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系统工程教案中国矿大第五章
第五章系统仿真及系统动力学方法
第一节系统仿真概述
一、概念及作用
1、基本概念
所谓系统仿真,就是根据系统分析的目的,在分析系统各要素性质及其相互关系的基础上,建立能描述系统结构或行为过程的、且具有一定逻辑关系或数学方程的仿真模型,据此进行试验或定量分析,以获得正确决策所需的各种信息。
2、系统仿真的实质
(1)它是一种对系统问题求数值解的计算技术。
尤其当系统无法建立数学模型求解时,仿真技术却能有效地来处理这类问题。
(2)仿真是一种人为的试验手段,进行类似于物理实验、化学实验那样的实验。
它和现实系统实验的差别在于,仿真实验不是依据实际环境,而是作为实际系统映象的系统模型以及相应的“人造”环境下进行的。
这是仿真的主要功能。
(3)在系统仿真时,尽管要研究的是某些特定时刻的系统状态或行为,但仿真过程也恰恰是对系统状态或行为在时间序列内全过程进行描述。
换句话说,仿真可以比较真实地描述系统的运行、演变及其发展过程。
3、系统仿真的作用
(1)仿真的过程也是实验的过程,而且还是系统地收集和积累信息的过程。
尤其是对一些复杂的随机问题,应用仿真技术是提供所需信息的唯一令人满意的方法。
(2)对一些难以建立物理模型和数学模型的对象系统,可通过仿真模型来顺利地解决预测、分析和评价等系统问题。
(3)通过系统仿真,可以把一个复杂系统降阶成若干子系统以便于分析。
(4)通过系统仿真,能启发新的思想或产生新的策略,还能暴露出原系统中隐藏着的一些问题,以便及时解决。
二、系统仿真方法
系统仿真的基本方法是建立系统的结构模型和数学模型,并将其转换为适合在计算机上编程的仿真模型,然后对模型进行仿真实验。
由于连续系统和离散(事件)系统的数学模型有很大差别,所以系统仿真方法基本上分为两大类,即连续系统仿真方法和离散系统仿真方法。
连续系统是指系统中的状态变量随时间连续地变化的系统。
由于连续系统数学模型主要描述每一实体的变化速率,故数学模型通常是由微分方程组成。
当系统比较复杂,尤其是包含非线性因素时,这种微分方程的求解就非常困难,故要借助仿真技术,其基本思想为:
将用微分方程所描述的系统转变为能在计算机上运行的模型,然后进行编程、运行或其它处理,以得到连续系统的仿真结果。
连续系统仿真方法根据仿真时所采用计算机的不同,可分为模拟仿真法、数字仿真法及混合仿真法。
在连续系统仿真中,还需要解决仿真任务分配、采样周期选择和误差补偿等特殊问题。
离散系统是离散事件动态系统的简称。
指的是系统状态变量只在一些离散的时间点上发生变化的系统。
这些离散的时间点称为特定时刻,在这些特定时刻由于有事件发生所以才引起系统状态发生变化,而其它时刻系统状态保持不变。
离散系统的另一个主要特点是随机性。
因为这类系统中有一个或多个输入量是随机变量而不是确定量,所以它的输出也往往是随机变量。
描述这类系统的模型一般不是一组数学表达式,而是一幅表示数量关系和逻辑关系的流程图,可分为三部分,即:
“到达”模型(输入)、“服务”模型(输出)和“排队”模型(系统活动)。
前两者一般用一组不同概率分布的随机数来描述,而系统活动则通常由一个运行程序来描述。
对这类系统问题,主要使用数字计算机进行仿真实验。
这种仿真实验的步骤包括:
画出系统的工作流程图;确定“到达”模型、“服务”模型和“排队”模型;编制描述具体系统活动的运行程序并在计算机上运行。
一般说来,在管理领域中经常遇到的往往是离散事件动态系统,常见的有库存控制系统、随机服务系统等等。
在以上两类基本方法的基础上,还有一些用于系统(特别是社会经济和管理系统)仿真的特殊而有效的方法,如系统动力学方法、蒙特卡洛法等。
系统动力学方法通过建立系统动力学模型(流图等)、利用DYNAMO仿真语言在计算机上实现对真实系统的仿真实验,从而研究系统结构、功能和行为之间的动态关系。
该方法不仅仅是一种系统仿真方法,其方法论充分体现了系统工程方法的本质特征。
三、系统动力学的发展及特点
1、由来和发展
系统动力学(SystemsDynamics,SD)是美国麻省理工学院(MIT)J.W.弗雷斯特(J.W.Forrester)教授最早提出的一种对社会经济问题进行系统分析的方法论和定性与定量相结合的分析方法。
目的在于综合控制论、信息论和决策论的成果,以电子计算机为工具,分析研究信息反馈系统的结构和行为。
第四章的系统结构化方法和动态系统(尤其是离散系统)的状态空间模型等也是SD描述与研究系统的方法论及方法基础。
SD的出现始于20世纪50年代后期,当时,主要应用于工商企业管理,处理诸如生产与雇员情况的波动、企业的供销、生产与库存、股票与市场增长的不稳定性等问题,并创立“IndustrialDynamics”(1959)。
此后在整个60年代,动力学思想与方法的应用范围日益扩大,其应用几乎遍及各类系统,深入到各种领域。
作为方法论基础,出现了“PrinciplesofSystems(1968)”。
总结美国城市兴衰问题的理论与应用研究成果的“UrbanDynamics(1969)”和著名的“WorldDynamics(1971)”等也是J.W.弗雷斯特等人的重要成就。
1972年正式提出“SystemsDynamics”。
从50年代末到70年代初的十多年,是SD成长的重要时期。
70年代以来,SD经历两次严峻的挑战并走向世界,进入蓬勃发展时期。
第一次挑战(70年代初到70年代中):
SD与罗马俱乐部一起闻名于世,走向世界,其主要标志是两个世界模型(WORLDⅡ,Ⅲ)的研制与分析[WORLDⅡ—“WorldDynamics,Forrester,1971”;WORLDⅢ—“TheLimitstoGrowth,D.Meadows,1972”和“TowardGlobalEquilibrium,D.Meadows,1974”]。
第二次挑战(70年代初到80年代中):
对美国全国SD模型的研制和对美国与整个西方国家经济长波(LongWave)问题的研究。
近年来SD正在成为一种新的系统工程方法论和重要的模型方法,渗透到许多领域,尤其在国土规划、区域开发、环境治理和企业战略研究等方面,正显示出它的重要作用。
尤其是随着国内外管理界对学习型组织的关注,SD思想和方法的生命力更为强劲。
但目前应更加注重SD的方法论意义,并注意其定量分析手段的应用场合及条件。
2、研究对象
SD的研究对象主要是社会(经济)系统。
该类系统的突出特点是:
(1)社会系统中存在着决策环节
社会系统的行为总是经过采集信息,并按照某个政策进行信息加工处理作出决策后出现的,决定是一个经过多次比较、反复选择、优化的过程。
对于大规模复杂的社会系统来说,其决策环节所需要的信息的信息量是十分庞大的。
其中既有看得见、摸得着的实体,又有看不见、摸不到的价值、伦理、道德观念及个人、团体的偏见等因素。
(2)社会系统具有自律性
自律性就是自己作主进行决策,自己管理、控制、约束自身行为的能力和特性。
工程系统是由于导入反馈机构而具有自律性的;社会系统因其内部固有的“反馈机构”而具有自律性。
因此,研究社会系统的结构,首先(也是最重要的)就在于认识和发现社会系统中所存在着的由因果关系形成的反馈机构。
(3)社会系统的非线性
非线性是指社会现象中原因和结果之间所呈现出的极端非线性关系。
如:
原因和结果在时间和空间上的分离性、出现事件的意外性、难以直观性等。
高度非线性是由于社会问题的原因和结果相互作用的多样性、复杂性造成的。
具体来说,一方面是由于社会问题的原因和结果在时间、空间上的滞后,另一方面是由于社会系统具有多重反馈结构。
这种特性可以用社会系统的非线性多重反馈机构加以研究和解释。
SD方法就是要把社会系统作为非线性多重信息反馈系统来研究,进行社会经济问题的模型化,对社会经济现象进行预测、对社会系统结构和行为进行分析,为企业、地区、国家、国际制定发展战略、进行决策,提供有用的信息。
3、模型特点
(1)多变量。
这主要是由SD对象系统的动态特性和复杂性所决定的。
SD模型有三种基本变量、五到六种变量。
(2)定性分析与定量分析相结合。
SD模型由结构模型(流图)和数学模型(DYNAMO方程)所组成。
(3)以仿真实验为基本手段和以计算机为工具。
SD作为一种计算机仿真分析方法,是实际系统的“实验室”,可在PD-plus、VENSIM等软件支持下来运行。
(4)可处理高阶次、多回路、非线性的时变复杂系统问题。
控制论目前只是在线性系统中应用较成功,与其有关的方法(如状态空间方法)主要研究系统平衡点或工作点附近的特性,较适合作短期预测,较难进长期过程的研究,经济计量学和经济控制论都十分重视真实系统的统计观测值和模型精确度。
它们所依赖的经济理论大多是静态而不是动态的,而且传统的数学工具很难分析研究非线性关系。
因此,它们很难描述复杂的、非线性的动态系统。
SD与以上方法比较,似乎更注重系统的内部机制与结构,强调单元之间的关系和信息反馈。
4、工作程序
SD的一般工作过程如图5—1所示。
政策
分析
(流图)(DYNAMOY方程)
图5—1SD工作程序示意图
第二节系统动力学模型化原理
一、SD的基本工作原理
首先通过对实际系统进行观察,采集有关对象系统状态的信息,随后使用有关信息进行决策。
决策的结果是采取行动。
行动又作用于实际系统,使系统的状态发生变化,这种变化又为观察者提供新的信息,从而形成系统中的反馈回路(见图5—2(a)。
这个过程可用SD流(程)图表示(如图5—2(b)))。
据此可归结出SD的四个基本要素、两个基本变量和一个基本(核心)思想如下:
SD的四个基本要素——状态或水准、信息、决策或速率、行动或实物流
SD的两个基本变量——水准变量(Level)
速率变量(Rate)
SD的一个基本思想——反馈控制
(b)
图5—2SD基本工作原理
还需要说明的是:
(1)信息流与实体流不同,前者源于对象系统内部,后者源于系统外部,
(2)信息是决策的基础,通过信息流形成反馈回路是构造SD模型的重要环节。
二、因果关系图和流(程)图
1、因果关系图
(1)因果箭:
连接因果要素的有向线段。
箭尾始于原因,箭头终于结果。
因果关系有正负极性之分。
正(+)为加强,负(-)为削弱。
因果链:
因果关系具有传递性。
用因果箭对具有递推性质的因素关系加以描绘即得到因果链。
因果链极性的判别标准:
因果链的符号与所含因果箭符号的乘积符号相同。
(2)因果(反馈)回路
原因和结果的相互作用形成因果关系回路(因果反馈回路、环)。
它是一种特殊的(即封闭的、首尾相接的)因果链。
如图5—3(a)、(b)和(e)所示。
社会系统中的因果反馈环是社会系统中各要素的因果关系本身所固有的。
正反馈回路,起到自我强化的作用,负反馈回路具有“内部稳定器”的作用。
多重因果(反馈)回路:
社会系统的动态行为是由系统本身存在着的许多正反馈和负反馈回路决定的,从而形成多重反馈回路。
如图5—3(c)、(d)、(f)所示。
SD认为,系统的性质和行为主要取决于系统中存在的反馈回路,系统的结构主要就是指系统中反馈回路的结构。
因果关系图举例见图5—3,其中包含了因果箭、因果链、因果反馈回路和多重因果反馈回路等。
(+)
(a)
)
期望
库存
+
(c)
)
+
(d)
)
偏见
(f)
图5—3因果关系例图
2、流(程)图
流(程)图(flowdiagram)是SD结构模型的基本形式,绘制流(程)图是SD建模的核心内容。
流(程)图通常由以下各要素构成:
信息流
(1)流(flow)是系统中的活动和行为,通常只区分出实体流和信息流。
符号见图5—4(a)。
图5—4(a)
(2)水准(Level)是系统中子系统的状态,是实物流的积累。
符号见图5—4(b)。
L1
图5—4(b)
(3)速率(Rate)表示系统中流的活动状态,是流的时间变化。
在SD中,R表示决策函数。
符号见图5—4(c)。
(4)参数(量)(Parameter)〓是系统中的各种常数,或者是在一次运行中保持不变的量。
符号见图5—4(d)。
R1
图5—4(c)
(初值)
。
图5—4(d)
图5—4(e)
(5)辅助变量(AuxiliaryVariable)其作用在于简化R的表示,使复杂的决策函数易于理解。
符号见图5—4(e)。
(6)源(Source)与洞(Sink)其含义和符号如图5—4(f)所示。
(洞)
图5—4(f)
(7)信息(Information)的取出常见情况及其符号如图5—4(g)所示。
R1
图5—4(g)
(8)滞后或延迟(Delay)由于信息和物质运动需要一定的时间,于是就带来原因和结果、输入和输出、发送和接收等之间的时差,并有物流和信息流滞后之分。
在SD中共有如下四种情况:
延迟时间
图5-4(h)
①DELAY1——对物流速率进行一阶指数延迟运算(一阶指数物质延迟)。
符号见图5-4(h)。
②DELAY3——三阶指数物质延迟。
符号见图5—4(h)。
③SMOOTH——对信息流进行一阶平滑(一阶信息延迟)。
符号见图5—4(i)。
④DLINF3——三阶信息延迟。
符号见图5-4(j)。
延迟时间
图5-4(i)图5-4(j)
三、SD结构模型的建模步骤
1、明确系统边界,即确定对象系统的范围。
、
2、阐明形成系统结构的反馈回路,即明确系统内部活动的因果关系链。
、
3、确定反馈回路中的水准变量和速率变量;、
水准变量是由系统内的活动产生的量,是由流的积累形成的、说明系统某个时点状态的变量;速率变量是控制流的变量,表示活动进行的状态。
产品
图5—5商店库存问题的对象系统界定
4、阐明速率变量的子结构或完善、形成各个决策函数,建立起SD结构模型(流图)。
例5—1SD结构模型建模举例——商店库存模型(建模的主要过程如图5—5、5—6、5—7所示)。
(―)
图5—6商店库存问题的因素关系图及变量类型
R2
D1:
期望的完成未供订货时间
D2:
调整生产时间
D3:
商店订货平滑化时间
S1:
平均销售量
S2:
库存差额
Y:
期望库存
图5—7商店库存问题的流(程)图
第三节基本反馈回路的DYNAMO仿真分析
一、基本DYNAMO方程
DYNAMO——DYNAmicModels
SD的主要过程之一是通过确定对角系统的水准变量、速率变量、常量、辅助变量等,分析各变量之间存在的函数关系,建立DYNAMO仿真模型,进行人工或计算机仿真。
这即是得到描述系统内部反馈机制的流(程)图后建立数学模型并进行定量分析的主要工作。
DYNAMO方程就是SD的数学模型。
DYNAMO是主要采用差分方程式描述有反馈的社会系统的宏观动态行为,并通过对差分及代数方程式的求解(简单迭代)进行计算机仿真的专用语言。
其最大特点是简单明了、容易使用。
SD的对象系统是随时间连续变化的动态系统。
在DYNAMO方程中变量一般带有时间标号,规定如图5—8所示。
现在
图5—8DYNAMO方程时间标号及其含义
SD使用逐步(stepbystep)仿真的方法,仿真的时间步长记为单位时间DT。
DT一般取值为0.1~0.5倍的模型最小时间常数(学习中可取作单位时间)。
SD中的基本DYNAMO方程主要有:
1、水准方程计算水准变量的方程。
其标准形式为:
LLEVEL.K=LEVEL.J+DT*(RIN.JK-ROUT.JK)
2速率方程计算速率变量的方程,是决策函数的具体形式。
RRATE.KL=f(L.K,A.K,C,…)
(1)无一定格式(f不定)。
建立速率方程颇费功夫;
(2)速率的值在DT内不变。
进一步说,速率方程是在K时刻进行计算,而在自K至L的时间间隔(即DT)中保持不变。
3、辅助方程辅助说明速率变量或简化决策函数的方程。
AAUX.K=g(A.K,L.K,P.JK,C,…)
(1)没有统一的标准格式;
(2)时间下标总中K;
(3)可由现在时刻的其它变量(A,L,R等)求出;
(4)有时需用T方程进一步说明A方程(“函数”部分详述。
)
4、赋初值方程
NLEVEL=…或NLEVEL=L0,
CL0=…
5、常量方程
CCON=…
在以上各种方程中:
L方程是积累(或差分)方程;
R、A方程是代数运算方程;
C、N、T为模型运行提供参数值,在一次模拟运算中保持不变(C、T)。
二、几种典型反馈回路及其仿真计算
(a)
1、一阶正反馈回路(以人口的增加机理为例)
(1)结构模型(如图5—9所示)
图5—9简单人口系统的因果关系图(a)和流(程)图(b)
请注意,系统的阶次数为回路中所含水准变量的个数。
(2)数学模型及仿真计算
LP·K=P·J+DT*(PRI·JK-0)
NP=100
RPRI·KL=C1*P·K
CC1=0.02
p
仿真计算结果如表5—1和图5—10所示。
┆
100
t
0
图5—10简单人口系统输出特性示意图表5—1简单人口系统SD仿真计算结果
2、一阶负反馈回路(以简单库存系统为例)
(1)结构模型(如图5—11所示)
期望库存Y
图5—11简单库存系统的因果关系图(a)和流程图(b)
。
(2)数学模型及仿真计算
LI·K=I·J+DT*R1·JK
NI=IO
CIO=1000
RR1·KL=D·K/Z
AD·K=Y-I·K
CZ=5
CY=6000
仿真计算结果如表5—2和图5—12所示。
6000
图5—12简单库存系统输出特性示意图
…..
表5—2简单库存系统SD仿真计算结果
3、二阶负反馈回路(以简单库存系统为基础)
库存
差额
(1)结构模型(如图5—13所示)
。
图5—13二阶库存系统的因果关系图(a)和流(程)图(b)
(2)量化分析模型及仿真计算
LG·K=G·J+DT*(R1·JK-R2·JK)
NG=G0
CG0=10000
RR1·KL=D·K/Z
AD·K=Y-I·K
CZ=5
CY=6000
RR2·KL=G·K/W
CW=10
LI·K=I·J+DT*R2·JK
NI=I0
CI0=1000
仿真计算结果如表5—3和图5—14所示。
表5—3二阶库存系统SD仿真计算结果
G1.JK
G.K
R2.KL
I.K
D.K
R1.KL
0
--
10000
1000
1000
5000
1000
1
0
10000
1000
2000
4000
800
2
-200
9800
980
3000
3000
600
3
-380
9420
942
3980
2020
404
…
…
…
…
…
…
…
注G1=R1-R2
I
图5—14二阶库存系统输出特性示意图
第四节DYNAMO函数
SD模型之所以能处理高阶非线性问题,关键在于DNNAMO语言设计了许多特殊函数(通过宏指令)。
它们在构造和调试模型上起着重要作用。
一、表函数(TableFunctions)
SD模型中往往需要用辅助变量描述某些变量间的非线性关系,这时,可用DYNAMO的表函数来比较简单、直接、方便地表示。
表函数的功能可通过以下两条语句来实现,并相当于图5—15所示结果:
AVAR·K=TABLE(表名,输入变量X·K,最小的X值Xm,最大的X值XM,X的增量ΔX)T表名=Y0,Y1,…,Yn或Y0/Y1/…/Yn
表名一般以T开头,如:
TVAR。
设计表函数的基本思路如下:
(1)确定出变量与入变量的基本函数关系;
(2)确定入变量的取值范围,并把它划分为若干等份;
(3)构造函数表;
(4)折线替代曲线。
若入变量取值在两个等分点之间,则用线性插值计算出变量数值。
(n=10)
图5—15表函数曲线示意图
图5—16二阶生态系统流(程)图
二阶生态系统的DYNAMO方程如下:
NOTE(或*)HA1ZAOZ1X1TONG
LHZS·K=HZS·J+DT*(FZL1·JK-TSL·JK)
NHZS=CSS(出世海藻数量,株)
CCSS=30000
RFZL1·KL=FZX1·K*HZS·K
AFZX1·K=TABLE(TFZX1,XDM·K,0,1.2,0.2)
TTFZX1=0.8,0.9,0.7,0.45,0.1,0.01,-0.2(海藻自然繁殖系数表)
AXDM·K=HZS·K/HZR(无量纲)
CHZR=10000(株)
ABSZ·K=TABLE(TBSZ,XDM·K,0,1.2,0.2)
TTBSZ=0/55/100/125/140/150/150
例5—2二阶生态系统的SD模型(流图如图5—16所示)。
每只贝类每天吞食的海藻数
二、延迟函数
延迟是信息反馈系统结构中颇为重要的一个角色,也是社会经济系统高度非线性的重要原因之一。
所以DYNAMO有数种延迟函数,为便利构模人员使用,它们被预先编制成相应的宏指令。
1、物质延迟
例5—3简单疾病蔓延问题的SD模型(结构模型如图5—17所示)
DUR治疗期
图5—17简单的疾病蔓延问题SD部分流(程)图
TSS
图5—18一阶物质延迟函数结构例图
图中虚线框内部分结构的DYNAMO方程如下:
LINC·K=INC·J+DT*(INF·JK-SYMP·JK)
NINC=TSS*INF(TSS为潜伏期,如流感的TSS=3天)
CTSS=3
RSYMP·KL=INC·K/TSS
上述部分结构可用一阶指数物质延迟环节及其函数代替,具体形式如图5—18所示。
在例5—3的基础上,对物质延迟函数可归结(或需说明)如下几点:
(1)DELAY1代替一组方程及相应的一组结构,使用方便。
但其中的状态变量(如INC)被隐含了,不能直接输出(不能绘图和打印出来),也无法通过它算出其它变量。
采用DELAYP函数可在一定程度上克服此困难;
RSYMP·KL=DELAYP(INF·JK,TSS,INC·K)
(2)一阶物质延迟环节的输出速率均具有同一形式,即LEV·K/DEL,如在本例中有SYMP.KL=INC·K/TSS及CURE·KL=SICK·K/DUR。
(3)DYNAMO能自动初始化DELAY1内部隐含的状态变量,以使其输入速率与经延迟的输出速率处于平衡,即在t=0时有:
SYMP=INC/TSS=(INF*TSS)/TSS=INF
(4)把一阶延迟环节中隐含的状态变量细分成三个状态变量(如把处于潜伏期的人口INC划分为三部分INC1、INC2和INC3,分别表示处于潜伏期第1、2、3天的人口(具体见图5—19)),即
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