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概率论基础复习题答案
概率论基础复习题答案
填空题(含答案)
1(设随机变量ξ的密度函数为p(x),则p(x)0;=1;p(x)dx,,,
。
Eξ=xp(x)dx,,,
考查第三章
2(设A,B,C为三个事件,则A,B,C至少有一个发生可表示为:
;A,CA:
B:
C发生而B不发生可表示;A,B,C恰有一个发生可表示为:
ABC
。
ABC,ABC,ABC
考查第一章
(x),(x)3(设随机变量,其概率密度函数为,分布函数为,则,~N(0,1)00
1,(0),(0)等于,等于0.5。
002,
考查第三章
14(设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=,k=1,2,3,4,5,则Eξ=3,Dξ=5
2。
考查第五章
r5(已知随机变量X,Y的相关系数为,若U=aX+b,V=cY+d,其中ac>0.则U,VXY
r的相关系数等于。
XY
考查第五章
12X~N(,,,)6(设,用车贝晓夫不等式估计:
P(|X,,|,k,),1,2k考查第五章
pxpp7(设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=}=i,1,2,...,则0;=,iiiii,1
xp1;Eξ=。
iii,1
考查第一章
8(设A,B,C为三个事件,则A,B,C都发生可表示为:
;A发生而B,C不发生ABC
可表示为:
;A,B,C恰有一个发生可表示为:
。
ABCABC,ABC,ABC
考查第一章
9(,,则5。
X~N(5,4)P(X,c),P(X,c)c,
考查第三章
2x,,x,1,010(设随机变量在[1,6]上服从均匀分布,则方程有实根的概率为,
4。
5
考查第三章较难
11(若随机变量X,Y的相关系数为r,U=2X+1,V=5Y+10则U,V的相关系数=r。
XYXY
考查第三章
,[,],,,12(若服从的均匀分布,,,,2,则的密度函数,gy()22
1。
,,,,,gyy()2,
考查第五章
AB13(设P(A),0.4,P(A,B),0.7,若与互不相容,则P(B),
AB0.3;若与相互独立,则P(B),0.5。
考查第一章
14(将数字1,2,3,4,5写在5张卡片上,任意取出三张排列成三位数,这个数
12CP34是奇数的概率P(A)=。
3P5
考查第一章
15(若,8,1.6,最可能值k,8。
~B(10,0.8)E,,D,,0
考查第二、五章
x,xex,016(设随机变量X的概率密度为,则=6,EX(3)fx(),,00x,,
13XEe()=16
考查第四、五章
117(任取三线段分别长为x,y,z且均小于等于a,则x,y,z可构成一三角形的概率2
考查第一章(较难)
18(设随机变量X,Y的相关系数为1,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为1
考查第五章
19(若,3,0.16.,~(3,0.16)NE,,D,,
考查第五章
若20.,16,8.4.,~(10,0.7)BE(9),,,D(23),,,
考查第五章
21.某公司有A、B、C三个生产基地生产同一种产品,产量分别占20%,45%和35%(三
个基地的产品各有30%,20%,25%在北京市场销售(则该公司任取此产品一件,它可能在
销往北京市场的概率为0.2475(
考查第二章
X22.f(x)为一维连续型随机变量的概率密度函数,则有1;若f(x)dx,,,,
YP(Y,y),p,p,离散型随机变量具有分布列则1(,kkkk
考查第三章
X,Yn,pn,pX,Y23.若是相互独立的随机变量,均服从二项分布,参数为及,则12
服从参数为参数为n,n,p的二项分布分布(12
考查第四章
X2EX24.设随机变量服从参数为和的正态分布,则=_____0____;N(0,2)0
DX=______2_____(
考查第五章
25(设A,B,C为任意三个事件,则其中至少有两个事件发生应表示为
。
ABC,ABC,ABC,ABC
考查第一章
27(若二维随机向量()的联合密度函数,,,
22()2()()()11x,arx,ay,ay,a1122P(x,y)=exp{[]},,,2222,,,,2
(1),r12,,,21,r1212
22,,aar,,,,则E=,D=,E=,D=Cov()=.,,,,,121212
考查第五章
28(两人相约7点到8点在某地会面,先到者等另一个人20分钟,过时就可离开,则
两人能会面的概率为5/9。
考查第一三章
选择题(含答案)
1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球,其中一罐(取名“甲罐”)内的红球数与黑球数之比为2:
1,另一罐(取名“乙罐”)内的黑球数与红球数之比为2:
1,今任取一罐并从中依次取出50只球,查得其中有30只红球和20只黑球,则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(D)
(A)2倍(B)254倍(C)798倍(D)1024倍
考查第二章
2.在[0,1]线段上随机投掷两点,两点间距离大于0.5的概率为(A)(A)0.25(B)0.5(C)0.75(D)1
考查第一章
3.设独立随机变量X,Y分别服从标准正态分布,则X+Y服从(C)
2,(A)N(2,0)(B)自由度为2的分布(C)N(0,2)(D)不能确定考查第三章
n4.设P(X=n)=a(n,1,2,...)且EX=1,则a为(B)
5,13,51(A)1(B)(C)(D)223
考查第五章
5(下列论述不正确的是(B)
(A)若事件A与B独立则与B独立(B)事件AB不相容则A与B独立A
(C)n个事件两两独立不一定相互独立(D)随机变量和独立则二者不相关,考查第二章
6(甲乙两人各投掷n枚硬币,理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为(C)
n11k2nn2nC(A)0(B)(C)(D)()C(),n2n22k,0
考查第一、二章
7.设独立随机变量X,Y分别服从标准正态分布,则X+Y服从(C)
2,(A)二项分布(B)分布(C)N(0,2)(D)不能确定考查第三、四章
AB8.对于任意事件与,有(C)。
P(A,B),
(A)(B)P(A),P(B)P(A),P(B),P(AB)
P(A),P(AB)(C)(D)P(A),P(AB)
考查第一章
a9.在[0,]线段上随机投掷两点,两点间距离大于的概率为(D)a2
(A)1(B)0.75(C)0.5(D)0.25考查第一章
3,5n10.设P(X=n)=a,其中a为,则EX=(B)(n,1,2,...)2
5(A)(B)1(C)0.5(D)3
考查第五章
11(下列论述不正确的是(C)
A(A)n个事件两两独立不一定相互独立(B)若事件A与B独立则与B独立
(C)事件AB不相容则A与B独立(D)随机变量和,独立则二者不相关,
考查第二章
p12(掷n枚硬币,出现正面的概率为,至少出现一次正面的概率为(A)
n11n,(A)(B)(C)1(D)1
(1),,pCpp
(1),1,pn
考查第一章
13.设A,B为两个互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是(C)。
(A)P(B|A)>0,(B)P(A|B)=P(A)(C)P(A|B)=0(D)P(AB)=P(A)P(B)
考查第二章
114.事件A,B相互独立,,P(A)=(D)。
P(AB),,P(AB),P(AB)9
112(A)(B)(C)0(D)233
考查第二章
XDX,EX15.随机变量服从(D)分布时,。
(A)正态(B)指数
(C)二项(D)泊松(Poisson)
考查第五章
22X~N(,,4),Y~N(,,5)16.设,记p,P(X,,,4),p,P(Y,,,5),则12(A)。
,(A)对任何实数p,pp,p,都有(B)对任何实数,都有1212
,p,pp,p(C)只对的个别值,才有(D)对任何实数,都有1212考查第三章
17(若有十道选择题,每题有A、B、C、D四个答案,只有一个正确答案,求随机作答恰好答对六道的概率为(B)
313664(A)(B)C()()10544
6,1,,6e(C)(D)()6!
4
考查第二章
2X~N(72,,)18(某课程考试成绩,已知96分以上占2.3%,则60~84分所占比例为(A)
(已知),,20.977,,
(B)(A)2
(1)1,,1
(2),,
(C)(D)2
(2)1,,0.5
考查第三章
19.设独立随机变量X,Y分别服从标准正态分布,则XY服从(C)
2,(A)泊松分布(B)分布(C)N(0,2)(D)不能确定考查第三、四章
AB,20.对于任意事件,有(A)。
P(A,B),
(A)(B)0P(A),P(B)
(C)1(D)PB()
考查第一章
21.设随机变量的密度函数为,
,,cos,,,axx,(),px22,
0其它,
则常数为(B)a
111(A)(B)(C)0(D)23
考查第三章
22(下列陈述不正确的是(D)
A(A)两两独立不一定相互独立(B)若事件A与B独立则与B独立
(D)随机变量二者不相关则和独立(C)事件AB独立则PABPA(|)(),,
考查第二章
23.下列数列可以构成分布列的是(C)
11nnnn21,2,...n,11,2,...n,(A)(B)(C)0(D)n,n,()1,2,...()1,2,...32考查第三章
24(下列陈述不正确的是(B)
,(A)和不相关则(B)随机变量二者不相关则和独立,DDD()()(),,,,,,,,
和,不相关则(D)随机变量二者不相关则(C),cov(,)0,,,EEE(),,,,,考查第五章
AB25(事件中,发生且与不发生的事件为:
(C)A,B,CC
(A)A:
B:
C;(B)ABC:
ABC:
ABC;
A:
B:
CA:
B:
C.(C);(D)
考查第一章
设为相互独立的两事件,则下列式子中不正确的是:
(A)26(A,B
P(AB),P(A)P(B)(A);(B);P(A:
B),P(A)P(B)
(C);(D)P(B|A),P(B)P(AB),P(A)P(B).考查第一章
27(工厂每天从产品中随机地抽查50件产品,已知这种产品的次品率为0.1%,,则在这一
年内平均每天抽查到的次品数为:
(A)
(A)0.05;(B)5.01;(C)5;(D)0.5.
考查第六章
Y28(则服从分布:
(C)X~U(0,1),Y,3X,2,
(A)U(,1,1);U(,1,0).(B)(C)U(,2,1);(D)U(2,3);
考查第四章
(2x,y)f(x,y),2e,(0,x,y,,,).29(设随机变量X,Y的联合概率密度为则:
(B)
(A)X,Y不相关;(B)X,Y相互独立;
(C)相关;(D)不相互独立(X,YX,Y
考查第四、五章
30(事件A,B互不相容,是指(B)
(A)P(AB)=P(A)P(B)(B)AB=
,,B(C)AB=(D)A=
考查第一章
计算题(含答案)
ka一(设随机变量只取非负整数值,其概率为P{,a>0是常数,,,k},,k,1(1,a)试求E及D,,
a解:
记t=<11,a
kk1,,,,,aaaaa,k'k1===kt=(t)E,kk,,,,22k12k1,,(1,a)(1,a)(1,a)(1,a)(1,a),k1k1,k1k1,,
ata1'2==()=()a221,t1,t(1,a)(1,a)
kkk2,,,,aaaa22k''E,==+=kkk(k,1)(t),a,,,,k1k1k1,,,3(1,a)(1,a)(1,a)(1,a)k1k1k1k,,,,1
22a123==2a,a(),a31,t(1,a)
222D,,E,,(E,)=a,a
考查第五章(较难)
二(炮战中,在距离目标250米,200米,150米处射击的概率分别为0.1,0.7,0.2,而
在各处射击时命中目标的概率分别为0.05,0.1,0.2。
任射一发炮弹,求目标被击中的概率。
若已知目标被击毁,求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。
A,A,A解:
1)设分别表示炮弹从250米,200米,150米处射击的事件,123
B表示目标被击中。
则由全概率公式
P(B),P(A)P(B|A),P(A)P(B|A),P(A)P(B|A)112233=0.1,0.05,0.7,0.1,0.2,0.2,0.115
2)由Bayes公式
P(A)P(B|A)11P(A|B),1P(A)P(B|A),P(A)P(B|A),P(A)P(B|A)112233
0.1,0.051,,,0.0430.11523
考查第二章
三(某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依次录用,共有10000人报名,假
2设报名者的成绩X服从分布N(,,,)已知90分以上有359人,60分以下有1151人,问
被录用者中最低分为多少,
2,()x,,122,()X的分布函数为fx,e
2,,
,X,,2~(,),~(0,1)XNN,
,,,90,90,359X{,90},{,},1,,(),PXP,,,1000
90,359,(),1,,0.9641,1000,,,60,1151,(),,0.1151,10000
2x,标准正态分布表可得到=72和=100的值,然后令录取的最低分为,则,0
,,,,xx2500,X00{}{}(),,,,,,PXxP0,,,10000
x,79,从而得到即录取的最低分为79分。
0
考查第三章(较难)
四(从1到2000这2000个数字中任取一数,求1)该数能被6整除的概率;
2)该数能被8整除的概率;
3)该数能被6和8整除的概率;
4)该数能被6或8整除的概率。
解:
利用古典概型的公式
mA所含样本点数PA(),,n样本点总数有利于的场合数A,样本点总数
3332501831);2);3);,2000200020008
PPP()()()能被8整除,能被6整除,既能被6整除又能被8整除
3331834),,,200082000
1,4
考查第一章
A五(空战中,从,,处射击的概率分别为0.2,0.7,0.1,而在各处射击时命中敌AA312
机的概率分别为0.2,0.1,0.05。
任射一发炮弹,求敌机被击中的概率。
A若已知敌机被击中,求击中敌机的炮弹是由处射出的概率。
3
解:
1)设B表示目标被击中。
则由全概率公式P(B),P(A)P(B|A),P(A)P(B|A),P(A)P(B|A)112233=0.2,0.2,0.7,0.1,0.1,0.05,0.115
2)由Bayes公式
P(A)P(B|A)33P(A|B),3P(A)P(B|A),P(A)P(B|A),P(A)P(B|A)112233
0.1,0.051,,,0.0430.11523
考查第一章
六(一地区农民年均收入服从元,元的正态分布,求:
,500,,20该地区农民年均收入在500元~520元间的人数的百分比;如果要使农民的年均收入在内的概率不小于0.95,则至少为多大,(,,a,,,a)a3个农民中至少有一个年均收入在500元~520元间的概率。
2,,,~N500,20
解:
(1)
520500500500,,,,,,,P500520100.84130.50.3413,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0000,,,,2020,,,,
,,P,,a,,,,,a,0.95
(2),
a,,,,,,,,,1,0.95,2P0.95,,,,0,,202020,,,,
a可得,,,1.96a,39.220
003Cpp()
(1),(3)考虑反面没有一个年收入在范围中的情形,其概率为:
,311
0031,C(0.3413)(1,0.3413)3
考查第三章(较难)
101,,
,PXX{0}1,,七(设随机变量(i=1,2),且满足,则求概率X11112i,,
,424
PXX{},。
12
PXX{0}1,,PXX{0}0,,解:
由,得,即1212
PXX{1,1},,,,,,,PXX{1,1},,,PXX{1,1},,,,,,PXX{1,1}012121212
XX再根据联合分布与边际分布的关系可以求得和的联合分布。
12
XXPXxp{},,,101211ii,
11,10044
111004421110044PXyp{},,1112ij,424
PXX{},所以,0.12
考查第四章
八、有一袋麦种,其中一等的占80%,二等的占18%,三等的占2%,已知一、二、三等
麦种的发芽率分别为0.8,0.2,0.1,现从袋中任取一粒麦种:
试求它发芽的概率;
若已知取出的麦种未发芽,问它是一等麦种的概率是多少,
解:
设事件“取出来的种子是一等种子”“取出来的种子是二等种子”A,A,12A,“取出来的种子是三等种子”3
B,“取出的种子发芽”“取出的种子未发芽”B,
P(A),80%P(A),18%P(A),2%由题:
123
P(B|A),0.8P(B|A),0.2P(B|A),0.1123
P(B|A),0.2P(B|A),0.8P(B|A),0.9123
P(B),P(A)P(B|A),P(A)P(B|A),P(A)P(B|A)1)全概率公式(112233
=67.8%
(2)贝叶斯公式
P(A)P(B|A)11P(A|B),1P(A)P(B|A),P(A)P(B|A),P(A)P(B|A)112233
=0.497
考查第二章
九、设随机变量ξ的分布列为
ξ,0,,22
P0.20.30.30.2
2,,,,1求的分布列。
解:
,22222(,),1(),1,,,,10,1,,122
p0.20.30.30.2
整理得η的分布列
2,,121,,4,1P0.30.50.2
考查第四章
十、某师院的毕业生,其中优等生,中等生,下等生各占20%,65%,15%.毕业后十年,这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%,70%,55%.求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。
解:
记B={成为优秀教师}
PBPAPBAPAPBAPAPBA()()(|)()(|)()(|),,,112233
8020706555156975,,,,,,,10010010010010010010000
考查第二章
十一、将一颗均匀的骰子连掷两次,以ξ表示两次所得点数之和。
求1)ξ的分布列;2)Eξ。
解:
1)
23456789101112
p1*******321i3636363636363636363636
12
EkPk,,,,{}2),k,2
121,,,,,,,23...12363636
252,,736
考查第五章
十二、设二维离散型随机向量(ξ,η)的联合分布列为:
η012
ξ
1CCC101010
202C2C1010
302CC1010
1)求常数C;
2)求ξ,η的边缘分布列;
3)求ξ,2的条件下,η的条件分布列;
4)判断ξ与η是否相互独立。
解:
1)C=1;
2)
η012piξ
10.10.10.10.3200.20.20.430.200.10.3
0.30.30.4pj
和的边沿分布列为:
123,
P0.30.40.3
012P0.30.30.4
3)
012,|,,2
P00.50.5整理得:
12,|,,2
P0.50.5
4)因为PPP{2,0}00.40.3{2}{0},,,,,,,,,,,,
所以与不相互独立,
考查第四章
X十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6,以表示他首次命中时累计的投篮次数。
写
X出的分布律(
k,1P{X,k},(0.4)(0.6)k,1,2,?
解:
分布律为考查第一章
kx,10,x,2,十四、已知连续型随机变量ξ有密度函数p(x),,0其他,
求系数k及分布函数,并计算P{1.5<ξ<2.5}(解:
由密度函数的性质
22k21,p(x)dx,(kx,1)dx,(x,x),2k,2,,02,,0
x1?
k,,F(x),p(t)dt,2,,
当时,,p(t),0F(x),0x,0
xx11122当时,()
(1)()Fx,,tdt,t,t,x,x0,x,2,02440
当时,F(x),1x,2
x0,0
12Fxxxx?
(),,0,,2,4,x1,2,
12P{1.5,,,2.5},F(2.5),F(1.5),1,[1.5,(1.5)],0.06254
考查第三章
十五、设随机变量的联合分布为X,Y
X1234Y
00.000.030.050.02
10.120.050.070.01
20.080.030.080.11
30.050.04x0.06
XY,2求x,及X,Y的边际分布(直接填写在表中),给出在的条件下的条件分布(解:
x=0.2
XY,2在的条件下的条件分布为
1234Y,2X|
4141115101530
考查第四章
十六、设二元连续型随机向量(X,Y)的联合密度函数为
1,0,x,1,|y|,x,,f(x,y),,0,其它.,
求的数学期望、方差和相关系数(X,Y
xP(x),0解:
当0 1P(y),1dx,1,y当-1 10,y,1,P(y),1dx,1,y当而y,1,P(y),0,,,y 1221103E,,x,2xdx,x,,,E,,y(1,y)dy,y(1,y)dy,0,,,0,01330 2121122222D,,E,,(E,),x,2xdx,(),,(),,032318 122D,,E,,(E,),6 1x
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