#研究生矩阵论第1讲 线性空间.docx
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#研究生矩阵论第1讲线性空间
矩阵论
1、意义
随着科学技术的发展,古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要,矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具.有人认为:
“科学计算实质就是矩阵的计算”.这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性.因此,学习和掌握矩阵的基本理论和方法,对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具.
2、内容
《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异:
线性代数:
研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆)以及第一类初等变换(非正交的)、对角标准形(含二次型)以及
阶线性方程组的解等基本内容.
矩阵论:
研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富.
3、方法
在研究的方法上,矩阵论和线性代数也有很大的不同:
线性代数:
引入概念直观,着重计算.
矩阵论:
着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算,把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示.深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用.
第1讲线性空间
内容:
1.线性空间的概念;
2.基变换和坐标变换;
3.子空间和维数定理;
4.线性空间的同构
线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念,也是通常几何空间概念的推广和抽象,线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象.
§1线性空间的概念
1.群,环,域
代数学是用符号代替数(或其它)来研究数(或其它)的运算性质和规律的学科,简称代数.
代数运算:
假定对于集A中的任意元素a和集B中的任意元素b,按某一法则和集C中唯一确定的元素c对应,则称这个对应为A、B的一个(二元)代数运算.
代数系统:
指一个集A满足某些代数运算的系统.
1.1群
定义1.1设
是一个非空集合,在集合
的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法,记为“+”.即,对
中给定的一个法则,对于
中任意元素
,在
中都有惟一的一个元
和他们对应,称
为
的和,记为
.若在“+”下,满足下列四个条件,则称
为一个群.
1)
在“+”下是封闭的.即,若
有
;
2)
在“+”下是可结合的.即,
,
;
3)在
中有一个元
,若
有
;e称为单位元;
4)对于
有
.称
为
的逆元.
注:
对
任意元素
,都有
,则称
为交换群或阿贝尔群.
1.2环
定义1.2设
是一个非空集合,在集合
的元素之间定义了两种代数运算,分别叫做加法、乘法,记为“+”和“
”.即,对
中给定的一个法则,对于
中任意元素
,在
中都有惟一的一个元
和他们对应,称
为
的和和积,记为
(
).满足下列三个条件,则称
为一个环.
1)
在“+”下是阿贝尔群;
2)
在“
”下是可结合的.即,
;
3)乘法对加法满足左、右分配律,即对于
中任意元素
,
,
,有
,
.
注:
对
任意元素
,都有
,则称
为交换环.
1.3域
定义1.3设
满足环的条件,且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件,则称
为域.
例:
有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域,称之为有理数域.最常见的数域有有理数域
、实数域
、复数域
.实数域和复数域是工程上较常用的两个数域.
此外,还有其它很多数域.如
,不难验证,
对实数四则运算封闭的,所以
也是一个数域.而整数集合
就不是数域.数域有一个简单性质,即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.特别,每个数域都包含整数0和1.
2.线性空间
定义1.4设
是一个非空集合,
是一个数域.在集合
的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法,记为“+”:
即,给出了一个法则对于
中任意元素
,在
中都有惟一的一个元
和他们对应,称
为
的和,记为
.在数域
和集合
的元素之间还定义了一种代数运算,称为数量乘法(数乘),记为“
”:
即,对于数域
中任一数
和
中任一元
,在
中都有惟一的一个元
和它们对应,称
为
和
的数乘,记为
.如果加法和数乘这两种运算在
中是封闭的,且满足如下八条规则:
交换律
;
结合律
,
;
,有
,(0称为零元素);
,有
,(
称为的
负元素,记为
);
,有
;
,
;
;
,
则称集合
为数域
上的线性空间.当数域
为实数域时,
就称为实线性空间;
为复数域,
就称为复线性空间.
例1.按通常向量的加法和数乘运算,由全体实
维向量组成的集合,在实数域
上构成一个实线性空间,记为
;由全体复
维向量组成的集合,在复数域
上构成—个复线性空间,记为
.
例2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法,由数域
上的元素构成的全体
矩阵所成的集合,在数域
上构成一个线性空间,记为
.而其中秩为
的全体矩阵所成的集合
则不构成线性空间,为什么?
(事实上,零矩阵
).
例3.按通常意义的函数加法和数乘函数,闭区间
上的连续函数的全体所成的集合,构成线性空间
.
例4.设
={全体正实数},其“加法”及“数乘”运算定义为
。
证明:
是实数域R上的线性空间.
证:
首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性。
唯一性和封闭性.唯一性显然,若
,则有:
,
,封闭性得证.
其次,八条性质。
(1)
(2)
(3)1是零元素.
(4)
是x的负元素
(5)
[数因子分配律]
(6)
[分配律]
(7)
[结合律]
(8)
[恒等律]
由此可证,
是实数域
上的线性空间.证毕
3.线性空间的基本性质:
(1)零元素是唯一的,任一元素的负元素也是唯一的.
(2)如下恒等式成立:
,
.
4.线性组合和线性表示,线性相关和线性无关性,维数
定义1.5线性组合:
,
称为元素组
的一个线性组合.
定义1.6线性表示:
中某个元素
可表示为其中某个元素组的线性组合,则称
可由该元素组线性表示.
定义1.7设
是数域
上的线性空间,
是
的一组向量,如果
中有一组不全为零的数
,使得
(1.1)
则称向量
线性相关;若等式(1.1)仅当
时才能成立,则称这组向量是线性无关的.线性空间
中最大线性无关元素组所含元素个数称为
的维数,记为
.
§2基变换和坐标变换
1.线性空间的基和坐标
定义2.1设
是数域
上的线性空间,
,是属于
的
个任意元素,如果它满足
(1)
线性无关;
(2)
中任一向量
均可由
线性表示.
则称
为
的一个基或基底,并称
为该基的基元素.
基正是
中最大线性无关元素组,
的维数正是基中所含元素的个数.基通常是不唯一的,但不同的基所含元素个数相等.线性空间的维数是确定的,不会因选取不同的基而改变.
例1:
考虑全体复数所形成的集合
.如果
(复数域),则该集合对复数加法和复数的乘法构成线性空间,其基可取为1,空间维数为1;如果取
(实数域),则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间,其基可取为
,空间维数为2.
定义2.2称线性空间
的一个基
为
的一个坐标系,
,它在该基下的线性表示为:
,(
)
则称
为x在该坐标系中的坐标或分量,记为
.
一般来说,线性空间及其元素是抽象的对象,不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质.但坐标表示却把它们统一了起来,坐标表示把这种差别留给了基和基元素,由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来.
更进一步,原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘.
2.基变换和坐标变换
定义2.3设
是
的旧基,
是
的新基,它们可以相互线性表示
即
(1.2)
其中
称为由旧基改变为新基的过渡矩阵,而称式(1.2)为基变换公式.可以证明,过渡矩阵
是非奇异矩阵.
设
,它在旧基下的线性表示为
,它在新基下的线性表示为
,由于基元素的线性无关性,得到坐标变换关系
则
上式给出了在基变换式下向量坐标的变换公式.
例1已知矩阵空间
的两个基:
(1)
,
,
,
(2)
,
,
,
求由基
(1)改变为基
(2)的过渡矩阵.
解为了计算简单,采用中介基的方法.引入简单基:
(3)
,
,
,
由基(3)到基
(1)的过渡矩阵为
即
,可得
,
再写出由基(3)到基
(2)的过渡矩阵为
,即
于是写出由基
(1)到基
(2)的过渡矩阵为
,即
§3子空间和维数定理
1.线性子空间的定义及其性质
定义3.1设
是数域
上的线性空间
的一个非空子集合,且对
已有的线性运算满足以下条件
(1)如果
,则
;
(2)如果
,
,则
,
则称
是
的一个线性子空间或子空间.
由于线性子空间也是线性空间,因此,前面引入的关于维数、基和坐标等概念亦可使用到线性子空间中去.
性质:
(1)线性子空间
和线性空间
享有共同的零元素;
(2)
中元素的负元素仍在V1中.
子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间.{O}和
本身称为平凡子空间;除以上两类子空间外的称为非平凡子空间,由于零子空间不含线性无关的向量,因此它没有基,规定其维数为零.
定义3.2设
为
中的元素,它们的所有线性组合所成的集合
也是
的线性子空间,称为由
生成(张成)的子空间,记为
或者
.
若
线性无关,则
.
定理3.1(基扩定理):
设
是数域
上的线性空间
的一个
维子空间,
是
的一个基,则这
个基向量必可扩充为
的一个基;换言之,在
中必可找到
个元素
使得
成为
的一个基,这
个元素必不在
中.
2.子空间的交和和
定义3.3设
和
是线性空间
的两个子空间,则
分别称为
和
的交和和.
定理3.2:
若
和
是线性空间
的两个子空间,则
,
均为
的子空间.
定理3.3(维数公式):
若
和
是线性空间
的两个子空间,则有
3.子空间的直和
定义3.4设
和
是线性空间
的两个子空间,若其和空间
中的任一元素都只能唯一的表示为
的一个元素和
的一个元素之和,即
,存在唯一的
、
,使
,则称
为
和
的直和,记为
.
定理3.4:
如下四种表述等价
(1)
成为直和
(2)
(3)
(4)若
为
的基,
为
的基,则
,
为
的基
注:
子空间的和和交的概念以及有关的定理,可以推广到多个的子空间情形.
§4线性空间的同构
定义4.1设
,
是数域
上的线性空间,
是从
到
的映射,即对于
中的任意元素
均存在唯一的
和之对应,则称
为
的一个映射或算子,记为
,称
为
在变换
下的象,
为
的原象。
若变换
还满足:
,
称
为线性映射或线性算子.
定义4.2设
,
是数域
上的线性空间,
是从
到
的线性映射,如果
是一一映射且为满射,则
为从
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