三次样条插值作业题.docx
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三次样条插值作业题.docx
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三次样条插值作业题
例1设
为定义在[0,3]上的函数,有下列函数值表:
xi
0
1
2
3
yi
0
2
且
,
,试求区间[0,3]上满足上述条件的三次样条插值函数
本算法求解出的三次样条插值函数将写成三弯矩方程的形式:
其中,方程中的系数
,
,
,
将由Matlab代码中的变量Coefs_1、Coefs_2、Coefs_3以及Coefs_4的值求出。
以下为Matlab代码:
%=============================
%本段代码解决作业题的例1
%=============================
clearall
clc
%自变量x与因变量y,两个边界条件的取值
IndVar=[0,1,2,3];
DepVar=[0,,2,];
LeftBoun=;
RightBoun=-1;
%区间长度向量,其各元素为自变量各段的长度
h=zeros(1,length(IndVar)-1);
fori=1:
length(IndVar)-1
h(i)=IndVar(i+1)-IndVar(i);
end
%为向量μ赋值
mu=zeros(1,length(h));
fori=1:
length(mu)-1
mu(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));
end
mu(i+1)=1;
%为向量λ赋值
lambda=zeros(1,length(h));
lambda
(1)=1;
fori=2:
length(lambda)
lambda(i)=h(i)/(h(i-1)+h(i));
end
%为向量d赋值
d=zeros(1,length(h)+1);
d
(1)=6*((DepVar
(2)-DepVar
(1))/(IndVar
(2)-IndVar
(1))-LeftBoun)/h
(1);
fori=2:
length(h)
a=(DepVar(i)-DepVar(i-1))/(IndVar(i)-IndVar(i-1));
b=(DepVar(i+1)-DepVar(i))/(IndVar(i+1)-IndVar(i));
c=(b-a)/(IndVar(i+1)-IndVar(i-1));
d(i)=6*c;
end
d(i+1)=6*(RightBoun-(DepVar(i+1)-DepVar(i))/(IndVar(i+1)-IndVar(i)))/h(i);
%为矩阵A赋值
%将主对角线上的元素全部置为2
A=zeros(length(d),length(d));
fori=1:
length(d)
A(i,i)=2;
end
%将向量λ的各元素赋给主对角线右侧第一条对角线
fori=1:
length(d)-1
A(i,i+1)=lambda(i);
end
%将向量d的各元素赋给主对角线左侧第一条对角线
fori=1:
length(d)-1
A(i+1,i)=mu(i);
end
%求解向量M
M=A\d';
%求解每一段曲线的函数表达式
fori=1:
length(h)
Coefs_1=M(i)/(6*h(i));
Part_1=conv(Coefs_1,...
conv([-1,IndVar(i+1)],...
conv([-1,IndVar(i+1)],[-1,IndVar(i+1)])));
S_1=polyval(Part_1,[IndVar(i):
:
IndVar(i+1)]);
Coefs_2=M(i+1)/(6*h(i));
Part_2=conv(Coefs_2,...
conv([1,-IndVar(i)],...
conv([1,-IndVar(i)],[1,-IndVar(i)])));
S_2=polyval(Part_2,[IndVar(i):
:
IndVar(i+1)]);
Coefs_3=(DepVar(i)-M(i)*h(i)^2/6)/h(i);
Part_3=conv(Coefs_3,[-1,IndVar(i+1)]);
S_3=polyval(Part_3,[IndVar(i):
:
IndVar(i+1)]);
Coefs_4=(DepVar(i+1)-M(i+1)*h(i)^2/6)/h(i);
Part_4=conv(Coefs_4,[1,-IndVar(i)]);
S_4=polyval(Part_4,[IndVar(i):
:
IndVar(i+1)]);
S=S_1+S_2+S_3+S_4;
plot([IndVar(i):
:
IndVar(i+1)],S,'LineWidth',
%在样条插值曲线的相应位置标注该段曲线的函数表达式
text(i-1,polyval(Part_1,3),...
['\itS',num2str(i),'(x)=',num2str(Coefs_1),'(',num2str(IndVar(i+1)),'-x)^{3}+',...
num2str(Coefs_2),'(x-',num2str(IndVar(i)),')^{3}+',num2str(Coefs_3),...
'(',num2str(IndVar(i+1)),'-x)+',num2str(Coefs_4),'(x-',num2str(IndVar(i)),')'],...
'FontName','TimesNewRoman','FontSize',14)
holdon
end
%过x=1和x=2两个横轴点作垂线%
line([1,1],[,],'LineStyle','--');
line([2,2],[,],'LineStyle','--');
%为x轴和y轴添加标注
xlabel('\itx','FontName','TimesNewRoman',...
'FontSize',14,'FontWeight','bold');
ylabel('\its(x)','FontName','TimesNewRoman',...
'Rotation',0,'FontSize',14,'FontWeight','bold');
最终,三次样条插值函数s(x)表达式为:
曲线的图像如图所示:
例2已知函数值表:
xi
1
2
4
5
yi
1
3
4
2
试求在区间[1,5]上满足上述函数表所给出的插值条件的三次自然样条插值函数
本算法求解出的三次样条插值函数将写成三弯矩方程的形式:
其中,方程中的系数
,
,
,
将由Matlab代码中的变量Coefs_1、Coefs_2、Coefs_3以及Coefs_4的值求出。
以下为Matlab代码:
%=============================
%本段代码解决作业题的例2
%=============================
clearall
clc
%自变量x与因变量y的取值
IndVar=[1,2,4,5];
DepVar=[1,3,4,2];
%区间长度向量,其各元素为自变量各段的长度
h=zeros(1,length(IndVar)-1);
fori=1:
length(IndVar)-1
h(i)=IndVar(i+1)-IndVar(i);
end
%为向量μ赋值
mu=zeros(1,length(h));
fori=1:
length(mu)-1
mu(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));
end
mu(i+1)=0;
%为向量λ赋值
lambda=zeros(1,length(h));
lambda
(1)=0;
fori=2:
length(lambda)
lambda(i)=h(i)/(h(i-1)+h(i));
end
%为向量d赋值
d=zeros(1,length(h)+1);
d
(1)=0;
fori=2:
length(h)
a=(DepVar(i)-DepVar(i-1))/(IndVar(i)-IndVar(i-1));
b=(DepVar(i+1)-DepVar(i))/(IndVar(i+1)-IndVar(i));
c=(b-a)/(IndVar(i+1)-IndVar(i-1));
d(i)=6*c;
end
d(i+1)=0;
%为矩阵A赋值
%将主对角线上的元素全部置为2
A=zeros(length(d),length(d));
fori=1:
length(d)
A(i,i)=2;
end
%将向量λ的各元素赋给主对角线右侧第一条对角线
fori=1:
length(d)-1
A(i,i+1)=lambda(i);
end
%将向量d的各元素赋给主对角线左侧第一条对角线
fori=1:
length(d)-1
A(i+1,i)=mu(i);
end
%求解向量M
M=A\d';
%求解每一段曲线的函数表达式
fori=1:
length(h)
Coefs_1=M(i)/(6*h(i));
Part_1=conv(Coefs_1,...
conv([-1,IndVar(i+1)],...
conv([-1,IndVar(i+1)],[-1,IndVar(i+1)])));
S_1=polyval(Part_1,[IndVar(i):
:
IndVar(i+1)]);
Coefs_2=M(i+1)/(6*h(i));
Part_2=conv(Coefs_2,...
conv([1,-IndVar(i)],...
conv([1,-IndVar(i)],[1,-IndVar(i)])));
S_2=polyval(Part_2,[IndVar(i):
:
IndVar(i+1)]);
Coefs_3=(DepVar(i)-M(i)*h(i)^2/6)/h(i);
Part_3=conv(Coefs_3,[-1,IndVar(i+1)]);
S_3=polyval(Part_3,[IndVar(i):
:
IndVar(i+1)]);
Coefs_4=(DepVar(i+1)-M(i+1)*h(i)^2/6)/h(i);
Part_4=conv(Coefs_4,[1,-IndVar(i)]);
S_4=polyval(Part_4,[IndVar(i):
:
IndVar(i+1)]);
S=S_1+S_2+S_3+S_4;
plot([IndVar(i):
:
IndVar(i+1)],S,'LineWidth',
%在样条插值曲线的相应位置标注该段曲线的函数表达式
text(i,polyval(Part_1,5),...
['\itS',num2str(i),'(x)=',num2str(Coefs_1),'(',num2str(IndVar(i+1)),'-x)^{3}+',...
num2str(Coefs_2),'(x-',num2str(IndVar(i)),')^{3}+',num2str(Coefs_3),...
'(',num2str(IndVar(i+1)),'-x)+',num2str(Coefs_4),'(x-',num2str(IndVar(i)),')'],...
'FontName','TimesNewRoman','FontSize',14)
holdon
end
%过x=2和x=4两个横轴点作垂线%
line([2,2],[,],'LineStyle','--');
line([4,4],[,],'LineStyle','--');
%为x轴和y轴添加标注
xlabel('\itx','FontName','TimesNewRoman',...
'FontSize',14,'FontWeight','bold');
ylabel('\its(x)','FontName','TimesNewRoman',...
'Rotation',0,'FontSize',14,'FontWeight','bold');
最终,三次自然样条插值函数s(x)表达式为:
曲线的图像如图所示:
例3课后习题与思考题第7题
xi
yi
试求在区间[,]上满足上述函数表所给出的插值条件的三次自然样条插值函数s(x)
求解出的三次样条插值函数将写成三弯矩方程的形式:
本题采用和例2基本相同的Matlab代码,只改变初始条件。
最终,三次自然样条插值函数s(x)表达式为:
曲线的图像如图所示:
例4课后习题与思考题第6题
求
的二次插值式
,使:
并计算
的近似值并估计误差。
本题采用拉格朗日二次插值法进行计算:
以下为Matlab代码:
%=============================
%本段代码解决课本第2章习题与思考题第6题
%=============================
clearall
clc
%自变量x与因变量y的取值
IndVar=[100,121,144];
DepVar=[10,11,12];
%构造拉格朗日插值函数
Coefs_1=DepVar
(1)/...
((IndVar
(1)-IndVar
(2))*(IndVar
(1)-IndVar(3)));
Part_1=conv(Coefs_1,...
conv([1,-IndVar
(2)],[1,-IndVar(3)]));
f_1=polyval(Part_1,[IndVar
(1):
:
IndVar(3)]);
Coefs_2=DepVar
(2)/...
((IndVar
(2)-IndVar
(1))*(IndVar
(2)-IndVar(3)));
Part_2=conv(Coefs_2,...
conv([1,-IndVar
(1)],[1,-IndVar(3)]));
f_2=polyval(Part_2,[IndVar
(1):
:
IndVar(3)]);
Coefs_3=DepVar(3)/...
((IndVar(3)-IndVar
(1))*(IndVar(3)-IndVar
(2)));
Part_3=conv(Coefs_3,...
conv([1,-IndVar
(1)],[1,-IndVar
(2)]));
f_3=polyval(Part_3,[IndVar
(1):
:
IndVar(3)]);
f=f_1+f_2+f_3;
plot([IndVar
(1):
:
IndVar(3)],f,'LineWidth',;
%在样条插值曲线的相应位置标注该段曲线的函数表达式
text(110,polyval(Part_1,110)+polyval(Part_2,110)+polyval(Part_3,110),...
['\itP_2(x)=',num2str(Coefs_1),'(x-',num2str(IndVar
(2)),...
')(x-',num2str(IndVar(3)),')+',num2str(Coefs_2),'(x-',num2str(IndVar
(1)),...
')(x-',num2str(IndVar(3)),')+',num2str(Coefs_3),'(x-',num2str(IndVar
(1)),...
')(x-',num2str(IndVar
(2)),')'],...
'FontName','TimesNewRoman','FontSize',14)
%为x轴和y轴添加标注
xlabel('\itx','FontName','TimesNewRoman',...
'FontSize',14,'FontWeight','bold');
ylabel('\itP_2(x)','FontName','TimesNewRoman',...
'Rotation',0,'FontSize',14,'FontWeight','bold');
%求115平方根的估计值
fun115=polyval(Part_1,115)+polyval(Part_2,115)+polyval(Part_3,115)
%求115平方根的准确值
sqrt(115)
%求误差,单位为%
est=100*(fun115-sqrt(115))/fun115
最终,拉格朗日插值函数
的表达式为:
从计算结果可以看出,
的准确值为,而通过拉格朗日插值法求出的近似值为,误差为%
的图像为:
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- 三次 样条插值 作业题
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