均匀设计方法简介_精品文档.doc

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均匀设计方法简介

在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：

改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。

怎样做试验，是大有学问的。

本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。

今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。

本节着重介绍均匀设计方法。

一、试验设计

对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。

我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？

若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：

A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。

有两种方法最易想到：

1．全面试验：

将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。

对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。

2．多次单因素试验：

依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。

容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。

该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。

3．正交设计法：

利用正交表来安排试验。

本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。

70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。

该法是目前最流行，效果相当好的方法。

正交表记为：

Ln（qm），这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。

常用的二水平正交表为L4（23），L8（27），L16（215），L32（231）；三水平正交表有L9（34），L27（313）；四水平正交表L16（45）及五水平正交表L25（56）等。

采用拟水平法，人们还得到一系列在实际中很有用的混合水平正交表，例如：

L8（4×24），L12（23×31），L16（44×23）等，此处L16（44×23）表示要做16次试验，允许最多安排四个“4”水平因素，三个“2”水平因素。

在我们的示例中，可取L25（56）。

该正交表如下：

表1.L25（56）

试验号

列号

123456

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

111111

122222

133333

144444

155555

212345

223451

234512

245123

251234

表1.L25（56） （续）

试验号

列号

123456

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

313524

324135

335241

341352

352413

414253

425314

431425

442531

453142

515432

521543

532154

543215

554321

十分明显，不计重复试验总共需做52=25次试验。

观察此表，可知有如下特点：

1）每个因素的水平都重复了五次试验；2）每两个因素的水平组成了一个全面试验方案。

这两个特点反映了试验点在试验范围内排列规则整齐，人们称为“整齐可比”，另一方面，这些试验点在试验范围内散布均匀，人们称此特点为“均匀分散”。

正交设计的优点本质上来自“均匀分散，整齐可比”这两个特点。

4．均匀设计法

1978年，我国七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验次数又不超过50。

为了解决这一问题，我国数学家方开泰和王元教授经过几个月的共同研究，应用数论方法，舍弃正交设计的“整齐可比”性，创造了只考虑试验点在试验范围内的均匀散布的一种试验设计方法，即所谓“均匀设计”，很好地解决了七机部的导弹设计问题。

均匀设计可按均匀设计表及相应的使用表安排试验。

所谓均匀设计表是根据均匀设计理论得到的，类比正交设计表，记为Un（qm），n总试验次数，q各因素的水平数，m可能安排的因素数。

例如，我们前面提到的Cu13X分子筛的制备问题，就可以用如下的U5（54）表来安排。

表2.U5（54）

1234

1

2

3

4

5

1234

2413

3142

4321

5555

由该表我们可以看到：

该法有其独特的布点方式，其特点有：

1）每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验；

2）任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点；

3）均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价。

此点要求每个均匀设计表必须有一个附加的使用表；

4）当因素的水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。

二、均匀设计表的构造

均匀设计表是一个方阵。

设方阵有n行m列，每一行是{1，2，···,n}的一个置换（即1，2，···,n的重新排列），表的第一行是{1，2，···,n}的一个子集，但不一定是真子集。

可以用好格子点法来构造符合上述定义的均匀设计表。

方法如下：

1.给定试验次数n，寻找比n小的整数h，且使n和h的最大公约数为1，符合这些条件的正整数组成一个向量h=（h1，h2，···,hm）

例如：

n=7，h=（1，2，3，4，5，6）；n=9，h=（1，2，4，5，7，8）

2.均匀设计表的第j列由下法生成

uij=ihj[modn]

这里[modn]表示同余运算，若ihj超过n，则用它减去n的一个适当倍数，使差落在[1，n]之中。

ihj可以递推生成：

uij=hj

ui+1，j=uij+hj 若uij+hj≤n

ui+1，j=uij+hj-n 若uij+hj>n

i=1，2，···,n-1

例如，对于n=7，h=（1，2，3，4，5，6）而言，有：

若h4=4，则u14=4，u24=u14+h4-n=8-7=1，u34=u24+h4=5 [modn]

u44=u34+h4-n=9-7=2，u54=u44+h4=6，u64=u54+h4-n=10-7=3 [modn]

u74=u64+h4=7 [modn]

依此类推，易得uij（i=1，···，n；j=1，2，3，4，5，6），於是得U7（76）如下：

表3.U7（76）

123456

1

2

3

4

5

6

7

123456

246135

362514

415263

531642

654321

777777

这样生成的均匀设计表特记作Un（nm），向量h称为该均匀设计表的生成向量，有时为强调h的作用，将Un（nm）记成Un（h）。

给定n，相应的h可如上述方便地求得，从而m也即确定，故m是n的一个函数，其曾由欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E（n）。

由数论得出下列结论：

1）当n为素数（一个正整数，它与其所有比它小的正整数的最大公约数均为1）时，E（n-1）=n-1。

2）当n为素数幂时，即n可表成n=pL，p素数，L正整数，有

E（n）=n（1-） 例，n=9，可表为n=32，于是E（9）=9（1-）=6

3）若n不属于上述两种情况，n一定可表为不同素数的方幂积，即

n= 这里为不同素数，为正整数。

这时

E（n）=n（1-）（1-）…（1-）

例如，n=12，可表为n=22×3，于是

E（12）=12（1-）（1-）=4，即U12最多只可能有4列。

上述三种情形中，以素数情形为最好，最多可能获得n-1列；非素数情形，上述表的结构中永远不可能有n-1列。

王元，方开泰（1981年）建议，对n=偶数情形，均匀设计表由n+1的U表去掉最后一行来构造。

例如，可将U7（76）表的最后一行去掉构造U6表如下：

表4.U6（66）

123456

1

2

3

4

5

6

123456

246135

362514

415263

531642

654321

为和由好格子点法构造的U6表[即U6（66）]相区别，上述方法构造的U6表记为，两者关系和各自特点如下：

1）所有表是由Un+1表中划去最后一行而得

2）Un表的最后一行全部由水平n组成，表的最后一行则不然

3）若n为偶数，表比Un表有更多的列

4）若n为奇数，则表的列数通常少于Un表

5）表比Un表有更好的均匀性，应优先采用表

6）若将Un或的元素组成一个矩阵的秩最多分别为及。

三、均匀性准则和使用表的产生

1、均匀性准则—偏差（略）

2、均匀设计使用表的产生——整数同余幂法

我们已经知道，产生均匀设计使用表，实际上就是从Un（nm）中选出S列，使其相应的均匀设计有最小的偏差。

当m和S较大时，从m列中取出S列的数目有之多，要比较这么多组点集的均匀性，工作量很大。

故需有简化计算和近似求解的方法，这里介绍整数同余