第2章单自由度系统的受迫振动题解.docx
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第2章单自由度系统的受迫振动题解
习题
2-1已知系统的弹簧刚度k=800N/m,作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s,相邻两振幅的比值
,若质量块受激振力
N的作用,求系统的稳态响应。
解:
由题意,可求出系统的运动微分方程为
得到稳态解
其中
由
又
有
所以x=1.103cos(3t-51°27¢)
2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用,当激振频率ω1=6rad/s时,系统发生共振;给质量块增加1kg的质量后重新试验,测得共振频率ω2=5.86rad/s,试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解:
设原系统的质量为m,弹簧常数为k
由
,共振时
所以
①
又由当
②
①与②联立解出m=20.69kg,k=744.84N/m
2-3总质量为W的电机装在弹性梁上,使梁产生静挠度
,转子重Q,重心偏离轴线e,梁重及阻尼可以不计,求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
解:
列出平衡方程可得:
所以:
,又因为
即为所求的振幅
题2-4图
2-4如题2-4图所示,作用在质量块上的激振力
,弹簧支承端有运动
,写出系统的运动微分方程,并求稳态振动。
解:
选
时物块平衡位置为坐标原点O,建立坐标系,如右图,
则
即
即
(*)
改成
,下面也都一样
利用复数求解,用
代换sinwt并设方程(*)的特解为
代入方程(*)得
其中B为振幅,
为响应与激励之间的相位差,有
=
。
其中
2-5如题2-5图的弹簧质量系统中,两个弹簧的连接处有一激振力
,求质量块的振幅。
题2-5图
解:
设弹簧1,2的伸长分别为x1和x2,则有,
(A)
由图
(1)和图
(2)的受力分析,得到
(B)
(C)
联立解得,
所以
,n=0,得,
2-6在题2-6图示的系统中,刚性杆AB的质量忽略不计,B端作用有激振力
,写出系统运动微分方程,并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值∶
(1)系统发生共振;
(2)ω等于固有频率pn的一半。
解:
图
(1)为系统的静平衡位置,以为系统的广义坐标,画受力如图
(2)
又I=ml2
则
1)系统共振,即
2)
2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程,并求系统固有频率pn、阻尼比
及稳态响应振幅。
题2-7图
解:
以刚杆转角
为广义坐标,由系统的动量矩定理
即
令,
,
,
,
,
得到
2-8一机器质量为450kg,支承在弹簧隔振器上,弹簧静变形为0.5cm。
机器有一偏心重,产生偏心激振力
N,其中ω是激励频率,g是重力加速度。
求
(1)在机器转速为1200r/min时传入地基的力;
(2)机器的振幅。
解:
设系统在平衡位置有位移
,
则
,即
,又有
则
(1)
所以机器的振幅为
(2)且
,
(3)
又有
(4)将
(1)
(2)(4)代入
(2)得机器的振幅
=0.584mm
则传入地基的力为
2-9一个粘性阻尼系统在激振力
作用下的强迫振动力为
,已知F0=19.6N,B=5cm,
rad/s,求最初1秒及1/4秒内,激振力作的功W1及W2。
解:
由已知可得:
同理可得:
2-10无阻尼系统受题2-10图示的外力作用,已知
,求系统响应。
周期函数才用频谱分析!
解:
由图得激振力方程为
当0 ,则有 由于 ,所以有 当t1 ,则有 当t ,则有 +0 2-11如题2-11图的系统,基础有阶跃加速度bu(t),初始条件为 ,求质量m的相对位移。 解: 由牛顿定律,可得系统的微分方程为 令 ,则有 得到系统的激振力为, ,可得响应为 其中 , , 。 2-12上题系统中,若基础有阶跃位移au(t),求零初始条件下的绝对位移。 解: 由上题可得系统的微分方程为 即 基础有阶跃位移为 故 =0 = 得到系统的激振力为, ,可得响应为 其中 , , 。 2-13求零初始条件的无阻尼系统对题2-13图示激振力的响应。 题2-13图 解: 由图得激振力方程为 当0 ,则有 当t》t1时, ,则有 2-14零初始条件的无阻尼系统受题2-14图的外力作用,求系统响应。 题2-14图 解: 由图得激振力方程为 运动微分方程为 当 时, 当 时, 算法同上,所以有 当 时, +0 系统响应为 题2-15图 2-15零初始条件的无阻尼系统受题2-15图的半正弦脉冲作用,若 ,求系统响应。 解: 由图得激振力方程为 当0 ,则有 当t>t1时, ,则有 2-16求无阻尼系统对题2-16图的抛物型外力 的响应,已知 。 解: 由图得激振力方程为 当0 ,则有 当t ,则有 2-17无阻尼系统的支承运动加速度如题2-17图所示,求零初始条件下系统的相对位移。 题2-17图 解: 系统运动的微分方程为 令 ,则 由图得支承运动加速度方程为 当0 ,则有 当t>t1时, ,则有 2-18求零初始条件的无阻尼系统对题2-18图所示支承运动的响应。 解: 系统运动的微分方程为 题2-18图 由图得支承运动方程为 当0 ,则有 当t ,则有 2-19题2-19图为一车辆的力学模型,已知车的质量m、悬挂弹簧的弹簧常数k及车的水平行驶速度v,道路前方有一隆起的曲形地面∶ 。 (1)求车通过曲形地面时的振动; (2)求车通过曲形地面后的振动。 题2-19图 解: 由牛顿定律,可得系统的微分方程为, 由曲形地面∶ ,得到 得到系统的激振力为, 。 (1)车通过曲形地面时 的振动为 (2)车通过曲形地面后的振动 车通过曲形地面后 以初位移 和初速度 作自由振动,即 , 由公式 ,得到车通过曲形地面后的振动响应为 其中 , 。 或积分为 兰亭序 永和九年,岁在癸丑,暮春之初,会于会稽山阴之兰亭,修禊事也。 群贤毕至,少长咸集。 此地有崇山峻岭,茂林修竹;又有清流激湍,映带左右,引以为流觞曲水,列坐其次。 虽无丝竹管弦之盛,一觞一咏,亦足以畅叙幽情。 是日也,天朗气清,惠风和畅,仰观宇宙之大,俯察品类之盛,所以游目骋怀,足以极视听之娱,信可乐也。 夫人之相与,俯仰一世,或取诸怀抱,晤言一室之内;或因寄所托,放浪形骸之外。 虽取舍万殊,静躁不同,当其欣于所遇,暂得于己,快然自足,不知老之将至。 及其所之既倦,情随事迁,感慨系之矣。 向之所欣,俯仰之间,已为陈迹,犹不能不以之兴怀。 况修短随化,终期于尽。 古人云: “死生亦大矣。 ”岂不痛哉! 每览昔人兴感之由,若合一契,未尝不临文嗟悼,不能喻之于怀。 固知一死生为虚诞,齐彭殇为妄作。 后之视今,亦犹今之视昔。 悲夫! 故列叙时人,录其所述,虽世殊事异,所以兴怀,其致一也。 后之览者,亦将有感于斯文。
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- 第2章 单自由度系统的受迫振动题解 自由度 系统 振动 题解