七年级上册学霸笔记数学有理数章节.docx
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七年级上册学霸笔记数学有理数章节
华师大七年级数学学霸笔记(可用于期末复习)电子版
负数:
比0小的数正数:
比0大的数0既不是正数,也不是负数
注意:
①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。
(如果出判断题为:
带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)
具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:
零上8℃表示为:
+8℃;零下8℃表示为:
-8℃
*常见的相反意义的量有:
支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量,它们计数:
比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反,比原先少了的数,减少降低了的数一般记为负数。
0表示的意义
⑴0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;
⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。
有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:
只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
(易错点、易混点)
注意:
引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。
有理数的分类:
①按正、负分类:
按有理数的意义来分:
总结:
①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
注意:
有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性;
自然数0和正整数;a>0a是正数;a<0a是负数;
a≥0a是正数或0a是非负数;a≤0a是负数或0a是非正数.
数轴的概念
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:
⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
数轴上特殊的最大(小)数(考选择题)
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数
数轴上点的移动规律(重难点)
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。
相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
注意:
⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个;
⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。
0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。
说明:
在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:
5的相反数是-5);0的相反数还是0;
⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。
化简得-5a-b);注意:
a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:
-5的相反数是-(-5),化简得5);)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数
相反数的表示方法(难点)
⑴一般地,数a的相反数是-a,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。
当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)
当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
多重符号的化简
多重符号的化简规律:
“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:
“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正,简称奇负偶正。
绝对值
绝对值的几何定义:
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
绝对值的代数定义(重点)
⑴一个正数的绝对值是它本身;⑵一个负数的绝对值是它的相反数;⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为:
①如果a>0,那么|a|=a;②如果a<0,那么|a|=-a;③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:
a≥0,<═>|a|=a(非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。
)
②a≤0,<═>|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。
)
绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。
所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。
即
(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;绝对值是0的数是0.即:
a=0<═>|a|=0;
⑵任何一个数的绝对值都是非负数,绝对值最小的数是0.绝对值可表示为:
或
;即:
|a|≥0;绝对值的问题经常分类讨论;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。
即:
|a|≥a;
;
;(难点)
(4)绝对值相等的两数相等或互为相反数。
即:
|a|=|b|,则a=b或a=-b;
(5)若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。
即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:
若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)(常考00题)
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:
数轴上的两个数相比较,左边的数总比右边的数小,或者右边的数总比左边的数大
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:
两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
(3)正数的绝对值越大,这个数越大;
(4)正数永远比0大,负数永远比0小;
(5)正数大于一切负数;
(6)大数-小数>0,小数-大数<0.
5.绝对值的化简(重难点)
①当a≥0时,|a|=a;②当a≤0时,|a|=-a
6.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。
有理数的加减法.
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
⑶互为相反数的两数相加,和为零;
⑷一个数与0相加,仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律:
a+b=b+a
⑵加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。
即:
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