大学高等数学各章节练习题.docx
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大学高等数学各章节练习题
、填空
1、设f(x)
0
第一章极限与连续
2、若数列
3、若lim
xx
1
1,
则数列
则ff(x)
4、当x
5、设函数
Xn收敛,
f(x)A,而lim
xx0
Xn一'疋。
g(x)不存在,则lim(f(x)g(x))
xx
0时,v'1ax21与cosx1为等价无穷小,则a
f(x)在点xX0处连续,则f(x)在点xX0处是否连续。
,则(X)的定义域为
6、设f(x)sinx,f((x))1x2
2ax
sin2xe1
x
7、如果f(x)
)内连续,则a
x2
&曲线y
二选择
9、如果f(x),g(x)都在x。
点处间断,那么(
(A)f(x)g(x)在X。
点处间断
(C)f(x)g(x)在X0点处连续
10、设数列Xn与yn满足limXnyn
n
(A)若Xn发散,则yn必发散。
的渐近方程为
)
g(x)在X。
点处间断
g(x)在X。
点处可能连续。
)
(B)f(x)
(D)f(x)
0,则下列断言正确的是(
(C)若Xn有界,则yn必为无穷小(
(B)若Xn无界,则yn必有界
1
D)若为无穷小,则yn必为无穷小。
Xn
11、已知
(A
(C
f(x)
lim0,且f(0)
x0x
f(x)在x0处不连续。
f(x)不存在。
12、设f(x)
2xx
4x3x
,则
1,那么()
(B)f(x)在x
(D)limf(x)
x0
f(X)为(—)
(A)2
13、设f(x)
1
3
(x1)sinx
(B)
(C)
那么x0是函数的(
0处连续。
1
(D)不存在
(C)跳跃间断点。
(D)可去间断点
14、
lim(
2
2L2)15
、lim
n
n
1
n2nn
n
a
X
a
16、
lim
(a0)17
、lim
x0
X
X
18、
lim
(d
X
1)sinx19
、lim
第二类间断点。
(B)
x
x
5n
8n5
arctanx
x01cosx
(X21)x'
(A)无穷间断点。
三、完成下列各题
ln(12x)ln(12)
x
xtan
(1)xsin』)
20、
lim
x
2
x
21
、limcosx曲
x
1
x0
ex1
22
、lim1
、cosx
x0x(1
cos、x)
1
—lnf
(1)f
(2)Lf(n)
23、
设f(x)
x
aa
0,a1
,求lim
n
n
24、
2
右lim2
axb
2,求a,
b的值。
x2x2
x2
1x…》
25、设f(x)lim丄笃,讨论f(x)在其定义域内的连续性,若有间断点,指出其类型。
n1xn
1
26、设函数f(x)bx在(,)内连续,且limf(x)0
a|a|ex
(1)试确定a,b的正负号。
(2)求limf(x)的值
x
X2
xax
27、已知lim9,求a。
28、已知limaxb0,求a,b。
xxaxx1
第二章导数与微分
一、选择填空
1、函数f(x)xx(x23x2)(x2)3有()个不可导点。
(A)
1
(B)
2
(03
2、设
f(x)
x(x
1)(x
2)
(x
(A)
20
05
(B)
200,
4!
k
:
.1
0
3、设
f(x)
x
sin
x
x
0
x
0
(A)
4、设
k0时连续(B)k
(D4
2005),则口0)()
(C)2005!
(D)2004!
,在x0点处,下面叙述错误的是()
(A)
f(x)在x1点处可导,且f
(1)f(cosxtan2x)lim
x0
(C)
2
x
f(1sinx)f(13sinx)lim
x0
1时连续不可导(C)k1时可导(D)k2时导函数连续
0,下列等式不等于f/
(1)的是
2f(cosx)
lim2
x0x2
2
..f(1x)
lim2
x0x2
(B)
4(ex1)
1f/(X0),贝yx0时,该函数在
2
(A)是x的高阶无穷小(B)
(C)是x的等价无穷小(D)
6、设f(x)在xx°处可导,g(x)都在x
(A)f(x)g(x)在xx°处不可导(B)
5、设
(D)
x°处的微分dy()
x的低阶无穷小
x的同阶阶无穷小
是
是
X。
处不可导,则叙述错误的是(
f(x)g(x)在xx°处不可导
X0处不一定不可导
(C)f(x)g(x)在xx°处不可导(D)f(x)g(x)在x
7、下面叙述错误的是()。
(A)f(x)在xx0处可导,则f(x)在xx0处有切线。
(B)
(C)
(D)
f(x)在x
f(x)在x
f(x)在x
&质点沿曲线运动,
/秒的速率增加,
(A)5(B)
3
二、填空
则在
3
5
X0处不可导,则f(x)在xX0处就没有切线。
X。
处导数为无穷大,则f(x)在xX。
处有切线。
X。
处左右导数存在不相等,则f(x)在xX°处就没有切线。
曲线在点M(x,y)处的切线斜率为1/3,在点M处质点的横坐标以M点处质点的纵坐标的变化速率是()单位/秒
15
(C)(D)
153
x
9、曲线
3t在t2处的切线方程为
10、
11、
12、
13、
14、
y
已知f(x)任意阶可导,且f/(x)f2(x),则f⑴(x)
设曲线f(x)xn在点(1,1)处的切线与X轴的交点为(Un,0),则limf(Un)n
xeX,则f(n)(0)
xy,则dy_
f红工,f/(x)
3x2
设f(x)设tany
已知y
arctanx2,则dy
dx
15、
—,贝ydsincosx
2
完成下列各题:
dcosx
16、
18、
求
ln3x2,求
ln(x.x2
17
、设y
20、
22、
x2
(x
1)
x
,求y
1
x2
21
19、设
、设y
1)arctan2
x
2x
dy
dx
丄x1亠arctan,求
x1
arcsinx
yTT7,求
f(ex)ef(x),求
tet
ety
dy
,求——
dx
2
xax
2-
(X1)sin,x
x1
设f(x),g(x)的定义域为R,x,y恒有f(xy)
f(y)g(x),f(0)0,g(0)1,f/(0)1,g/(0)0,求f'(x)。
26、设设函数f(x)
23、
24、
25、
x
t
ye
确定a,b使f(x)
b,
1
处处可导。
1
f(x)g(y)
-/
有连续的导
函数,且在f(0)0,f/(0)2
f(x)3sinx
F(x)X,X
a,x
0连续,求a。
27、已知yy(x)由yxey1所确定,求
d2y
dx2
28、
讨论f(x)
0
,在x0点处的可导性。
29、
30、
31、
求曲线已知y
設y
sin
f(x2
3
y
4x
(x1)cosycos4x,求y
(y)),其中f,
9在x1处的切线与法线。
(n)
可微,求dy
1、
3、
填空:
35x
lim-
x1tanx
tanxxlim
x0xsinx
332"
第三章
中值定理与导数应用
、函数y
函数f(x)12x3x22x3的极小值是
、选择:
23
6、设y(x1)(x2),则(
(A)x=1是该函数的极小值点
(C)x7是该函数的极小值点
5
7、设函数f(x)x3ax2
(A)a=-4,b=1(B)a=4,b=-7
f(x)f(a)&设lim2-l
xa(xa)
(A)f(x)可导,且『(x)
(C)f(x)取得极大值
9、不等式ex
(A)(,0)
5、
cos3xln(1x2)
3c2亠
x3x在
)
(B)x=2是该函数的极大值点
(D)x=1是该函数所表示曲线的拐点横坐标
bx在x=1处有极小值-2,则必(
(C)a=0,b=-3
(D)a=b=1
单减.
1,则在点
a处()
0(B)
(D)
1x成立的范围是(
(B)(0,)
f(x)取得极大值
f(x)不可导
10、在区间(
(A)无实根
(C)有且仅有两个实根三、完成下列各题:
)内,方程
(C)
1
4
x
(B)
(D)
)
0)
1
2
(0,
13、求
14、求
f(X)
2
yx
3
)tanx
2
x3x在[1,
33x2
4x
12
15、若
f(x),g(x)在[a,b]
16、设
f(x)可导,求证
cosx
有且仅有-
0(
个实根
有无限多个实根
、lim(2sinx
x0
3]上的最大值与最小值。
5的单调区间,凹凸区间与极值。
1
COSX)x
可导且g/(x)0,试证存在(a,b)使
f(a)f()f/().
g()g(b)g/()
f(x)的两个零点之间一定有f(x)f/(x)的零点.
17、设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)内可导,且f⑴0,又limf(x)2,求证:
存在(0,1)
X0x
使f/()0。
18、已知当x0时,f(x)
19、求证:
当x1时,arctanx
1ax
是x的三阶无穷小,求常数
1bx
12xarccos2
21x
第四章
a,b。
4
不定积分
一、选择与填空
1、下列等式错误的是
(A)
(C)
2、若
f/(x)dxf(x)C
—f(x)dxdx
f(x)连续,则
f(x)
(B)
(D)
df(x)
f(x)
df(x)dxf(x)dx
(A)f(x)(B)
3、设
(A)当
f(x)是连续函数,f(x)是奇函数时,
d(f(x)dx)
f(x)C
F(x)是f(x)的原函数,则
F(x)必是偶函数(B)当f(x)是偶函数时,
(
(C)
)
f(x)dx(D)f(x)dx
F(x)必是奇函数
(C)当
数
f(x)是周期函数时,
F(x)必是周期函数(D)单调增加函数时,
F(x)必是单调增函
4、
3
x.
(nrdx
5、
设f(sin2x),贝则f(x)dx
sinxJ1x
6、已知xf(x)dxarcsinxC,则
dx
f(x)
二、完成下列各题
2
Jrdx
2x
7、
9、
22
sin2xsin3xdx
10
11、
tan3xsecxdx
12
.3
sinxcosx,
2dx
1cosx
1
22dx
(x1)2(x2)2
(tan7xtan5x)dx
13、
3
cosx」
5dxsinx
14
exarctanexdx
15、
e2x1dx
16
xln(1x),dx
2
x
3
x成正比,并通过点A(1,6)和B(2,-9),求该曲线
若曲线上点(x,y)的方程。
18、设f(x)的原函数F(x)>0,且F(0)=1.当x0时,有f(x)F(x)sin22x,试求f(x)
2
52x
19、设f(x1)In—2,且f[g(x)]Inx,求g(x)dx
x2
17、
处的切线斜率与
1
2cosx
20、
dx
1
cos2x
第五章定积分
一选择填空
b
1已知I1xdx,I2
a
bxb
dx,I3ln(1
a1xa
x)dx(ba0),则(
(A)I2I3I1(B)
11I3I2(C)I3
I1I2(D)11I2
2下列等式错误的是(
)
(A)f/(x)dxf(x)
C(B)df(x)
f(x)
)
I3
pl
(C)一f(x)dxf(x)(Ddf(x)dxf(x)dx
dx
db
3设f(x)为连续函数,那么—f(xt)dt()dxa
(A)
f(x
b)
f(xa)
(B)
f(xb)
f(xa)
(C)
f(x
b)
f(a)
(D
f(b)f(
xa)
4已知
f(x)
13
1
f(x)(
1
p|V贝【1
f(x)dx
T(x)
1
2x
x
0f(x丿,
ux?
贝u
0
1(x)dx
(A)
—
(B)
—
(C)
—
(D
——
2
3
3
2
3
5设f
(x)为:
连续函数,且
x
x
0
f(x)dx,
则f(7)
()
(A)
1
(B
)1
(C)
1
(D)
1
12
3
12
3
6已知
x
0f(:
x)dx
ln(1x
2),则f
(x)(
)
(A)
1
2
(B)-
x
.2
(C)
2x
.2
(D)2x
2、22
1x1x1x
二填空
1
7、已知f(x)x2f(x)dx,贝Vf(x);
o
8I2(x2sin3x)sinxdx;
2
9、设f(x)lntdt(x0),贝》f(x)f(丄)=;
11tx
3
x
10、lim;
x0X
o(1cost)dt
11、设x1,求:
(1t)dt;
1x1
12、已知f(),x0,贝Uf(x)dx;
x1x0
sinx
13、已知当x0时,1cosx与0ln(1at)dt为等价无穷小,则a
完成下列各题
14、
已知f(x)
2,求lim
x2
2[tf(u)du]dt
x2
15、
设f(x)连续且
f(0)
0,求
(x2)2
x
0(xt)f(t)dt
x
f(xt)dt
0
xm0
16、
求F(x)
x2
(t
1)e
tdt的极值
17、
已知f(
[f(x)f//(x)]sinx5,求
18、
若函数f(x)
且
0
131
21xf(x)dx,求f(x)及
1x0
f(0)。
1
0f(x)dx
19、
设f(x)当x
1
0时可导,且f(x)1-
x
x
f(x)dx,求f(x).
20、
已知f
(2)
扌,f/
(2)
2
0及of(x)dx
\_2
0‘
x2f//(2x)dx,)
21、
2sinx
0sinxcosx
dx
22
"dx
2
23
0arctan'xdx
24、
2ln(1x)
0(2
x)2dx
25
■2
cosx一1sinxdx
26
1
2(1x)arcsinxdx
1
2
、1
27、
2
min
2
L,x2
dx
28
4dx29
1x(1Vx)
xexdx
(1ex)2
30
、lim
n
2
x
”n
1xdx01x
第七章
空间解析几何与向量代数
一、填空与选择
OM=
1、已知点A(3,2,1)和点B(7,2,3),取点M使AM2MB,则向量
2已知点A(012)和点B(1,1,0),则AB0=。
3、设向量a与三个坐标面的夹角分别为,,,则cos2cos2cos2=
4、
设向量
a的方向角
向量a
过点P1,
垂直的平面方程为
5、
6、
3
(7,2,5)在向量b
2,1且与直线
为锐角,
(2,2,1)上的投影等于
xt2,y3t
4,z
x1y2z
7、已知两直线方程是L1:
-
101
L2:
z
1,则过L1且平行
L2的平面方程为—
X」
1
&设直线L1
x
L2:
2y
0
0,则L1与L2的夹角为()
(A).—
(B).—
(C).
(D)
6
4
3
2
9、平面Ax
By
CzD
0过x轴,
则()
(A)AD
0
(B)B
0,C0
(C)B0,C0(D)BC0
10、平面3x
5z
10(
)
(A)平行于zox平面(B)平行于y轴(C)垂直于y轴(D)垂直于x轴
11、点M(1,2,1)到平面x2y2z100的距离为()
1
(A)1(B)1(C)—1(D)-
3
12、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为。
13、过点(1,2,1)与向量S;i2j3k,S;jk平行的平面方程为。
14、平面19x4y8z210和19x4y8z420之间的距离等于。
15、过点(0,2,4)且与平面x2z1及y3z2都平行的直线方程为。
16、过点(2,0,3)并与x2y4z70垂直的平面的方程为
3x5y2z10
二、完成下列各题
1、设OCa13b,OB2a8b,OC(ab)与b是不平行的非零向量,求的值,使三点在同一直线上。
2、已知不平行的两向量a和b,求它们的夹角平分线上的单位向量。
3、设点为矢量的起点,AB10,AB与轴、轴的夹角分别为,试求:
(1)与轴的夹角;
(2)点的坐标。
4、求与向量共线且满足的向量。
5、若平面过轴,且与平面成的角,求它的方程。
6、求过原点及点(6,3,2),且垂直于平面4xy2z8的平面方程。
7、过已知点作一直线,并同时满足(
相交,求此直线方程。
1)与矢量垂直;
(2)与直线L1:
「八x1yz1
&求直线L:
在平面xy2z1的投影直线L0的方程,
111
旋转一周所成曲面的方程。
y1z3
25
并求L0绕y轴
(A)
X
丫Z(B)
Y
XZ(C)X
Z丫(D)
ZYX
xy
2
2
y
0
在(0,0)点下列
2、
已知函数f(x)
22
xy
可叙述正确的是()
0
2x
2
y
0
(A)
连续但偏导不存在
(B)
连续偏导也存在
(B)
(C)不连续偏导也不存在
(D)
不连续但偏导存在
3、
曲线
2
xt,yt
zt
的切线与平面x
2yz4平行的有()条.
(A)
1(B)2
(C)3
(D)
4
4、
曲面
zsinxsinysin(x
y)上点
(,—
3)处的法线与
xoy面夹角的正弦值为()
63
4
(A)
226(B)
326
(C)
13
(D)1
V26
(B)
13
26
13
},Z={可微函数类},则
()
)的方向导数为fy。
第八章
一选择填空
1、已知X={偏导数存在的函数类
多元函数微分法及其应用
},Y={偏导数存在且连续的函数类
5、函数f(x,y)在P(x,y)点沿向量e(
(A){0,—1}(B){—1,0}(C){1,0}(D){0,1}
6、zf(x,y)在(x°,y°)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又(x°,y。
)是驻
点,令fxx(x0,y。
)A、彳幼区小)B、
fyy(X0,y°)C,则f(x,y)在(X0,y°)处取得极值的条件为()
22
(A)BAC0(B)BAC0
(C)BAC0(D)A、B、C任何关系。
7、梯度的方向是方向导数取得()的方向,梯度的模是方向导数的最大值.
(A)极大值(B)最小值(C)最大值(D)极小值
&二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是()
(A)
fx
0且fy
0(B)
fxy连续(C)
fyx连续(D)fxy
与fyx都连续
9、设z
z(x,y)由方程F(xaz,ybz)0所确疋,其中
F(u,v)可微,a,b为常数,则
必有
(
)
zz
zz
(A)
a-
b-
1
(B)
ba1
xy
xy
zz
zz
(C)
a-
b-
1
(D)
ba1
xy
xy
-二二
填空
10、
已知f(x
y,xy)
xyx2,则
f(x,y)
11、已知A(xay)I2yj为某一二元函数的梯度,则a__
(xy)—
12、已知zInJx2y2,则在点(2,1)处的全微分dz
13、曲面zez2xy3在点(1,2,0)处的切平面
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- 大学 高等数学 各章 练习题