C最佳旅游路线设计侯郭强.docx
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C最佳旅游路线设计侯郭强
安徽工程大学数学建模课程设计论文
题目:
最佳旅游路线设计
姓名:
侯郭强
学号:
3110801230
指导老师:
周金明
成绩:
完成日期:
2013年7月3日
摘要:
本文主要研究的是如何选择最佳线路的问题。
对于线路的选择,我们主要考虑旅行中的费用及旅行时间。
我们首先通过网络查找得到各景点(包括景区)之间的距离,门票费用以及最佳逗留时间,据此将景点图简化成赋权无向图。
然后利用floyd算法得到每2个景点间的最短路径。
据此,根据题目要求分别建立0-1线性规划模型。
问题一给定了时间约束,要求花最少的钱游尽可能多的地方。
据此,我们以花费最少为目标,以时间限制及线路要求为约束,建立0-1规划模型,利用lingo软件对模型求解。
对结果进行综合分析,最后我们向王先生夫妇推荐景点数为16的路线:
乌鲁木齐-达坂城-哈密-库尔勒-楼兰-阿克苏-千佛洞-天鹅湖-伊犁-博乐-石河子-克拉玛依-阿勒泰-昌吉-天山天池-乌鲁木齐。
平均每个景点花费为73.4元,除了吃饭以外,这对夫妇总共花费估计为4102元。
问题二要提出2条路线游完所有景点,据此,我们首先将所有景点按南北疆分为2组。
这两条路线要求交通费用最少,即总路程最少,我们以总行驶路程为目标,以相应的条件为约束,建立0-1线性规划模型。
利用lingo求解得到每组路线所需最短时间,并求得其均衡度。
然后对其进行调整,找到均衡度最好的一种分组。
我们为王先生夫妇推荐的第一个月的路线为:
乌鲁木齐-昌吉-博乐-石河子-克拉玛依-阿勒泰-额尔齐斯河-喀纳斯湖-天山天池-哈密-吐鲁番-达坂城-乌鲁木齐,交通费用为740元。
第二个月的路线为乌鲁木齐--库尔勒--楼兰--尼雅遗址--和田--喀什--阿克苏--千佛寺--伊犁--天鹅湖--乌鲁木齐,交通费用为820元。
问题三与问题二相似,我们根据各景点之间的最短路径画出以乌鲁木齐为树根的树形图,然后按分类原则分为三组。
将模型二中的目标函数换为考察时间最小得到模型三,分别用lingo求解得到每组最佳路线及时间。
求其均衡度,然后对其进行调整。
最后,我们对该考察团设计了三条考察路线。
路线一:
乌鲁木齐-博乐-伊犁-昌吉-天山天池-吐鲁番-达坂城-乌鲁木齐,考察时间为47天。
路线二:
乌鲁木齐-石河子-克拉玛依-天鹅湖-千佛洞-阿克苏-尼亚遗址-和田-喀什-乌鲁木齐,考察时间为51天。
路线三:
乌鲁木齐-喀纳斯湖-阿勒泰-额尔齐斯河-库尔勒-楼兰-哈密-乌鲁木齐,考察时间为48天。
问题四中,由于参加每条路线的人数与该线路上服务能力成正比,我们认为每个景点只在一条线路上。
据此,我们根据假期时间限制以及游遍所有景点所需时间最少,求得至少要提供4条旅游路线才能满足题意。
根据分析,我们发现无法找到这样4条路线均满足要求,因此,我们将所有景点分为5组,通过多次求解调整,最终我们为旅行社提供了5种路线。
具体结果在正文中给出。
最后,本文对模型进行了分析与评价。
关键词:
最短距离均衡度0-1线性规划最佳路线
一、问题重述
王先生夫妇是华东某高校的年轻教师,打算暑假中到新疆旅游。
受文学作品的影响,天池、达坂城、吐鲁番、楼兰古城、伊犁都是他们十分向往的地方,新疆的其他地方对他们也有很大的吸引力。
1.请你们为他们设计合适的旅游路线,使他们在今年暑假一个月的时间里花最少的钱游尽可能多的地方,并估算除吃饭之外的费用。
2.如果他们打算今、明两年暑假完成对新疆的旅游,请你们为他们设计合适的旅游路线,使在新疆境内的交通费用尽量地节省。
3.如果华东某高校的少数民族研究所组织对新疆文化考察,考察分三组进行,用于交通的时间和前两种情况相同,但考察时间是旅游观光时间的四倍,请你们为他们设计合适的考察路线,以便尽早完成考察任务。
4.新疆自治区旅游部门为迎接“五一旅游黄金周”(考虑到远途旅游,自治区内游程延长为十二天)准备为自治区外的游客组织多条旅游路线以分散游客,提高接待的质量。
在假设参加你们设计的各条路线的游客人数与整条路线的接待能力成比例的条件下,请你们为新疆自治区旅游部门设计合适的、准备向游客推介的全部旅游路线。
二、问题的假设
假设一:
王先生夫妇旅游期间,所有的景点均正常开放。
假设二:
每晚的住宿费用为100元,大巴的车费为0.15元/km。
假设三:
每天的旅游时间加上行车时间不超过10个小时。
假设四:
在行驶过程中,所有的道路路况一样,汽车的速度保持在75km/h。
假设五:
每个景点所花的钱只考虑景点门票费用。
假设六:
每一种旅游路线均从乌鲁木齐出发然后回到乌鲁木齐。
假设七:
考察团将所有景点均要考察到
三、符号的约定
总交通费用加门票费用
M除吃饭外的所有消费(包括住宿费)
总的交通费用
总的门票费用
第i个景点的门票费用
每条路线总的行驶路程
若
=1,则表示从i景点去j景点,否则
=0
表示i景点与j景点之间的距离
表示从i景点到j景点多需的时间
表示游客在i景点的最佳逗留时间
四、模型建立与求解
4.1模型一
问题一
基于分析,我们首先在网上收集各旅游景点之间的路程、门票、最佳逗留时间、汽车的行驶速度以及住宿费用,具体数据见表1,并据此对地图进行了简化,如下图所示:
我们加上了王先生夫妇特别向往的景点天池和达坂城。
对于很靠近旅游景区的景点,我们把它划分到一个景区,只考虑各景点的最佳逗留时间的和。
表1:
各景点最佳逗留时间及门票费用
景点编号
景点名称
逗留时间
门票费用(元)
1
乌鲁木齐
0天
0
2
天山天池
1天
100
3
达坂城
1天
0
4
吐鲁番
2天
196
5
哈密(回王陵)
1天
20
6
阿勒泰
1天
0
7
额尔齐斯河
2天
0
8
喀纳斯湖
2天
130
9
克拉玛依
1天
0
10
石河子
1天
0
11
库尔勒(博斯湖)
2天
30
12
楼兰(罗布泊)
2天
0
13
和田
1天
0
14
尼亚遗址
1天
50
15
喀什
3天
80
16
阿克苏
1天
0
17
千佛洞。
库车大寺
2天
55
18
天鹅湖
1天
30
19
伊犁(乾隆格登碑)
4天
30
20
博乐(怪石沟,博尔塔拉)
2天
0
21
昌吉
1天
0
大巴平均行驶速度:
75km/h,车费为0.15/km
住宿费用:
100元/晚
依题意,要找出一条最佳路线,使王先生夫妇在一个月内花最少的钱游尽可能多的地方,这是一个优化问题。
由以上加权网络图,我们可以通过floyd算法求得任意两景点间的距离,据此画出一个完备图。
基于此,我们可以建立一个0-1线性规划模型来求解,其中包含两个相矛盾的目标,花最少的钱与游尽可能多的地方。
对此,我们的做法是先给定游玩的景点数,代入模型求得此景点数下最少需要花费的钱和时间,选取不同的景点数便可得到不同的花费,然后经过综合比较,选取景点数较多且花费较少的路线作为最佳路线。
旅途中总的消费除吃饭外主要考虑交通费用m1和门票费用m2,而
,
,则得到目标函数:
再考虑约束条件:
约束一:
时间约束,游玩所有景点最佳路线的时间不能超过一个月,即300个小时。
此时间包括路上交通所消耗的时间和景点逗留时间,路上消耗的时间为
,景点逗留的总时间为
,由此可得
约束二:
我们假设王先生夫妇游玩的景点数为n,一共有21个景点,为保证数量,我们规定n=12,13。
。
。
21,由假设可知,所选路线为1个环形,因此
约束三:
我们把所有景点连成一个圈,每个景点是圈上的一点。
则,对于每个景点,最多只有一条边进入,同样只允许最多一条边出来。
并且只要有一条边进去就有一条边出来,因此
约束五:
考虑到实际情况,所有的线路出发点均为乌鲁木齐,即
,
所有的线路的终点也为乌鲁木齐,即
。
约束六:
除了乌鲁木齐外,其余的景点游客至多只会游玩一次,即当
时,不会出现
,因此我们可得约束:
综上所述,我们可以建立如下0-1线性规划:
分别令n=12,13….21,求解,得到如下结果
N
每个景点的平均消费额
总时间
总费用
具体路线
12
59.1
23天
709.6
1-21-10-9-20-19-18-16-17-11-12-3-1
13
63.5
25天
825.7
1-3-11-12-16-17-18-19-20-10-9-6-21-1
14
68.4
26天
958.7
1-3-11-12-16-17-18-19-20-10-9-6-2-21-1
15
73.4
28.5天
1101.7
1-3-5-11-12-16-17-18-19-20-10-9-6-21-2-1
16
83.9
30天
1343.1
1-2-3-4-5-11-17-16-18-19-20-10-9-8-6-21-1
分析上表,一个月内可参观的景点数最多为16个,但其平均消费额也最大为83.9,比景点数为15时的平均消费额高10.5,综合考虑,我们向王先生夫妇推荐景点数为15的旅游路线:
1-3-5-11-12-16-17-18-19-20-10-9-6-21-2-1
当n=12时,王先生除吃饭外花费的钱为
=交通费用+门票费用+住宿费=709.6+3000=3709.6元
问题二:
据分析,我们需将所有景点分为2组,保证游完每条线路的时间不超过一个月,且每组的时间尽量相等,即均衡度尽量小。
按照实际地理情况,我们将所有景点按南北疆分为如下2组:
第一种分组:
按南北疆分
第一组
8,6,7,9,2,1,21,3,4,5,10,20
第二组
19,18,11,17,16,12,15,14,13
以每条线路上所消耗的时间最少为目标,约束条件与问题一相似,建立0-1线性规划模型如下:
分别将上述分组代入模型,运用lingo软件求解,得到如下结果
交通费用
具体路线
740元
1-12-11-10-9-6-7-8-2-5-4-3-1
820元
1-2-3-5-4-6-7-8-10-9-1
计算上述分组的均衡度:
对上述分组如下调整
第二种分法:
左调整
第一组
8,6,7,9,2,1,21,3,4,5,10
第二组
19,18,11,17,16,12,15,14,13,20
用上述模型及方法求解,得:
交通费用
具体路线
651元
1-6-8-7-9-10-21-5-4-3-2-1
823元
1-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-1
均衡度为
再进行如下调整:
第三种分法:
右调整
第一组
8,6,7,9,2,1,21,3,4,5,10,20,19
第二组
18,11,17,16,12,15,14,13
求解得
交通费用
具体路线
807元
1-2-5-4-3-13-19-21-10-9-8-6-7-1
727元
1-18-17-16-15-14-13-12-11-1
均衡度
比较三种分组的均衡度,按第一种分法均衡度最好,因此选择此种分组。
得到王先生夫妇2次的最佳旅游线路为:
第一个月:
乌鲁木齐--昌吉--博乐--石河子--克拉玛依--阿勒泰--额尔齐斯河--喀纳斯湖--天山天池--哈密--吐鲁番--达坂城--乌鲁木齐,交通费用为740元。
第二个月:
乌鲁木齐--库尔勒--楼兰--尼雅遗址--和田--喀什--阿克苏--千佛寺--伊犁--天鹅湖--乌鲁木齐,交通费用为820元。
问题三:
据分析,首先根据问题一中求得的各景点间的最短路径,画出以乌鲁木齐为起点的树状图如下
由题意考察团分三组进行,且考察对象为所有景点,即所有景点都必需包括在内,则要把所有景点分成3组。
分组过程中需尽量遵守以下三个原则:
原则一:
尽量使同一干支上的点分在同一组。
原则二:
应将相邻的干枝上的点分在同一组。
原则三:
尽量将长的干枝与短的干枝分在同一组。
原则四:
尽量使各组的停留时间相等。
第一种分法:
按以上三个原则,可将所有景点按如下所示分为6个区
分组情况如下所示:
第一种分组(严格按分组原则分)
第一组(①③)
1,9,10,14,13,15,16,17,18,21
第二组(④⑥)
12,11,4,5,6,7,8,1
第三组(②⑤)
19,20,1,2,3
将上述分组,按照模型二的求解方法求解,得到如下结果:
组别
考察时间
具体路线
第一组
55天
1-16-15-14-13-17-18-9-10-21-1
第二组
56天
1-6-8-7-4-12-11-5-1
第三组
23天
1-20-19-2-3-1
该种分法的均衡度为:
该分法的均衡度较差,因此我们对分组进行调整,将将⑥中的4景点调整到第三组中,将③中的21调整到第三组,分组如下:
第一组
1,9,10,13,14,15,16,17,18
第二组
1,6,7,8,11,12,5
第三组
1,2,3,19,20,21,4
仍用上述方法求解,得到如下结果:
考察时间
具体路线
第一组
47天
1-20-19-21-2-4-3-1
第二组
51天
1-10-9-18-17-16-14-13-15-1
第三组
48天
1-8-6-7-11-12-5-1
该种分法的均衡度为:
显然这种分法的均衡性要好一些,因此选用该种方法。
即该考察团的考察路线为:
第一组:
乌鲁木齐-博乐-伊犁-昌吉-天山天池-吐鲁番-达坂城-乌鲁木齐,考察时间为47天。
第二组:
乌鲁木齐-石河子-克拉玛依-天鹅湖-千佛洞-阿克苏-尼亚遗址-和田-喀什-乌鲁木齐,考察时间为51天。
第三组:
乌鲁木齐-喀纳斯湖-阿勒泰-额尔齐斯河-库尔勒-楼兰-哈密-乌鲁木齐,考察时间为48天。
问题四:
此问题实质是对景点的分组问题。
由第一问我们求出了行遍所有景点的最短路为9317公里,花在路上的时间为9317/(10*75)=12.42天,要行遍所有景点的总逗留时间为32天,计算出总共花费的时间44.42天,44.42/12
3.68,则至少要分出4组路线。
当分成4组路线时,各组停留时间大约为32/4=8天,各组花在路途上的时间为12-8=4天。
由第三问我们求得12207km,分4组的总路程不会比分三组的路程大多少,不妨以12207km来估算。
路途中时间为12207/75=162.75h
16.275天,若平均分给4个组,则每组16.275/4=4.068>4,所以分4组不可行。
因此分5组.
依照前文所述前三个原则进行分组如下:
第一组
1,16,17,18
第二组
1,13,14,15
第三组
1,9,10,19,20,21
第四组
1,2,3,6,7,8
第五组
1,4,5,11,12
用同样的方法求解得:
线路编号
总时间
交通费用
游玩费用
最佳路径
1
7天
245元
85元
1-17-16-18-1
2
11天
665元
130元
1-14-13-15-1
3
12天
276元
30元
1-10-9-20-19-21-1
4
12天
477元
230元
1-8-6-7-2-3-1
5
11天
390元
246元
1-12-11-5-4-1
4.2模型二
通过比较各种交通费用,我们可以发现,在新疆境内选择飞机出游的花费要远高于铁路和公路的费用,出于节约费用的目的,并且考虑到许多景点都是远离机场的,飞机的优势也并不明显,为此,我们首先摈弃乘坐飞机。
此外,选择铁路的性价比要略高于选择公路,但新疆境内的铁路很有限。
所以,若两景点之间同时存在铁路和公路将它们相连通,则选择铁路,而若仅有公路则只能选择公路。
另一方面,通过计算公路交通的费用,结合公路里程、客车行驶时间和可以发现,如果某天24小时都花费在往返若干城市的路途上,则两个人的花费要超过330元,但是如果某天是停留在某个景点游玩的话,日均游玩费与住宿费之和大约只有280元,所以从这个角度来考虑问题的话,花最少的钱实际上去游尽可能多的景点是一致的。
我们的目标就是避免在途中过多的耽误时间,从而使游玩时间减少。
建立在总费用=住宿游览费用+路程开支的基本假设之上,我们建立了如下的线性规划模型:
对于聚类后得到的20个景区的问题,我们引入一个
的矩阵
,其中的元素
为0-1变量,当
时表示我们制定的路线包含从景区
直接到景区
,否则不包含景区
直接到
,我们希望整个游览线路包含尽量多的城市,也即最大化目标函数:
。
对于约束条件,
约束条件1:
由于每个景点最多参观一次,所以,矩阵
的每行与每列之和均为0或者1;
约束条件2:
当而为了保证整条链的连通性,即使出现两条以上不相连通的链,我们要求每行之和与每列之和相等。
约束条件3:
为了满足总的时间小于一个月,还需要增加时间上约束条件。
故,完整的线性规划模型为:
(其中
是第j个景区的逗留时间)
我们用Lingo软件对其进行求解[5],但是很遗憾,由于较多的变量及复杂的约束,程序无法在短时间内完成。
好在隐枚举方法给了我们启示,发现可以找到一条至少包含17个城市的链,所以,根据这一启发,我们下面运用擅长处理NP完全问题的遗传算法来重新求解这一问题。
算法的思想是:
通过模拟自然选择和遗传中发生的复制、交叉和变异等现象,从任一初始种群出发,通过随机选择、交叉和变异操作,产生一群更适应环境的个体,使群体进化到搜索空间中越来越好的区域,这样一代代地不断繁衍进化,最后收敛到一群最适应环境的个体,求得问题的最优解。
既然线性规划模型已经告诉我们,至少可以找到一条包含17个景区的链,那么我们只需从N=17开始找一条包含N个景区的最小耗时链,若对于某一N(
),最小耗时链的总长大于720分钟,那么一个月内最多可游览的景区即为N-1。
下面,我们对遗传算子进行设计:
定义个体:
我们以一个1行20列的行向量为一个个体。
其中,前N列表示一个月内所遍历的景区的链;后20-N列表示剩下的未遍历的景区。
若干个这样的个体组成一个种群。
选择运算:
根据适应度的高低进行优胜劣汰的选择。
在这里,遍历前N个景区道的路上的花费时间以及停留在这N个景区的逗留时间之和越短,适应度越高。
对不同适应度分配一个被进化的概率。
适应度越高,被选择进化到下一代的概率也越大。
交叉运算:
交叉的方法有很多种,在这里我们对两两个体以一定概率pm(0.6~0.95)决定是否进行交叉运算,若进行,则采取CX方法[4],若否,则保留这两个个体。
变异运算:
变异的方法也有许多种,在这里,我们分别考察每一个个体,并以一个小概率pc(0.05~0.15)决定是否进行变异运算,若进行,则采取倒位变异,若否,则保留该个体。
适应度计算:
以游览景区个数多少来评价适应度,游览的景区越多则适应度越高。
模型的结果与分析:
多次调整参数,运行遗传算法程序,我们得到一条遍历17个景区的链:
7
8
6
5
2
1
3
10
9
13
15
17
18
20
14
11
12
而另三个景区4、19、16则不访问。
遍历这条链的总时间花费为642.5700小时,大约27天。
(图4:
遗传算法性能追踪图)
我们再尝试N=18的情况,但是,遗传算法的结果告诉我们,无法找到一条遍历18个景区的链,使总的时间开支小于720小时。
所以,两个人在暑假一个月内花最少的钱最多可以游17个景区。
费用:
交通费用:
717
景点住宿费用:
21*150
景点游玩费用:
1120*2
则总费用:
6107/两人
五、模型评价与改进
5.1模型的优点
1、该模型简单容易理解。
2、本文使用的模型和方法较为广泛,前三个问题都建立了两个模型或使用了两种方法,这样既丰富了文章的内容,也通过模型之间的相互比较和互相结合更好地完成了要求的任务。
3、对于第四问,我们提出的算法思路不仅求得了多条黄金周旅游线路,同时还给出了一些有价值的短程游路线。
加入这一完善结果,可以更充分地利用各景区的旅游资源,而且也同时满足了更多游客,让具有不同旅游需求的游客都可以领略新疆绚丽的风采,可以说取得了一种锦上添花的效果。
5.2模型的缺点
问题一中没有考虑王先生夫妇对各景点的喜好度,对此,我们可以在上述模型中加入一个喜好度矩阵,优先选择他们喜欢去的地方,这样更符合实际需求。
很多数据都是从网上查找的,可能会与实际有差别。
而且有些景点并不是全年都开放的,如乾隆格登碑暂不开放,但考虑到一般情况,我们认为景点均正常开放。
模型中,我们认为行驶途中路况相同,匀速行驶,而且路费与距离成正比,而在实际生活中,对于各种不同的出行方式,如火车、大巴、自驾等,它们的速度均不一样,所需要花费的路费也不一样,所以对此也要对模型进一步修改才能更符合实际。
X
5.3模型的改进与推广
1、本文的模型均建立在速度、单位行程的费用等都为恒定的基础假设之上,而实际上,对于不同的道路,时速以及费用都会略有波动,如果在模型中能加入一些随机因素,应该可以更接近现实生活。
2、模型处理复杂问题的求解上,基本都采用了遗传算法。
但是,由于遗传算法的进化是基于一定的概率,所以单纯的遗传算法有时并不能保证求得最优解,或者虽然能求得最优解却要耗费相当多的时间,而这与我们的初衷是相违背的。
如果能将遗传算法与模拟退火算法、局部搜索等相结合,将会取得更好的效果。
3、在第四问中我们仅考虑了错开景点旅游高峰,即仅从理性的角度分析策划了旅游线路,但没有考虑游客对各景点的偏好程度,即未加入感性的一些元素,而这些对于现实问题还是很有影响的,因此,如果将游客的一些特定需要添加到模型的约束中,将会更符合实际。
4、本模型第一步对景点进行了聚类,这样在为后面的分析带来了许多方便的同时,也造成了一旦选择游览某个景区也即游览了此景区的所有景点的约束。
而事实上,尤其是在一条线路旅游的最后阶段,有可能出现时间上不允许游览某个景区,但却足够游览一两个景点的情况。
而我们的模型会直接将整个景区排除,这是我们线路设计模型的一个略有不足之处。
参考文献:
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/8874,2013年7月3日。
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