重极点。
2.线性二次型最优控制器
考虑控制系统的状态空间模型
(3.4)
其中:
x是n维状态向量,u是m维控制向量,y是r维的输出向量,A、B和C分别是nxn、nxm和rxn维的已知常数矩阵,系统的初始状态是x(0)=x
系统的性能指标是
(3.5)
其中:
Q为对称正定(或半正定)矩阵,R为对称正定矩阵。
性能指标右边的第一项表示对状态x的要求,这一项越小,则状态x衰减到零的速度越快,振荡越小,因此控制性能就越好。
第二项是对控制能量的限制。
若系统的状态是可以直接测量的,且考虑的控制器是状态反馈控制器,则可以证明,使得性能指标(3.5)最小化的最优控制器具有以下的线性状态反馈形式
(3.6)
式中的
是mxn维状态反馈增益矩阵,P是以下黎卡提矩阵方程
(3.7)
的对称正定解矩阵。
此时,性能指标的最小值是
,最优闭环系统
(3.8)
是渐进稳定的,即矩阵A-BK的所有特征值均具有负实部。
MATLAB中的函数
给出了相应线性二次型最优控制问题的解。
三.实验报告
1.给定一个四阶系统模型
希望闭环系统的闭环极点配置在
,求状态反馈控制器。
2.考虑由以下状态空间模型描述的系统
系统的性能指标为
其中:
试设计最优状态反馈控制器,并检验最优闭环系统对初始状态
的响应。
实验四状态观测器设计及综合分析
一.实验目的
1.熟悉状态观测器的设计原理以及MATLAB的设计方法。
2.熟悉将控制器与观测器全部应用到系统的应用方法。
二.实验内容
1.全维观测器设计
给定线性定常系统
要求设计一个全维观测器,使得观测器的极点是
。
配置全维观测器极点的M-file为:
A=[010;001;1.2440.3965-3.145];
B=[0;0;1.244];
C=[100];
V=[-5+j*5*sqrt(3)-5-j*5*sqrt(3)-10];
L=(acker(A’,C’,V))’;
执行以上程序可得
相应得全维观测器是:
2.降维观测器设计
给定线性定常系统
假设输出y可准确量测,要求设计一个降维观测器,使得观测器的极点是
。
由于输出y可准确量测,同时
因此可得:
配置降维观测器的M-file为:
A11=[0];
A12=[10];
A21=[0;1.244];
A22=[01;0.3965-3.145];
B1=[0];
B2=[0;1.244];
V=[-5+j*5*sqrt(3)-5-j*5*sqrt(3)];
L=(acker(A22’,A12’,V))’;
Ah=A22-L*A12;
Bh=Ah*L-L*A11;
Fh=B2-L*B1;
可得:
相应得降维观测器是:
三.实验报告
1.给定线性定常系统
试针对被控对象设计基于全维观测器的状态反馈控制器,要求希望系统的闭环极点是
,同时观测器的极点是
,要求:
1)设计状态反馈控制器;
2)设计全维观测器;
3)闭环系统的阶跃响应,并同开环系统的响应进行比较。
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