初中数学动点问题专题讲解.docx
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初中数学动点问题专题讲解
中考动点专题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上
运动的一类开放性题目■解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:
动中求静.
数学思想:
分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想
注重对几何图形运动变化能力的考查
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过对称、动点
的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自主探究能力,促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解
决数学动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展•这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等•从数学思想的层面上讲:
(1)运动
观点;
(2)方程思想;(3)数形结合思想;(4)分类思想;(5)转化思想等•研究历年来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向,它有利于我
们教师在教学中研究对策,把握方向•只的这样,才能更好的培养学生解题素养,在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存
在性和区分度小题处理手法提出自己的观点.
专题一:
建立动点问题的函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容•动点问题反映的是一种
函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化
关系就是动点问题中的函数关系•那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?
下面结合中考试题举例分析•
一、应用勾股定理建立函数解析式
例1(20PP年•上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH丄OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
⑴当点P在弧AB上运动时,线段GOGPGH中,有无长度保持不变的线段?
如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH=x,GP=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).
(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
GH
解:
(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GOGR
2
图1
21
中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH上NH=OP=2.
332
(2)在Rt△POH中,OH=』OP2—PH2=:
36—x2,
117
MHOH36-x2.
22在Rt△MPH中,
MP=l‘PH2+MH2=Jx2+9_^x2=]』36+3x2.
V42.
y=GP=^MP=^V3^3x2(0 33 (3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况 1GP=PH寸,1.363x^x,解得x=.经检验,x=,? 6是原方程的根,且符合题意 3 2GP=GH寸,1...363x2=2,解得x=0.经检验,x=0是原方程的根,但不符合题意 3 3PH=GH寸,x=2. 综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为,6或2. 、应用比例式建立函数解析式 例2(20PP年•山东)如图2,在厶ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y. (1)如果/BAC=30,/DAE=105,试确定y与x之间的函数解析式; ⑵如果/BAC的度数为: -,ZDAE的度数为一: ,当: -,-满足怎样的关系式时, (1)中y与x之间的函 数解析式还成立? 试说明理由 解: ⑴在厶ABC中,•/AB=AC,ZBAC=30 •••ZABC玄ACB=75,/-ZABDZACE=105 •ZDAB+ZCAE=75 vZBAC=30,ZDAE=105又ZDAB+ZADB=ZABC=75 •ZCAE玄ADB, ADB^AEAC, 1 •/y. x (2) 由于ZDAB+ZCAE=0—ot,又ZDAB+ZADB玄ABC=9^—且2, 函数关系式成立 *°OB« •/90=: -〉,整理得90. 22 1 当90时,函数解析式y成立. 2x 例3(20PP年•上海)如图3 (1),在厶ABC中,ZABC=90,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D, 交线段OC于点E.作EP丄ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F. (1)求证: △ADE^AAEP. (2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP的长. 解: (1)连结OD. 根据题意,得ODLAB,/ZODA=90,ZODAZDEP. 又由OD=OE得ZODEZOED./ZADE=ZAEP,ADE^A A 3 (2) ZABC=Z AEP. (2)•/ZABC=90°,AB=4,BC=3,•AC=5. ADO=90, •OD//BC, .ODx AD x /•OD=3x,AD=4x.• 35 4 5 3 AE=xx 8 =_x• 5 5 5 5 AE AP AD AE 84 xx 丄二_5_ y8 x 5 16 x(o沐岂25). 8 ⑶当BF=1时, ①若EP交线段CB的延长线于点 F,如图3 (1),则CF=4. •••/ADE玄AEP,•••/PDE=ZPEC.v/FBP=ZDEP=90,/FPB=ZDPE, •••/F=/PDE,F=/FEC,•CF=CE. 85 •5-x=4,得x.可求得y=2,即AP=2. 58 ②若EP交线段CB于点F,如图3 (2),贝UCF=2.类似①,可得CF=CE. •5-8x=2,得 5 15 x=一. 8 可求得y=6,即AP=6. 综上所述,当BF=1时,线段AP的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 (1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域 图8 例4(20PP年•上海)如图,在厶ABC中,/BAC=90,AB=AC=22,OA的半径为1.若点O在BC边上运动(与点BC不重合),设BO=x,△AOC的面积为y. (2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当OO与OA相切时, △AOC勺面积. 解: (1)过点A作AFUBC,垂足为H. V/BAC=90,AB=AC=2、、2,/.BC=4,AH=! BC=2.•OC=4-x. 2 1 vSAOCOCAH,•y--x4(0: : x4). 2 (2)①当OO与OA外切时, 在Rt△AOH中,OA=x1,OH=2-X,•(x1)2=22(2-x)2.解得X=7. 6 717 此时,△AOC勺面积y=4—丄=工 66 ②当OO与OA内切时, 在Rt△AOH中,OA=x-1,OH=x-2,•(x-1)2=22(x-2)2.解得x=~. 2 71 此时,△AOC勺面积y=4—丄=丄 22 171 综上所述,当OO与OA相切时,△AOC的面积为或丄. 62 专题二: 动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 )动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性: 等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 -、以动态几何为主线的压轴题 (一)点动问题. 1.(09年徐汇区)如图,ABC中,AB=AC=10,BC=12,点D在边BC上,且BD=4,以点D为顶点作.EDF=.B,分别交边AB于点E,交射线CA于点F• (1)当AE=6时,求AF的长; 求BE的长; 当以边AC为直径的OO与线段DE相切时,求BE的长. (2)当以点C为圆心CF长为半径的OC和以点A为圆心AE长为半径的OA相切时, (3) [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一 线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题当E点在AB边上运动时,渗透入圆与圆的位置关系(相切 问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题.区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用 方程思想来求解. [区分度性小题处理手法] d=r建立方程. 1•直线与圆的相切的存在性的处理方法: 利用 2.圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法: 利用d=R±r(R.r)建立方程. 3•解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [略解] CFCD 解: (1)证明CDFsEBD,代入数据得CF=8,二AF=2 BDBE 32 (2)设BE=x,则d=AC-10,AE=10-x,利用 (1)的方法CF=32, x 32 相切时分外切和内切两种情况考虑: 外切,10=10-x,x=4.2; x 32 内切,10=10—x—— x=10_217.0: : x: 10 x •••当OC和oA相切时, BE的长为4.2或10-2•一17. 20 (3)当以边AC为直径的OO与线段DE相切时,BE=4. 3 类题⑴一个动点: 09杨浦25题(四月、五月)、09静安25题、 ⑵两个动点: 09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题. (二)线动问题 在矩形ABCD中,AB=3,点O在对角线AC上,直线l过点O,且与AC垂直交AD于点E. (1)若直 线I过点B,把△ABE沿直线I翻折,点A与矩形ABCD的对称中心A 1 ⑵若直线l与AB相交于点F,且AO=-AC,设AD的长为x,五边 4 形BCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式,并指出x的取值范围; 3 ②探索: 是否存在这样的x,以A为圆心,以x长为半径的圆与 4 直线I相切,若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由. 重合,求BC的长; E A O A [题型背景和区分度测量点] 本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到.一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容;当直线AB边向上平移时,探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二. [区分度性小题处理手法] 1.找面积关系的函数解析式,规则图形套用公式或用割补法, 图形用割补法. 2•直线与圆的相切的存在性的处理方法: 利用d=r建立方程. 3•解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [略解] 1 (1)TA'是矩形ABCD勺对称中心二A'B=AA=-AC 2 •AB=A'B,A吐3二AO6BC=3.3 (2)①AC=.x29,AO=1..x29,AF1(x29), 412 22 (X9) 96x X29 4 22 •••SaefJaEAF』d,s=3x— A296x _x4+270x2_81“厂厂、 S(.3: : x: : 3.3) 96x ②若圆A与直线I相切,则x-3=1x2•9 44 不存在这样的x,使圆A与直线I相切. [类题]09虹口25题. (三)面动问题 如图,在ABC中,AB二AC=5,BC=6,D、 Xi AE= 4x =0(舍去), AB、AC上的两个动点重合),且保持DE//BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG. (1)试求ABC的面积; (2)当边FG与BC重合时,求正方形DEFG的边长; (3)设AD=x,ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,并写出定义域; (4)当BDG是等腰三角形时,请直接写出AD的长. [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度,在原 题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时,正方形DEFG整体动起来, E分别是边 (D不与 GF边落在BC边上时,恰好和教材中的例题对应,可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比 大边,探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题,仍然属 于面积类习题来设置区分测量点一,用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二. [区分度性小题处理手法] 图3-5 1•找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键,如上图矩形包括两种情况. 2•正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类,如上图 3•解题的关键是用含X的代数式表示出相关的线段[略解]解: (1)S'abc=12. 3-1、3-2 重叠部分分别为正方形和 3-3、 3-4、3-5用方程思想解决. (2)令此时正方形的边长为a,则-,解得 64 (6V yx 525 (3)当0X乞2时, 36x2, 12 5 当2x5时, 642424 yx5「xxx 55525 20 7 [类题]改编自09奉贤3月考到第(3)题中. (4)AD=空,生 7311 25题,将条件 (2)“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉,同时加 已知: 在△ABC中,AB=AC, /B=30o,BC=6,点D在边BC 上,点E在线段DC上,DE=3,△DEF是等边三角形,边 DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N. (1)求证: △BDMCEN; (2)设BD=X,△ABC与厶DEF重叠部分的面积为y,求y 关于X的函数解析式,并写出定义域. (3)当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D,使以 M为圆心,BM为半径的圆与直线 EF相切,如果存在,请求出 G的值;如不存在,请说明理由. 例1: 已知OO的弦AB的长等于O大小• 分析: 点C的变化是否影响/ACB O的半径,点C在OO上变化 (不与A、B)重合,求/ACB的 C改变一下,如何变化呢? 可能在当点C在优弧AB上变化时,连结AO、BO,为等边三角形,则/AOB=600,则由同弧所对的圆心角与圆周角的 的大小的变化呢? 我们不妨将点 优弧AB上,也可能在劣弧AB上变化,显然这两者的结果不一样。 那么,/ACB所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB的一半,因此很自然地想到它的圆心角,则由于AB=OA=OB,即三角形ABC 1 关系得出: /ACB=2/AOB=300, 当点C在劣弧AB上变化时,/优弧AB的一半,由/AOB=600得, ACB所对的弧是优弧AB,它的大小为 AC O AB的一半,即•C=60° A B C A E° 同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出: /ACB=1500, 因此,本题的答案有两个,分别为300或1500. 反思、: 本题通过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。 从而需要分类讨论。 这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。 变式1: 已知△ABC是半径为2的圆内接三角形,若AB=2、..3,求/c的大 小. 本题与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上 1 1—AB,3I sin1NAOB=—=—丄/AOB=60° 面一致,在三角形AOB中,2OB2,则2,即 NAOB=120。 从而当点C在优弧AB上变化时,/C所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧当点C在劣弧AB上变化时,/C所对的弧是优弧AB,它的大小为优 弧AB的一半,由/AOB=1200得,优弧AB的度数为3600-1200=2400,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出: /C=1200, 因此NC=60°或/C=1200. 变式2: 如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B,若AB=1,判断/AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化,若变化,求出变化范围,若不变化,求出它的值。 四边形ABCD的面积的最大值。 解: (1)由于AB=OA=OB,所以三角形AOB为等边三角形,则/AOB=600,即/AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。 (2)四边形ABCD的面积由三个三角形组成,其中三角形AOB的面积为4,而三角 111 —ODxAF十一OCxBG=一(AF十BG) 形AOD与三角形BOC的面积之和为222,又由梯形 1 —(AF+BG)=EH 的中位线定理得三角形 AOD与三角形BOC的面积之和2,要四边形 ABCD的面积最大,只需EH最大,显然EH 、.333、3 四边形ABCD的面积最大值为4+2=4. 对于本题同学们还可以继续思考: 四边形ABCD的周长的变化范围. 变式3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分 别为A、B,另一个顶点C在半圆上,问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大? 要求说明理由(广州市20PP年考题) 分析: 要使三角形ABC的面积最大,而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量,只需AB边上的高最大即可。 过点C作CD丄AB于点D,连结CO, 由于CD 即C为半圆弧 的中点时,其三角形ABC的面积最大。 本题也可以先猜想,点C为半圆弧的中点时,三角形ABC的面积最大,故只需另选一个位置C1(不与 C重合),,证明三角形ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。 如图 111 显然三角形ABC1的面积=2ABXC1D,而C1D XC10=三角形ABC的面积,因此,对于除点C外的任意点C1,都有三角形ABC1的面积小于三角形三角形 ABC的面积,故点C为半圆中点时,三角形ABC面积最大. 本题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。 提示: 利用周长与面积之间的关系。 要三角形ABC的周长最大,AB为常数,只需AC+BC最大,而(AC+BC)2=AC2+CB2+2ACXBC=AB2+4X△ ABC的面积,因此△ABC的面积最大时,AC+BC最大,从而△ABC的周长最大。 从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见 方法有: 一、特殊探路,一般推证 例2: (20PP年广州市中考题第11题)如图,O01和O02内切于A,O01的半径为3,002的 半径为2,点P为O01上的任一点(与点A不重合),直线PA交O02于点C,PB切O02于点B, BP 则PC的值为 3U .—f-— (A)'-2(B)3(C)2(D)2 分析: 本题是一道选择题,给出四个答案有且只有一个是正确的,因此可以取一个特殊位置进行研究,当点PB=32-12=22 BCXAP=BPXAB, _AB_BP_ BC=.AB2BP2 P满足PB丄AB时,可以通过计算得出 因此 82 168 82 2、6 在三角形BPC中, BP 所以,PC=3 JBP2-BC2 PC= 4、2 二6 2、6 选(B) BP PC AP BP,即可计算出结论。 当然,本题还可以根据三角形相似得 作为一道选择题,到此已经完成,但如果是一道解答题,我们得出的结论只是 一个特殊情况,还要进一步证明对一般情况也成立。 例3: 如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=4,0A-BC于0,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合,点E不与B、A重合。 判断厶0EF的形状,并加以证明。 判断四边形AE0F的面积是否随点E、F的变化而变化,若变化,求其变化范围,若不变化,求它的值• AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化,若变化,求其变化范围, 若不变化,求它的值。 分析: 本题结论很难发现,先从特殊情况入手。 最特殊情况为E、F分别为AB、AC中点,显然有△EOF 为等腰直角三角形。 还可发现当点E与A无限接近时,点F与点C无限接 近,此时△EOF无限接近△AOC,而△AOC为等腰直角三角形,几种特殊情况都可以得出△EOF为等腰直角三角形。 一般情况下成立吗? OE与OF 相等吗? /EOF为直角吗? 能否证明。 如果它们成立,便可以推出三角形OFC与三角形OEA全等,一般情况下这两个三角形全等吗? 不难从题目的条件可得: OA=OC,/OCF=/OAE,而AE=CF,贝U△OEA AOFC,贝UOE=OF,且/FOC=/EOA,所以/EOF=ZEOA+/AOF=/ FOC+/FOA=9OO,则/EOF为直角,故AEOF为等腰直角三角形。 二、动手实践,操作确认 例4(20PP年广州市中考试题)在O C O中,C为弧AB的中点,D为弧AC上任一点(与A、C不重 (A)AC+CB=AD+DB (B)AC+CB 合),则 (C)AC+CB>AD+DB(D)AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 分析: 本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的长度,可以尝试换几个位置量一量,
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