电动力学复习总结第四章电磁波的传播答案.docx
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电动力学复习总结第四章电磁波的传播答案
第四章电磁波的传播
一、填空题
1'色散现象是指介质的()是频率的函数•答案:
;』
2、平面电磁波能流密度s和能量密度w的尖系为()。
答案:
g=wV
3、平面电磁波在导体中传播时,其振幅为()。
答案:
Eoe』
4、电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是()。
答案:
变化的电场和磁场相互激发
5'满足条件()导体可看作良导体,此时其内部体电荷密度等于()
答案:
二1,0,
6、波导管尺寸为0.7cmX0.4cm,频率为30X109HZ的微波在该波导中能以
()波模传播。
答案:
TEw波
7、线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度(用电场E表示)为(),它对
时间的平均值为()。
答案:
;ES丄;E;
2
8平面电磁波的磁场与电场振幅尖系为()。
它们的相位()。
答案:
E=vB,相等
9、在研究导体中的电磁波传播时,引入复介电常数「二(),其中虚部
是()的贡献。
导体中平面电磁波的解析表达式为()。
答案:
;・・i二,传导电流,E(x,t)二
10、矩形波导中,能够传播的电磁波的截止频率5"O,当电磁
波的频率•’满足()时,该波不能在其中传播。
若b〉a,则最低截
止频率为()
'该波的模式为()
答案:
- TEoi 11、全反射现象发生时,折射波沿()方向传播•答案: 平行于界面 12、自然光从介质1「叫)入射至介质2(;罕2),当入射角等于() 时,反射波是完全偏振波•答案: i°=arctg—2 13、迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是()- : t 答案: 选择题 3、能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征( A.有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B.频率是1车续的C.品终会衰减为零 D.低于截至频率的波才能通过.答案: A 4、绝缘介质中,平面电磁波电场与磁场的位相差为() nJi A.—B._.C.OD. 42 答案: C 5、下列那种波不能在矩形波导中存在( A.TE10B.TM„C.TEMmnD.TE01 答案: C 6平面电磁波E、B、k三个矢量的方向尖系是() A.EB沿矢量k方向B.BE沿矢量k方向 C.EB的方向垂直于kD.Ek的方向沿矢量B的方向 答案: A 7、矩形波导管尺寸为ab,若ab,则最低截止频率为() 8、亥姆霍兹方程Ie"。 “宅二。 )对下列那种情况成立( A滇空中的一般电磁波B.自由空间中频率一定的电磁波 C.自由空间中频率一定的简谐电磁波D.介质中的一般电磁波 答案: C 答: (1)真空中的波动方程: A. aj; 答案: A 1、真空中的波动方程,均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么? 从形式到内容上试述它们之间的区别和联系 毘)¥二°,,2;二卑二。 。 cctcct 表明: 在J=o,J=o的自由空间,电场与磁场相互激发形成电磁波'电磁波可 以脱离场源而存在;真空中一切电磁波都以光速C传播;适用于任何频率的电磁波,无色散。 形式到内容上试述它们之间的区别和联系。 答: (1)定态电磁波: 以一定频率作正弦振荡的波称为定态电磁波,即单色简谐 波。 E(x,t)二E(X)e“ (2)平面电磁波: 等相位面与波传播方向垂直且沿波矢量K传播的电磁波 E(i)=E°eikr (3)平面单色波: 以一定频率作正弦振荡的平面波称为平面单色波 E(X,t)二SF 3、在・0的定态电磁波情形麦氏方程组的形式如何? 为什么说它不是独立 的,怎样证明? 不是独立的,是否等于说有的方程是多余的呢? 试解释之答: 定态电磁波情形麦氏方程组的形式为: 灯汉E=icoB•… (1) 对 (1)和 (2)取散度可得(3)(4)两式,所以 严B=E…… (2) 可E=0……(3) V百二0(4) 它不独立。 不独立不表示方程多余,定态电磁波只是一种特殊情形,在更普遍 的 情况下,麦氏方程组四个方程分别描述了场的不同方面。 4、设有一电磁波其电场强度可以表示为E=Eox,texp: : -irot。 试问它是否是 平面时谐波(平面单色波)? 为什么? 答: 不是。 因为E做傅立叶展开后,可以看成是无数个平面单色波的叠加。 如令 Eo(x,t)=Eo®oxcos(2yt)=Be®•L°呎心叫 22 E二旦尹心“)且e嘶_“)是两个单色波的叠加。 22 5、试述平面单色波在均匀介质中具有哪些传播特性? 并且一一加以证明答: 特 性: ①是横波,且E,B,k有右手螺旋尖系证: E(X,t)=Eoe衣i IE=i『E=o即£_E即电波为横波 」・」•」」「」=8_k,B_E,E_k、得证。 #=一-*-%』=一丄ikx^=—kx# CD3CD ②E与B同相位,振幅比为巾真空中为c E(x,t)=EoeW切 B」kE丨.nEoe^-1 灼Vp 其中: E/n'm 0co 此式证明: E,B相位均为kx八t,且振幅比为 E1 乂 6在自由空间中,E(z,t)二ejOsin®二10tkz)V/m 说明: (1)波数以及波的传播方向, (2)H(z,t)的表现形式 答: 已知电场E(z,t)=8y103sin(9Zl10^t-kz)v/m «9兀x〔0 (1)由电场表示式知: k厂=3: : ;;(rad/m).电磁波沿z方向传播 c3乂IO (2)自由空间中,-0」=0 B '、E,ikE=i a 1 E H二斗;z#y103sin(9-10st-kz)=-2.65sin(9104-3z)gx 7、研究反射、折射问题的基础是电磁场在两个不同介质分界面上的边值尖系,但为 什么只需用两式,可否用另两式呢? n乂(E2_E〔)=0 答: 边值尖系: 门(H-HJ=: •在绝缘介质界面上: 一0,二=0 n(D2・)=vr n〈B2—Bi)=0 对时谐电磁波,麦氏方程组不独立,由前两式可得后两式,相应的边值尖系也不 •广N” 独立,当」「(占2—曰)二滅立时,法向分量的边界条件自然满足。 n(H2-比)=0 8、试述入射波、反射波、折射波的频率、相位、传播方向和振幅各有些什么尖 系? 答: 频率尖系: 八・・”, 振幅与相位尖系: E—入射面: 旦一翌)心cosuc°w Esin(日十日")cosO" E2cosvsinv2.“cos EsinvvH]J訂cos.2cos E//入射面时: 二二理1, Etg(日+e“) E_2cos)sinv Esin(vv)cos(v-J) 传播方向: 反射波矢和折射波矢和入射波矢在同一平面上, 十,k一0=卑垃=辱 ViV2sin®眉云 9、全反射时有什么特点? 若要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波, 则对介质有什么要求? 答: ①特点: a.发生全反射时,si"—血折射波的波矢量垂直于界面的分量 kz〉ik、,siz・nR2变为复数,折射波随进入深度所得增加而迅速衰减・b.折射 波的平均能流只有平行于界面的分量,能量主要集中在交界面附近厚度为kJ的薄层内,反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度,即对平均时间来说,入射波的能量全部被反射。 ②要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波,则全反射波的两个分量 E,E振幅必须相等,相差等于(2m^1)2-,m=0,1,2,3JI E[_tg(日■日=sin日cosB-sin日”cos日 Eltg()sincos)sincos 由折射定律■&=為,全反射发生时5sin8Kn2isinV护石 设E_=E 2cos、sin2「2n21 二■2a22a 一丄一sinn21・cos二 arctg 2n^cosJxsin2sin22n21 42^ -v-rw-ncos 当入射波的线偏振时,E_,El相位相同•经反射后E_,E相位不相同, 当=1时,且E_与E相差 结论: 当线偏振的入射波电矢量的两个分量E_,E的振幅相等,并且入射角B和 相对折射率血满足(8)式时,反射波便成为圆偏振波 人们要想得到完全偏振光,不直接采用反射的完全偏振光,往往通过一组平行 玻璃板把垂直于入射面的偏振光滤掉,得到平行于入射面的完全偏振光,为什 么? 已知玻璃的布儒斯特角为56。 。 答: 反射光虽然是完全偏振光,但它的强度太小 咛一sin22—0.37sin90 而按题中的做法,可得折射光(平行于入射面的完全偏振光) 答: 真空中电磁波的传播速度和光波在真空中的传播速度都是C,且不需要任何介 质。 光波的反射、折射、干涉、衍射规律与电磁波遵循相同的规律。 并与介质中的相应方程进行比较,阐明它们之间有何异同之处? 答: 良导体中: P=0,,= ・: t \占」;工…七E,对前两式取旋度得波动方程: iE=o 明传导电流使电磁波传播不断损耗为一个不可逆过程。 定态电磁波: E=E(x)eSB(x)e「代入麦氏方程组得: 亦百 •、$・E・・j/: 、‘E其中: 1E=°—沦,由第一式解出$代入第 式可得: \2Ek2E=o, 即亥姆霍兹方程。 与介质中的最大区别 在于K匚r复数,如果是绝缘介质,厂・0,;・;,! <・•■、・;”都是实数,上述亥 姆霍兹方程便过渡为绝缘介质中定态电磁波的方程• 13、波矢量k的物理意义是什么? 如何理解导体中的波矢量? 衰减常量: ■的 方向如何确定,相位常量1的方向又如何? 答: 波矢量k是描述电磁波传播方向的一个矢量,其量值k=兀二一称为 k 波数,导体中波矢量为一复矢量。 k,二*•浮 波矢量k的实部”描述波的传播的相位尖系,虚部: 描述波幅的衰减。 将;’二;•i—,k二: •rz代入k1=•;•“比较实部和虚部得: © fP2-a2=e)2R€ [&・E=—coPo 由边界条件可确定: 」的方向。 再代入上式确定”的大小•在良导体内,: 垂直于表 面也很接近法线方向。 14、电磁波在导体中和在介质中传播时存在哪些差别? 答: ①导体与绝缘介质本质差异在于导体有自由电子,电磁波进入导体后必将引起传导电流,电场对传导电流做功使得电磁波能量转化为焦耳热,故在导体中传播电磁波是一个衰减波。 绝缘介质中传播电磁波振幅不衰减②绝缘介质平面电磁波电场与磁场相位相同,导体平面电磁波电场与磁场相位不相同③绝缘介质平面电磁波电场与磁场能量相等,导体中磁场能量远大于电场能量. 15、设电子浓度为压,电量为e,质量为m,在空气中电子在电磁波的作用 下以速度v运动,设电磁波的角频率为・■,电子的运动方程近似地为: eE二m-dvmv dt 式中为电子与气体分子碰撞频率,且设v为常数。 已知: Lt-J't E=Eoe»v=v°e 试讨论电子对空气的%和;0的影响如何。 答: 将E二E°e加,v=v°e加代入电子的运动方程: eE二m空+m? v,得: dt eE=(m**ri,)v,空气中的电流密度 ..2己 f=円釧=■十,于仁十)”)比较,空气电导率 n諾ne(m/ (mA-/;用+◎2 nee2(im-•)(ne,nee2m '•(m22/)=5rri22/Jc(叶2,2) gm s-i -(m22,: : 2 其中实部「0nQ m- 可见,空气中电子的存在使得空气变成导体,电导率出现虚部,说明有欧姆能量损 2 耗,另外空气的电容率由;。 变为;二;。 驴2,当电子浓度为 m哎怕 ne=0,;=。 二(•)=0,当对空气的磁导率没有影响 16、将一般的边值尖系用到波导内表面处,因设波导为理想导体,n为由理想导体指向管内的法向单位矢量,故除nxE=0外,还有哪几个尖系式,它们的作用如何? 对于亥姆霍兹方程的解必加的条件\E=0可如何应用? zE=o n汇H/ 答: 在导体表面有边界条件: 当前面两式满足时,后面两式自然满 nD” 匕n启=o 足。 nH=•,说明h方向平行于表面 nE=0,说明E只有n方向分量,考虑,E=0,即得: 占=0 Wn 17、何谓TM波、TE波和TEM波? 比较一下TEM波与平面单色波之间的尖系如何? 答: 在波导内传播的波,电场E和电磁场H不能同时为横波,设波沿Z方向传 播,波模Ez=O的波称为横电(TE)波,波模Hz=O的波称为横磁(TM)波;TEM波则为Hz=O,Ez=O的横波,平面单色波需满足Hz=Ez=O,E,B同相且相互垂直,EB沿波矢方向,故平面单色波是TEM波,而TEM波未必是平面单色波。 18、我们要用波导内的电场,沿z方向加速一个带电粒子,应在波导中建立什么波型电磁场? 答: 应建立TM波,从而在z方向上有电场可以加速电子。 19、有相距为L的两无穷大理想导体板,设x轴垂直板面,在导体板间传播的波 场与y无尖。 问在何种条件下,能得到TE型、TM型、TEM型波? 写出其表示式。 答: 导体板间的电磁波满足亥姆霍兹方程,设电场的通解为: E(x,y,z)=(Gsinkxxcoskxx)eikzz,由边界条件nE=o和占=。 cn 得: 2・ 『一(牛)2,又由: 註 Fl尤\i(Qz_: t)e“a8stx)e <巳二民sin: %肘u亠)’其中《二lv_k 时得到TEM波: 冲sin(牛x)a® 収二L 20・为什么谐振腔最低频率是fno 100 有2个或都为零,则由 ExAAjCoskxXsinkyysinkzz,Ey=A2sinkycoskyysinkzzEz=A"nkxXsinkyycoskzzmp kx=i7ky迈艮二 知谐振腔内场强E=0.8=o 21、矩形波导中的电场强度E和磁感应强度B沿传播方向的分量不同时为零,这一结论似乎违背了电磁波是横波的论断,请解释这一现象。 答: 实际上波导管的轴线方向并不是波的真正传播方向。 在波导管中的电磁波是在被管壁多次反射曲折前进的。 由于多次反射波叠加,在垂直于波导轴线方向成为驻波,而使合成波沿轴线方向前进。 22、低频电磁波用双线传输,较高频用同轴线,更高频时用波导传输。 试问高频电磁波用双线传输或低频电磁波用波导传输,可以吗? 为什么? 答: 都不可以。 高频电磁波用双线传输有向外辐射损耗和热损耗。 而低频电磁波 在波导中则不再沿波导传播,而是沿z轴方向振幅不断衰减的电磁振荡。 23、大气中的电离层能够反射广播频段的电磁波,不能反射电视频段的电磁 波,这是为什么? 答: 因为大气中的电离层是等离子体,广播频段不能在等离子 体中传播,因而被反射回来,而电视频段;・■: : P,可以在电离层中传播 四、计算与证明 1、考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为d和「〃的线偏振 平面波,它们都沿z轴方向传播。 (1)求合成波,证明波的振幅不是常数,而是一个波。 (2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 解: 根据题意,设两列波的电场表达式分别为: Ei(x,t)二Eo(x)cos(&z—\t);E2(x,t)—E°(xjcoshz—F) 则合成波为E=Egt)E2(x,t)二E0(x)[cos(kiA■it)cos(k2Z-2t)] k1,k2': ;id': ;2ki-k2'2、 =2Eo(x)cos(zt)cos(zt) 2222其中ki=kdk,k? =k-dk;;=-■d;匕二-d;.-? 所以E=2Eo(x)cos(kz-,t)cos(dkz-d,t) 用复数表示E=2E0(x)cos(dkz-d4t)exo[i(kz-1)]相速由二=: kz…,t确定,VP=dz/dt=j: : /k群速由H=dk,z—d.t确定,v9=dz/dt«/dk 2、一平面电磁波以n・45。 从真空入射到;「二2的介质,电场强度垂直于入射 面,求反射系数和折射系数。 解: 设n为界面法向单位矢量,S、S、•S”分别为入射波、反射波和折射波的玻印 亭矢量的周期平均值,则反射系数R和折射系数T定义为: 2 n2cosh cosvEj 又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式,可得 J引COS。 一COST“4、v;2cosncosr" 1-R仃)百COSTCOST*/,(屈1cos日+Jscos日) 根据折射定律可得: 于=30,代入上式,得 —2•岛 2、3 3、有一可见平面光波由水入射到空气,入射角为60。 证明这时将会发生全反 射,并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。 设该波在空气中的波长为=6.2810』cm,水的折射率为n=1・33。 解: 由折射定律得,临界角入二arcsin(1/1.33)=48.75,所以当平面光波以60 角入射时,将会发生全反射。 由于kx=ksinr 所以折射波相速度Vp二「7k二/ksinA-v水/sinA-c/nsinA-3c/2 透入空气的深度为 ”J>/2二一sinJ-n: =6.281072Z1>sin^60・(3/4)1.710*cm 4、频率为「的电磁波在各向异性介质中传播时,若E,D,B,H仍按e「心。 变 化,但D不再与E平行(即D=;E不成立)。 (1)证明kBkDBD二B・E二0,但一般k0。 (2)证明D=[k^E(kE)k]/。 (3)证明能流S与波矢k一般不在同一方向上。 证明: 1)麦氏方程组为: \EB/;: t (D gH=£D/a (2) 'D=0(3) B=0(4) 由(4)式得: vB=Bo人七)kBoeik,,iAik•B二0 kB=0(5) 同理由(3)式得: kDO(6) 由 (2)式得: ' D二一kH/=kB/」(7) BD—B(kB)/」・0(8) 由(1式得「、E二八a叫Eo=ikE--/B B=kE/(9) BE二(kE)E心=0(10) 由(5)、(8)可知: k_B;D_B;E_B,所以k,E,D共面。 又由(6)可知: k_D,所以,当且仅当E〃D时,E_k。 所以,各向异性介质中,一般kE-0。 2)将(9)式代入(7)式,便得: D二「k(kE)/匚」•・ME・(kE)k]/ 3)由(9)式得H=kE/•」 S二EH二E(kE)/」二[E2k・(kE)E]/」 由于一般情况下k「0,所以$除了k方向的分量外,还有E方向的分量,即能流S与波矢k一般不在同一方向上。 5、有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴传播,一个波沿x方向偏振, 另一个沿y方向偏振,但相位比前者超前72,求合成拨的偏振。 反之,一个 偏振可以分解为怎样的两个线偏振? 解: 偏振方向在X轴上的波可记为 Ex=Aocos(,t[kz)二Aocos(,t°x) 在y轴上的波可记为 Ey二代cos(rt-kz/2)=Aocos(■t-;: oy)=%y-®oxr/2 合成得轨迹方程为: E;E: 二AAcos",tox)cos2(,t「: %)〕 =A: [cos20t-九)+sin2gt一%)]=A; 的线偏振的合成。 &平面电磁波垂直射到金属表面上,试证明透入金属内部的电磁波能量全部变 为隹耳执。 丿」八\\I八、、 证明: 设在z>0的空间中是金属导体,电磁波由zvO的空间中垂直于导体表面入射。 已知导体中电磁波的电场部分表达式是: E=EoePe'Rp> 于是,单位时间内由z=0表面的单位面积进入导体的能量为S二EH,其中 S的平均值为 H=kE/•」二(〔〕•)nE厂」 S=/Re(E*H>=-Eo/2J 在导体内部: J二咗h: ;E0才电匕。 金属导体单位体积消耗的焦耳热的平均值为: dQ=yRe(J*E)=: ;E2eQz/2 作积分: Q工二注;。 一e7dz・;飞*4「即得界面上单位面积对应的导体中消耗的平均焦耳热。 又因为「二■•任所以Q・;吕/4・七0/2.駅,原题得证。 7、已知海水的=1,-=1S•nr1,试计算频率为50,106和109Hz的三种 电磁波在海水中的透入深度。 解: 取电磁波以垂直于海水表面的方式入射,透射深度为: =1/: =21''、: -・7/~ 由于v=1,所以: =1/.6匚 8、平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上,入射角为刊。 求导电介质中 电磁波的相速度和衰减长度。 若导电介质为金属,结果如何? 提示: 导电介质中的波矢量k=B+ia,a只有z分量。 (为什么? )解: 根据题意,取入射面为xz平面,z轴沿分界面法线方向,如图所示。 ('2」;「rsirp齐)■丄〔(•2■—sim円片.,2」2二2 2c2c 其相速度为: +衰减深度为: 仏=1/: 如果是良导体,k2的实部与其虚部相比忽略,贝U: (灼si")2/c2+P;■町=0 曲二切卩&/2 22sinildpsirij二2u2c «z=-Aysin2dSin4®+co2卩2A: );A 2c2c 9、无限长的矩形波导管,在z=0处被一块垂直插入的理想导体平板完全封闭,求在z二二至Uz=0这段管内可能存在的波模。 解: 在此结构的波导管中,电磁波的传播满足亥姆霍兹方程: 、、2Ek2E=0,k9—E二0 电场的三个分量通解形式相同,均为: E(x,y,z)=(CiSinkxx-DiCOskxx)(C2sinkyyD2coskyy)(C3sinkzz-D3coskzz)边界条件为: 在x=0及x=a两平面: Ey=: Ez=: 0,: : Ex/: : x=0在y=0及y二b两平面: Ex二Ez=0、: : Ey/: : y=0在z=0平面: Ex=Ey=05: : E2/=0由此可得: Ex=AcoskxXsinkyysinkzZ Ey=A2sinkxxcoskyysinkzzEz_2 AaS
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