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高等数学总结
高等数学
第一讲函数、极限和连续
一、函数
1.函数的概念
几种常见函数
绝对值函数:
符号函数:
取整函数:
分段函数:
最大值最小值函数:
2.函数的特性
有界性:
单调性:
奇偶性:
周期性:
3.反函数与复合函数
反函数:
复合函数:
4.函数的运算
5.五大基本初等函数
幂函数:
指数函数:
对数函数:
三角函数:
反三角函数:
注:
基本初等函数在其定义域内连续
二、数列极限
1.数列的定义
常用数列的通项公式求和公式:
特殊数列的通项公式:
2.数列的性质
单调性:
有界性:
3.数列极限的定义
4.收敛数列的性质
收敛函数的唯一性:
收敛函数的有界性:
收敛函数的保号性:
注:
有界数列不一定收敛。
5.收敛数列与其子数列的关系
子数列:
三、函数极限
1.函数极限的定义
2.函数极限的性质
1)函数极限的唯一性
2)函数极限的局部保号性
3)函数极限的局部有界性
3.函数极限与数列极限的关系(海涅定理)
四、无穷小与无穷大
1.无穷小的定义
注:
无穷小与函数极限的等价关系
2.无穷大的定义
注:
无穷大与无穷小的关系
五、极限运算法则
1.两个无穷小之和为无穷小
推广:
有限个无穷小之和是无穷小
2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推广:
有限个无穷小的乘积是无穷小
3.函数极限的四则运算法则
4.复合函数的极限运算法则
六、极限存在准则两个重要极限
1.准则一:
夹逼准则
注:
函数和数列都可用,主要问题是放缩
2.准则二:
单调有界准则
注:
对于由递推公式表示出的数列,常用数学归纳法和放缩法证明
3.两个重要极限
七、无穷小的比较
1.无穷小比较的定义
高阶无穷小:
低阶无穷小:
等价无穷小:
同阶无穷小:
k阶无穷小:
2.等价无穷小的充分必要条件
八、函数的连续性与间断点
1.函数的连续性定义(两种)
2.函数在某点连续的充分必要条件
3.函数在区间上的连续性
闭区间:
左端点右连续,右端点左连续,且在开区间内处处连续。
开区间:
开区间内处处连续。
4.函数的间断点的定义
第一类间断点:
第二类间断点:
九、连续函数的运算与初等函数的连续性
1.连续函数的和差积商在其定义域内连续
2.反函数与复合函数的连续性
函数连续,则其反函数也连续
连续函数的复合函数依然连续
注:
符合函数的极限运算和函数运算可以交换(p63)
不连续函数的复合函数是否连续?
3.初等函数的连续性
1)基本初等函数在其定义域内连续
2)初等函数在其定义区间内连续
注:
定义区间是指包含于定义域内的区间
十、闭区间上连续函数的性质
1.闭区间上连续的定义
函数在开区间内连续,在左端点右连续,右端点左连续
2.有界性定理
3.最值定理
4.介值定理
5.零点定理
6.平均值定理
第二讲一元函数微分学
一、导数
1.导数的定义(两种形式)
2.单侧导数(导数存在的充分必要条件)
3.函数在闭区间【a,b】上的可导性
4.导数的几何意义
瞬时变化率:
切线斜率:
5.函数可导性与连续性的关系
二、函数的求导法则
1.函数的和差积商的求导法则
2.反函数的求导法则
3.复合函数的求导法则
4.幂指函数的求导法则(对数求导法)
5.参数方程确定的函数的导数
6.基本初等函数的导数公式
三、高阶导数
1.二阶导数的定义(两种形式)
2.常见函数的高阶导数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
几个初等函数的n阶导数公式:
3.莱布尼兹公式(同二项式定理)
四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
1.隐函数的导数及其二阶导数
2.参数方程的导数及其二阶导数
五、函数的微分
1.函数微分的定义
2.微分的几何意义
3.基本初等函数的微分公式与微分运算法则
第三讲微分中值定理
一、微分中值定理
1.费马定理(证明)
2.罗尔定理(构造函数,划分区间)
3.拉格朗日中值定理(构造函数)
4.柯西中值定理
二、洛必达法则
三、泰勒公式
1.带皮亚诺余项的泰勒公式
2.带拉格朗日余项的泰勒公式
3.带皮亚诺余项的麦克劳林公式
4.带拉格朗日余项的泰勒公式
5.常见函数的泰勒展开式
sinX
arcsinX
tanx
arctanX
cosX
ln(1+X)
ex
(1+X)α
第四讲一元函数微分学的几何应用
1.函数单调性
1)单调性的定义
2)判定方法:
一阶导数
2.函数的凹凸性
1)凹凸性的定义
2)判定方法:
二阶导数
3.函数的拐点
1)拐点的定义:
函数凹弧和凸弧的分界点(x,y)
2)判定方法(两种)
四、函数的极值与最大值最小值
1.函数的极值及其求法
1)极值的定义
2)必要条件
3)第一充分条件:
4)第二充分条件:
注:
极值点只能是驻点或不可导的点
2.最大值与最小值
1)最值的定义
注:
函数在开区间(a,b)内的最值只能是极值
函数在闭区间【a,b】上的最值可以是区间端点的函数值
五、渐近线
1.水平渐近线
2.铅直渐近线
3.斜渐近线
六、曲率
1.曲率的意义
2.曲率及曲率半径计算公式
第五讲不定积分
一、不定积分的概念与性质
1.原函数与不定积分的概念
1)原函数的概念
2)原函数存在定理:
连续函数一定有原函数。
3)两点说明:
4)不定积分的概念
2.基本积分表
3.不定积分的性质
性质一:
性质二:
二、换元积分法
1.第一类换元法——凑微分法
利用基本积分表中的公式和常见的积分公式将多余的因子甩到后面,以至于剩下的容易积出。
首先考虑凑微分。
若遇上复杂因式,则将复杂部分求导。
2.第二类换元法——变量代换
1)三角代换及恒等变形后的三角代换
2)根式代换
3)倒代换
4)复杂代换
注:
换元后最后一定要回代。
三、分部积分法——乘积的积分
1.公式法
积分顺序:
反对幂指三
2.表格法(高数18讲124页)
求导至零,相应积分,交叉相乘,首项为正,正负相间,最后加C
四、有理函数的积分
1.有理函数的积分
假分式:
分子最高次数高于分母——长除法分解
真分式:
分子最高次数低于分母——待定系数法或凑分母的形式
2.可化为有理函数的积分举例
1)多项式相除
思路:
首先看能不能凑微分,再看因式分解
2)添项拆项后因式分解
3)含有三角函数的有理积分
思路:
首先看能不能凑微分,再恒等变形,最后万能代换(216页)
第六讲定积分
一、定积分的概念与性质
1.定积分的定义
2.两个可积的充分条件
1)函数在区间上连续
2)函数在区间上有界,且只有有限个间断点
3.定积分的性质
性质一:
性质二:
性质三:
性质四:
推论一:
推论二:
性质五:
性质六:
二、微积分基本公式
1.变限积分函数及其导数
2.牛顿——莱布尼兹公式
三、定积分的换元法和分布积分法
1.定积分的换元法
注:
换元后必须换限且换元后的函数必须是单值函数
2.定积分的分布积分法
3.华里士公式
四、反常积分
1.无穷限的反常积分——三种形式
2.无界函数的反常积分——三种形式
五、利用被积函数的性质化简积分
1.奇偶函数的积分
2.周期函数的积分
3.具有对称性函数的积分
4.变量代换
第七讲定积分的应用
一、平面图形的面积
1.直角坐标情形
2.极坐标情形
二、旋转体的体积
三、函数的平均值
第八讲微分方程
一、微分方程的基本概念
1)微分方程
2)微分方程的阶
3)微分方程的解
4)初始条件(定解条件)
二、可分离变量的微分方程
三、齐次方程
四、一阶线性微分方程
1.齐次线性方程
2.非齐次线性方程
注:
非齐次线性方程的通解等于齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解
五、可降阶的高阶微分方程
三种形式:
六、高阶线性微分方程
1.二阶线性微分方程
两种形式:
2.线性微分方程的解的结构
1)线性相关与线性无关的定义
2)定理一:
二阶齐次线性方程的两个解的线性组合也是原方程的解。
定理二:
二阶齐次线性方程的两个线性无关的特解的线性组合是原方程的通解
推论:
定理二推广到n阶齐次线性方程
定理三:
二阶非齐次线性方程的通解等于齐次线性方程的通解加上非齐次的一个特解
定理四:
(叠加原理)若非齐次线性方程的右端为两个函数的和,即:
七、常系数齐次线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程
特征方程:
三种特征根及其通解形式:
2.n阶常系数齐次线性微分方程
3.二阶常系数非齐次线性微分方程
两种形式:
第八讲多元函数微分学
一、多元函数的基本概念
1.平面点集
邻域:
内点;
外点:
边界点:
聚点:
2.多元函数的概念
3.多元函数的极限(二重极限)
4.多元函数的连续性
5.闭区间上多元连续函数的性质
1)有界性与最值定理
2)介值定理
二、偏导数
1.偏导数的定义
两种形式:
2.高阶偏导数
四种二阶偏导数:
注:
两个二阶混合偏导数在区域内连续时必相等
三、全微分
1.全微分的定义
2.可微的条件
1)必要条件
2)充分条件
注:
以上可推广到三元函数及以上
四、多元复合函数的求导法则
链式求导法则:
五、隐函数的求导公式
1.一个方程的情形
1)定理一
2)定理二
六、多元函数的极值及其求法
1.多元函数的极值概念
2.多元函数的极值概念
3.取极值的条件
1)必要条件
注:
驻点为一阶偏导数为零的点
2)充分条件
4.条件极值——拉格朗日乘数法
第九讲二重积分
一、二重积分的概念与性质
1.二重积分的定义
2.二重积分的性质
性质一:
性质二:
性质三:
性质四:
性质五(估值定理):
性质六(积分中值定理):
二、二重积分的计算
1.直角坐标系情况
X型区域:
Y型区域:
注:
将二重积分化为两个一次积分时上限必须大于等于下限。
2.极坐标情况
注:
当积分区域为圆域,且被积函数含有平方、乘积或者分数形式时优先考虑极坐标计算。
三、二重积分计算时的对称性
1.普通对称性
2.轮换对称性
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