五年级奥数周周练 第38周 最大最小问题 教师版答案.docx
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五年级奥数周周练第38周最大最小问题教师版答案
第38周最大最小问题
一、知识要点
在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为:
在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法:
1.枚举比较法。
当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较;
2.着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。
二、精讲精练
【例题1】把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里,使每边上7个小三角形内数的和相等。
问这个和最大值是多少?
【思路导航】为了方便描述,我们把图中部分三角形注上字母,从图中可以看出:
中心处D中填的数和三条边上的和没有关系,因此,应填最小的数1。
而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次,所以要尽可能填大数,即填11——16。
然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件,就可以计算出这个和的最大值了。
(2+3+4+…+16+11+12+13+14+15+16)÷3=72
练习1:
1.将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内,使三角形每条边上的和相等,这个和最大是多少?
要使三角形每条边上的和最大,那么三个顶点上的数字就是8,9,10。
5+6+7+8+9+10+(8+9+10)=72,72÷3=24,所以每条边上的和是24。
答:
这个和最大是24。
2.把2——9分别填入下图圆圈内,使每个大圆上的五个数的和相等,并且最大。
要使每个大圆上的五个数的和相等,2+3+4+5+6+7+8+9=44,那么公共部分两个数字的和应该是偶数;
要使每个大圆上的五个数的和最大,那么公共部分两个数的和为最大偶数,即9+7=16;
所以每个大圆上的五个数的和最大是(44+16)÷2=30。
3.将1——9这九个自然数分别填进九个小三角形中,使每4个小三角形组成的三角形内的4个数的和都等于20。
由题意可知,每4个小三角形组成的三角形内的4个数的和都等于20,其中中间三个三角形内的数字a、b、c用到2次(如图),其他数字都用到了1次,则(1+2+3+…+9)+(a+b+c)=20×3=60,a+b+c=15。
(1)因为4+5+6=15,所以a、b、c可以分别是4、5、6;
(2)又因为1+9+5=15,所以a、b、c可以分别是1、9、5。
【答案不唯一】
【例题2】有8个西瓜,它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克?
【思路导航】3堆西瓜的总重量是42.5千克,要使最重的一堆尽可能轻些,另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知:
最重的一堆是14+0.5=14.5千克,即由6千克和8.5千克组成,另外两堆分别是14千克。
练习2:
1.一把钥匙只能开一把锁。
现有9把钥匙和9把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁。
最多要试开多少次才能配好全部钥匙和锁?
从最差考虑,假设拿第一把钥匙去试,试到第八把锁时还没有打开,那么此时剩下的一把锁,不用试一定能打开,这样只试了8次即可打开;同理,拿第二把钥匙去试剩下的八把锁,尝试7次不能打开,那么这把钥匙一定能打开剩下的那把锁,这样只试了7次即可打开;以此类推,直到第八把钥匙去试剩下的两把锁,尝试1次不能打开,一定能打开剩下的那把锁,这样只试了一次即可打开,剩下的第九把钥匙就是第九把锁的钥匙。
总共试了8+7+6+5+4+3+2+1=36(次)。
答:
最多要试开36次才能配好全部钥匙和锁。
2.如果四个人的平均年龄是25岁,其中没有小于17岁的,且四人年龄都不相同。
那么年龄最大的最多是几岁?
由题意可知,四个人的平均年龄是25,那么四个人的年龄和是25×4=100岁,要使年龄大的尽可能大,那么,另外三人就尽可能的小,因为四个人没有小于17的,当其余三个人为17、18、19岁,此时年龄最大的岁数最多。
25×4-17-18-19=46(岁)
答:
年龄最大的最多是46岁。
3.五位同学捐款,他们捐的钱有3张1元的,4张2元的,3张5元的和3张10元的。
这五位同学捐款数各不相同,问:
捐款最多的同学至少捐了多少元?
设捐款最多的同学捐了x元,总共捐了(1×3+2×4+5×3+10×3=)56元,
由于捐款数各不相同,至少相差1元,只有三个1元,剩下一个相差2元,
则x+(x-1)+(x-2)+(x-3)+(x-5)≥56
解得x≥13.4
所以捐款最多的同学至少捐了14元。
检验:
第一:
10+2+2=14(元)
第二:
10+2=12(元)
第三:
10+1=11(元)
第四:
5+5=10(元)
第五:
5+1+1+2=9(元)
满足3张1元的,4张2元的,3张5元的和3张10元的条件,成立。
答:
捐款最多的同学至少捐了14元。
【例题3】一次数学考试满分100分,6位同学平均分为91分,且6人分数互不相同,其中得分最少的同学仅得65分,那么排第三名的同学至少得多少分?
(分数取整数)
【思路导航】除得65分的同学外,其余5位同学的总分是91×6-65=481分。
根据第三名同学得分要至少,也就说其他四人得分要尽量高,第一、第二名分别得100分和99分,而接近的三个不同分是93、94、95。
所以,第三名至少得95分。
(91×6-100-99-65)÷3=94(分)
94+1=95(分)
答:
排第三名的同学至少得95分。
练习3:
1.一个三位数除以43,商a余数是b(a、b都是整数),求a+b的最大值。
假设这个三位数是999,999÷43=23……10,
所以,当余数b是43-1=42,商a是23-1=22时,a+b是最大值。
a+b=22+42=64
答:
a+b的最大值是64。
2.如下图,有两条垂直相交的线段AB、CD,交点为E。
已知DE=2CE,BE=3AE。
在AB和CD取3个点画三角形,问:
怎样取三个点,画出的三角形面积最大?
分别连接AD、BD、BC和AC(如图),分别得到△ACE、△BCE、△BDE和△ADE,再看怎样组成的三角形的面积最大。
因DE=2CE,BE=3AE,
所以S△ADE=2S△ACE,
S△BCE=3S△ACE,
S△BDE=3S△ADE=6S△ACE,
所以△BCD的面积最大(S△BCD=9S△ACE),即取B、C、D这3个点画出的三角形面积最大;
答:
取B、C、D这3个点画出的三角形面积最大。
3.一次考试满分100分,5位同学平均分是90分,且各人得分是不相同的整数。
已知得分最少的人得了75分,那么,第三名同学至少得了多少分?
除了75分的同学外,其余4位同学的总分是90×5-75=375(分),根据第三名同学得分要“至少”,也就是说其他三人得分要尽量高,第一、二名分别得100分和99分,而其他最接近的两个不同数是87、89,所以第三名至少得89分。
(90×5-75-100-99)÷2=88(分)
88+1=89(分)
答:
第三名同学至少得了89分。
【例题4】一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米,每一种庄稼需要先收割好、捆好,然后往回运输。
现由两个小组分别承包这两项工作,工时如下表(一种庄稼不割好、捆好,不准运输),这两组从开工到完工最少经过多少小时?
【思路导航】先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来:
大豆7+5=12小时,谷子3+6=9小时,高梁5+1=6小时,小米5+9=14小时。
平均每个小组用(12+9+6+14)÷2=20.5小时,但实际做不到。
因此,根据各类庄稼所需时间相加,使其最接近20.5小时。
12+9=21小时是最少经过的时间。
练习4:
1.三个老师为7位不同的扮演者化妆,这7位同学化妆需要的时间分别为8、12、14、17、18、23、30分钟。
如果三位老师化妆速度相同,问最少经过多少时间完成化妆任务?
由题意可知,7位同学依次化妆总共需要8+12+14+17+18+23+30=122分钟,现在三个老师同时工作,平均每人分担的是122÷3≈41分钟,三个老师为7人化妆,观察这些时间的特点,会知道其中两个老师要分别为2位同学化妆,其余一个老师要为3位同学化妆,时间最长者30只能和12分钟搭配最接近41,30+12=42分钟,依次类推,23和17搭配刚好40分钟,剩下的8+14+18=40分钟,所以最少经过42分钟完成化妆任务。
2.甲、乙、丙三位同学为7棵树苗浇水,由于各棵树路程的远近关系,需浇水的时间分别为:
4、5、6、6、8、9、9分钟。
现三人各自同时开始,至少几分钟全部浇完?
浇完7棵树苗需要4+5+6+6+8+9+9=47分钟,平均每个人需要47÷3=15(分)……2(分),但实际做不到,因此,根据每棵树所需时间相加,使其接近15,三人分别浇树4+5+6=15分钟,6+9=15分钟,8+9=17分钟,所以至少17分钟全部浇完。
3.有五人来理发,按发型所用时间是10、12、15、22和24分钟。
由两位师傅同时为这五人理发,问怎样安排,使五人理发和等候的时间总和最少,最少是多少分钟?
五人总共理发时间是10+12+15+22+24=83分钟,两位师傅平均需要理发41.5分钟,要使五人理发和等候的时间总和最少,所以两位师傅理发时间分别是10+12+22=44分钟,15+24=39分钟,所以最少是44分钟。
【例题5】A、B、C是三个风景点,从A出发经过B到达C要走18千米,从A经过C到B要走16千米,从B经过A到C要走24千米。
相距最近的是哪两个风景点?
它们之间相距多少千米?
【思路导航】根据题意可知,AB+BC=18千米,AC+BC=16千米,AB+AC=24千米,用(18+16+24)÷2就能算出AB+BC+AC=29千米。
因此,AC=29-18=11千米,AB=29-16=13千米,BC=29-24=5千米。
B、C两个风景点的距离最近,只相距5千米。
练习5:
1.人民路两侧有三家大商店,从甲店经过乙店到丙店要走300米,从乙店经过丙店到甲店要走350米,从丙店经过甲店到乙店要走250米。
哪两家店之间的距离最近?
相距多少米?
设甲店到乙店的距离是a,乙店到丙店的距离是b,丙店到甲店的距离是c,则a+b=300,b+c=350,c+a=250,得a+b+c=(300+350+250)÷2=450,所以
a=450-350=100,
b=450-250=200,
c=450-300=150。
答:
甲店到乙店之间的距离最近,相距100米。
2.在期中测试中,小华语文和数学平均成绩是96分,数学和作文平均成绩是88分,语文和作文平均成绩是86分。
求小华的这三门功课哪门得分最高,是多少分?
三门功课的总分:
(96×2+88×2+86×2)÷2=270(分)
作文:
270-96×2=78(分)
语文:
270-88×2=94(分)
数学:
270-86×2=98(分)
答:
数学的得分最高,是98分。
3.十个参赛者的平均得分是82分,前6名的平均分是83分,后6名的平均分是80分。
那么第5名和第6名的平均分是多少分?
10个参赛者的总分是:
82×10=820(分),
前6人的总分是:
83×6=498(分),
后6人的总分是:
80×6=480(分),
第5名和第6名的总分是:
498+480-820=158(分),
所以第5名和第6名的平均分是:
158÷2=79(分)。
答:
第5名和第6名的平均分是79分。
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