复习专题勾股定理.docx
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复习专题勾股定理
勾股定理
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
60
知识点
勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理的应用.
教学目标
1.经历勾股定理的探索过程,理解并掌握勾股定理和勾股逆定理
2.能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题.
教学重点
理解并掌握勾股定理的逆定性,并会应用
教学难点
理解并掌握勾股定理推导,灵活应用勾股定理解答相关问题
教学过程
一、课程导入
已知一直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
思考:
我们知道要求一个三角形的面积,必须要知道一边和对应边上的高,而题目中只告诉了我们直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,那么到底证明解决这个问题哪?
二、复习预习
1.在直角三角形中,两直角边长分别是3和4,则斜边长是 .
2.一个直角三角形,量得其中两边的长分别为5㎝、3㎝则第三边的长是_________.
3.要登上8 高的建筑物,为了安全需要,需使梯子底端离建筑物6问至少需要多长的梯子?
三、知识讲解
考点1勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.(即
)
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有以下三点
(1)已知直角三角形的两边求第三边
(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边
(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
考点2勾股数
(1)满足
的三个正整数
称为勾股数.
(2)对于任意两个整数
,
,
,
这三个数就是一组勾股数,可见勾股数有无数组.
(3)常见的勾股数有:
①3,4,5;②6,8,10;③8,15,17;④7,24,25;⑤5,12,13;⑥9,12,15.应熟记.
考点3勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为
,
,满足
,那么这个三角形是直角三角形.
利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的步骤:
(1)确定最大边(不妨设
);
(2)计算
与
的值;
比较
与
是否相等,若相等,则此三角形是直角三角形,否则就不是直角三角形.
四、例题精析
考点一勾股定理
例1、若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
【规范解答】:
设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得:
化简得
;
∴直角三角形的面积=
=
=96
【分析】在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。
例2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。
假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
【规范解答】:
作AB⊥MN,垂足为B.在Rt△ABP中,
∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160,
∴AB=
AP=80.(在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半)
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响.
如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),
由勾股定理得:
,
∴BC=60.
同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,
那么,AD=100(m),BD=60(m),
∴CD=120(m)
拖拉机行驶的速度为:
18km/h=5m/s,t=120m÷5m/s=24s.
答:
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒.
【分析】:
(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。
(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。
考点二勾股数
例3、下列几组数为勾股数的是()
A、4、5、6B、12、16、20
C、-10、24、26D、2.4、4.5、5.1
【答案】:
B
【分析】:
满足满足
的三个正整数称为勾股数.A中虽然4,5,6均为正整数,但
,C中虽然满足
,但-10<0,D中虽然满足
,但不是整数.只有B中
,且都为整数.故选B.
考点三勾股定理的逆定理
例4、已知三角形的三边长为
,如果
,则此三角形的形状是()
A、以
为斜边的直角三角形B、以
为斜边的直角三角形
C、以
为斜边的直角三角形D、不是直角三角形
【答案】:
C
【分析】:
把
变形为
,又
,
,
都为非负数,它们的和为0,所以
,
,
,所以
,所以△ABC是以
为斜边的直角三角形.故选C.
课程小结
勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.(即
)
勾股数
满足
的三个正整数
称为勾股数.
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为
,
,满足
,那么这个三角形是直角三角形.
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