精品六年级下册奥数试题 解应用题 全国通用含答案.docx
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精品六年级下册奥数试题解应用题全国通用含答案
第7讲 解应用题
知识网络
解应用题的常用思维方法有:
1.假设法
在有些应用题中,要求两个或两个以上的未知数,思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等,或者先假设要求的两个未知量是同一种量,然后按照题里的已知条件进行推算,并对照已知条件把数量上出现的矛盾加以适当的调整,最后找到答案,这就是假设法。
2.消去法
有些应用题里,给出了两个或两个以上未知量间的关系,要求这些未知量,思考时可以通过比较条件,分析对应的未知量的变化情况,设法消去其中的一个未知量,从而把一道数量关系复杂的题目变成较简单的题目解,这样的方法叫做消去法。
重点·难点
用假设法解题时要找准与假设的内容相对应的数量关系,善于把假定的内容和数据加以调整,从而得到正确的答案。
学法指导
画线段图有助于对题目的理解,但对有的问题,仅有线段图的表达还是不够的。
这时,把线段图的方法扩展为矩形图的方法,使画图解应用题更直观。
经典例题
[例1]鱼尾重4千克,鱼头的重量是鱼尾加躯干之和的一半,躯干的重量等于鱼头加鱼尾。
问:
鱼头、躯干各重多少千克?
思路剖析
如图1所示
根据“鱼头的重是鱼尾加躯干的一半”,画图la。
注意,题目条件实际说明了鱼头占鱼总重的三分之一,应该把二等分的特点表现出。
根据“躯干的重量等于鱼头加鱼尾”,画图1b。
注意,这个条件的含义表明,躯干占鱼总重的一半,有二等分的含义。
比较图la与图1b,就能看出鱼尾重量的所在,标出如图1b所示。
而且,同时得出:
鱼头是鱼尾的2倍,即8千克;
躯干是鱼尾的3倍,即12千克。
这其中是否有一点看图说话的味道?
解答
☆解法一:
鱼头是鱼尾的2倍,即4×2=8(千克);
躯干是鱼尾的3倍,即4×3=12(千克)。
答:
鱼头8千克,躯干12千克。
☆解法二:
由“鱼头的重量是鱼尾加躯干的一半”,把整条鱼的重量作为单位1,那么鱼头就是
,由“躯干的重量等于鱼头加鱼尾”,鱼头加鱼尾就是
,比较这两个分数,可以知道鱼尾是
即鱼总重量的
是4千克,总重量为
(千克)
鱼的总重量为24千克,其余部分就容易算出了。
☆解法三:
“鱼头的重量是鱼尾加躯干的一半,躯干的重量等于鱼头加鱼尾”实际上包含着两个等式,明确地列出,就是
鱼头
躯干=鱼头+4
把这两个等式合并(即消未知数),有
躯干=
×(4+躯干)+4
这就是一元一次方程了,解这个方程
躯干
躯干+4
躯干=2+
×躯干+4
躯干=
×躯干+6
躯干-
×躯干=6
×躯干=6
躯干=6×2
躯干=12(千克)
其余部分请自己算出补齐。
[例2]一列快车从甲地到乙地需6小时,一列慢车从乙地到甲地需8小时。
两车同时从两地相向开出2小时后,两车还相距180千米。
甲乙两地距离是多少千米?
思路剖析
本题画矩形图的要点在于:
如何在图形中表示出相向而行的特点,以及时间、相距距离。
如图2所示,两个阴影部分是两辆车2小时各自走的距离,注意左侧时间数分成3部分的各自对应含义。
那么,180千米应该对应哪一部分的面积?
应该是总面积减去两个阴影面积。
但两个阴影部分分别在两个大矩形中,为观察方便,在中央加一条辅助线,把4小时平分为两个2小时(想一想这样加有什么好处)。
这样,180千米的对应部分就有两种不同情况,如图3、图4的阴影所示。
注意:
这两种阴影对应的面积应该相等,两个箭头所指的矩形面积相等,它们的宽分别为2、4,相应的长也应该有2倍关系,用虚线把箭头所指矩形等分,看起更方便,把分割后得到的小矩形作为单位,阴影面积将是5个单位,这样两辆车的速度求法是:
(180÷2)÷5×4=72(千米/小时,快车)
(180÷2)÷5×3=54(千米/小时,慢车)
相应的距离求法为:
72×6=432(千米)
54×8=432(千米)
当然,观察图4中单位小矩形与表示总距离的大矩形的关系,可以知道所求面积是单位小矩形的
3×4=12(倍)
而每个单位小矩形的面积是
180÷5=36
所求距离为
36×12=432(千米)
解答
两辆车的速度求法是:
(180÷2)÷5×4=72(千米/小时,快车)
(180÷2)÷5×3=54(千米/小时,慢车)
相应的距离求法为:
72×6=432(千米)
54×8=432(千米)
答:
甲乙两地的距离是432千米。
[例3]文化宫电影院有座位2000个,前排票每张4元,后排票每张2.5元,已知前排票比后排票的总价少1100元,问该电影院有前排座和后排座各多少?
思路剖析
假设这2000张票都作为后排票而没有前排票,那么前排票的总价是0,而后排票的总价是2.5×2000=5000(元),但事实上只少1100元,相差的5000-1100=3900(元),可以拿去1张后排票换上1张前排票,这样每换一次,后排票少2.5元,前排票多4元。
换一次的差额是4+2.5=6.5(元),3900元中含有600个6.5元,即需600次,所以有600张前排票,亦即有600个前座。
解答
(2.5×2000-1100)÷(4+2.5)
=3900÷6.5
=600(张)前排票(即前座数)
2000-600=1400(张)后排票(即后座数)
答:
前座有600个座位,后座有1400个座位。
[例4]6千克荔枝和8千克桂圆,共计312元,已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱,求两种物品的单价各是多少?
思路剖析
根据题意,2千克桂圆可以换成5千克荔枝,那么8千克桂圆可以换成[5×(8÷2)]千克荔枝,而总价不变。
解答
☆解法一:
312÷[6+5×(8÷2)]=12(元)l千克荔枝的钱
12×5÷2=30(元)l千克桂圆的钱
☆解法二:
312÷[6+8×(5÷2)]=12(元)1千克荔枝的钱
12×5÷2=30(元)1千克桂圆的钱
答:
每千克桂圆30元,每千克荔枝12元。
如果先求出桂圆的单价,还有两种解法,请试一试。
[例5]有篮球、足球、排球三种球。
篮球3个、足球2个、排球1个,共值196元;篮球1个、足球3个、排球2个共值200元;篮球2个、足球1个、排球3个共值168元。
每种球的单价各是多少?
思路剖析
这道题里有三个未知量,可用下面式子把题意表示出:
3个篮球+2个足球+1个排球=196元(l)
l个篮球+3个足球+2个排球=200元
(2)
2个篮球+l个足球+3个排球=168元(3)
三个未知量中可以先设法消去一个未知量(此题中可以先消去篮球或足球或排球),得到两个未知量之间的关系,从而得到解答。
(2)式×3-
(1)式得:
7个足球+5个排球=404元(4)
(2)式×2-(3)式得:
5个足球+1个排球=232元(5)
消去篮球后,原题可由(4)式和(5)式组成,即有“7个足球、5个排球值404元,5个足球、1个排球值232元”两组条件。
这时我们可以参照前面学过的方法,分别求出足球和排球的单价。
解答
200×3-196=404元)7个足球和5个排球的价钱
200×2-168=232(元)5个足球和1个排球的价钱
(232×5-404)÷(5×5-7)=42(元)足球单价
232-42×5=22(元)排球单价
(196-42×2-22)÷3=30(元)篮球单价
答:
一个篮球30元,一个足球42元,一个排球22元。
[例6]松林小学举行礼貌常识比赛,共有20道题,每题10分,答对一道题得10分,答错一道题要扣10分,张明的成绩是100分,问他答错了几道题?
答对了几道题?
思路剖析
张明答的20道题不是对就是错,而且这两个未知数有着下面的数量关系:
错的题数+对的题数=20道,符合“鸡兔同笼”问题的特点,因此,本题采用假设法解,此类题的解答一般习惯上先假设张明做的20道题都对了。
如果20道题都对了,那么张明应该是10×20=200(分),但是张明实际上只得了100分,多出的200-100=100(分)是怎么回事呢?
那是由于张明每做错一道题应该扣去10分,而我们假设这道题是对的,不但没有扣去10分,反而加上了10分,也就是说每道由错假设成对的题就要多得10+10=20(分),再联系一共多得100分这个条件,就可以求出张明一共有100÷20=5(道)题由错假设成对的题,也就是错了5道题,再求对的题数就很容易了。
解答
☆解法一:
错的题数:
(10×20-100)÷(10+10)
=(200-100)÷20=100÷20=5(道)
对的题数:
20-5=15
检验:
对题得分:
10×15=150(分)
错题扣分:
10×5=50(分)
实际得分:
150-50=100(分)
实际得分与原题相符,说明答案正确。
答:
张明答错5道题,答对15道题。
☆解法二:
假设张明的20道题都做错了,那么根据题意张明不但得不到分,还要再扣去10×20=200(分),也就是张明卷面上不但1分也没有,还欠下200分,与实际得分相比要少200+100=300(分),这是为什么呢?
那是因为张明每做对一道题应该得10分,而我们假设这道题错了,不但要少得这10分,还要再扣去10分,也就是每道由对假设成错的题,就要少得10+10=20(分),再联系前面少得的300分,就可以求出张明做对300÷20=15(道)题。
点津
此类题的计分方法经常出现在一些竞赛中,而学校里的一些考试则采用对的题得分,错的题不得分的方法,这一点在计算时要特殊注意。
上面写的检验过程,仅仅给大家提供一种检验答案正确与否的方法,并不一定要写出。
发散思维训练
1.赵会计去银行取2000元补助费,他只想要2元、5元、10元的人民币,并想使2元、5元的人民币张数相等,且总张数为213张,那么2元、5元、10元的人民币各有多少张?
2.李涛用350元买了一件大衣、一条裤子和一双皮鞋。
李涛过后只记得大衣比裤子贵170元,大衣比裤子和鞋子的总和还贵90元。
你能帮李涛算出每件东西的价钱吗?
3.甲、乙两个车间共有94个工人,每天共生产1998把竹椅。
由于设备和技术的不同,甲车间平均每个工人每天只能生产15把竹椅,而乙车间平均每个工人每天可以生产43把竹椅。
甲车间每天竹椅的产量比乙车间多多少把。
4.蜘蛛有8只脚,蜻蜒有6只脚和两对翅膀,蝉有6只脚和一对翅膀,现在有这三种小虫18只,共有脚118只,翅膀20对,问每种小虫各有几只?
参考答案
发散思维训练
1.解:
本题有3个未知数,由于2元、5元的张数相等,实际上有两个未知数,如果假设这个213张都是2元的,那么减少的2000-2×213=1574(元)钱里面既有5元变成2元减少的,也有10元变成2元减少的,同时又没有其他已知条件,这样是无法解答的,如果假设这213张人民币都是5元的,同上面的分析一样,这道题也无法解答。
如果假设这213张人民币都是10元的,那么多出的10×213-2000=130(元)钱里面既有2元变成10元而增加的,也有5元钱变成10元而增加的,由于2元的张数与5元的同样多,所以我们把1张2元和1张5元的合在一起看成1份,这1份有2+5=7(元),假设变成10元后,这1份是10×2=20(元),每份增加了20-7=13(元),一共增加130元,就可以求出有130÷13=10(张),也就是求出了2元、5元各有10张,用213-10×2=193(张),这就是10元的张数。
2元、5元的张数:
(l0×213-2000)÷(l0×2-2-5)
=(2130-2000)÷(20-7)
=130÷13=10(张)
10元的张数:
213-10×2=193(张)
检验:
2元的钱数:
2×10=20(元)
5元的钱数:
5×10=50(元)
10元的钱数:
10×193(元)
总钱数:
20+50+1930=2000(元)
总钱数与原题相符,说明答案正确。
答:
2元、5元各有10张,10元的有193张。
2.解:
排列各已知条件:
①一件大衣+一条裤子+一双皮鞋=350元
②一件大衣—一条裤子=170元
③一件大衣一(一条裤子+一双皮鞋)=90元
比较②和③可以看出,在一件大衣的价钱中减去一条裤子的价钱,还剩170元,如果再减去一双皮鞋子价钱,就只剩90元,可见一双皮鞋为170-90=80(元)。
于是条件①可变为
④一件大衣+一条裤子=350-80=270(元)
再联系条件②可知问题变为已知两数的和与差,求两数,这不难解决。
170-90=80(元)皮鞋
(350-80+170)÷2=220元)大衣
220-170=50(元)裤子
答:
一件大衣220元,一条裤子50元,一双皮鞋80元。
3.解:
根据题意画长方形图如答图1。
AB表示甲车间工人数,AH表示乙车间工人数,长方形ABCD的面积表示甲车间每天生产竹椅的把数,长方形AEFH的面积表示乙车间每天生产竹椅的把数。
长方形ABCD与AEFH的面积和表示1998把竹椅。
由于长方形BCGH的面积是15×94,所以长方形DEFG的面积是1998-15×94,而长方形DEFG的一边DE的长为(43-15),另一边EF的长为(1998-15×94)÷(43-15),它就是乙车间的工人数。
甲车间的工人数=94一乙车间的工人数。
这样长方形ABCD和AEFH面积都可以求得,它们的差就是甲车间每天竹椅的产量比乙车间多的数。
(1998一15×94)÷(43一15)=(1998-1410)÷28
=21(人) 乙车间工人数
94-21=73(人) 甲车间工人数
15×73-43×21=1095-903=192(把)
答:
甲车间每天竹椅的产量比乙车间多192把。
4.解:
此题中的数量关系比较复杂,但是只要我们细心观察,认真分析,就会发现蜻蜒和蝉的脚数相等,因此,假定这18只小虫全部是蜻蜒和蝉,那么共有脚6×18=108(只),比实际少118-108=10(只)脚,是因为每只蜘蛛比它们多8-6=2(只)脚,蜘蛛则有10÷2=5(只),蜻蜒和蝉共有18-5=13(只),然后我们根据13只蜻蜒和蝉共有20对翅膀,每只蜻蜒有两对翅膀,每只蝉有一对翅膀这些条件,再分别求出蜻蜒和蝉各有的只数。
(118-6×18)÷(8-6)
=10÷2
=5(只)蜘蛛只数
18-5=13(只)蜻蜒和蝉的只数
(20-1×13)÷(2-l)
=7÷1
=7(只)蜻蜒只数
13-7=6(只)蝉的只数
答:
蜘蛛5只,蜻蜒7只,蝉6只。
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