第六章万有引力与航天第五节第六节.docx

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第六章万有引力与航天第五节第六节

第六章万有引力与航天第五节-第六节

一.教学内容：

第五节宇宙航行

第六节经典力学的局限性

二.知识要点：

1.了解人造卫星的有关知识。

知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度。

2.知道牛顿运动定律的适用范围。

了解经典力学在科学研究和生产技术中的广泛应用。

3.知道质量与速度的关系，知道高速运动中必须考虑质量随速度变化。

三.重难点解析：

1.人造地球卫星

卫星运动：

人造地球卫星的运动可看作是匀速圆周运动，其向心力为地球对它的万有引力，其动力学方程为

=ma向=m

=mrω2=mωv=mr

。

要学会熟练变换.解决具体问题要认真分析各物理量间的对应关系，分清不变量和变量，讨论变量间的关系。

2.三种宇宙速度

（1）人造卫星的环绕速度，即第一宇宙速度。

对于近地人造卫星，轨道半径近似等于地球半径R，卫星在轨道处所受的万有引力F近似等于卫星在地面上所受的重力mg，这样有重力mg提供向心力，即mg=mv2／R，得v=

，把g=9.8m／s2，R=6400km代入，得v=7.9km／s。

要注意v=

仅适用于近地卫星。

可见，7.9km/s的速度是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动具有的速度，我们称为第一宇宙速度，是人造卫星发射的最小速度。

当11.2km/s>v>7.9km／s时，卫星绕地球旋转，其轨道是椭圆，地球位于一个焦点上。

同时值得注意的是，第一宇宙速度是环绕的最大速度。

（2）第二宇宙速度（脱离速度）。

v=16.7km/s是使物体挣脱地球引力束缚，成为绕着太阳运行的人造行星，或者飞到其它行星上去的最小发射速度。

当16.7km／s>v≥11.2km／s时，卫星脱离地球束缚，成为太阳系的一颗“小行星”。

（3）第三宇宙速度（逃逸速度）。

v=16.7km/s是使物体挣脱太阳引力束缚，飞到其太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度。

当v≥16.7km／s时，卫星脱离太阳的引力束缚，跑到太阳系以外的宇宙空间中去。

（4）人造地球卫星的发射速度

对于人造地球卫星，由

=m，得v=

，这一速度是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。

但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功。

所以将卫星发射到距离地球越远的轨道，在地面所需的发射速度越大。

3.人造卫星的运行速度、角速度、周期与半径的关系，根据万有引力提供向心力。

则有

（1）由

=m，得v=

即人造卫星的运行速度与轨道半径的平方根成反比，所以半径越大（即卫星离地面越高），线速度越小。

（2）由

=mrω2，得ω=

即ω∝

，故半径越大（即卫星离地面越高），角速度越小。

（3）由

==mr

，得T=

即T∝

，所以半径越大（即卫星离地面越高），周期越长。

发射人造地球卫星的最小周期约为85分钟。

4.人造卫星的发射速度和运行速度（环绕速度）

（1）发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的速度，并且一旦发射后就再也没有补充能量，被发射物仅依靠自身的初动能克服地球引力做功上升一定高度。

进入运动轨道（注意：

发射速度不是应用多级运载火箭发射时，被发射物离开地面发射装置的初速度）。

要发射一颗人造卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。

因此，第一宇宙速度又是最小的发射速度。

卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。

贴近地球表面的卫星（近地卫星）的发射速度最小，就是其运行速度即第一宇宙速度。

（2）运行速度是指卫星在进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。

根据v=

可知。

卫星越高，半径越大，卫星的运行速度（环绕速度）就越小。

5.人造卫星的超重与失重

（1）人造卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动。

这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态。

（2）人造卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，所以处于完全失重状态。

在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都会停止发生。

因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用。

同理，与重力有关的实验也将无法进行。

6.人造卫星的加速度

（1）引力加速度a=

=

（2）重力加速度g=

（3）向心加速度a向=rω2=r·4π2／T2

（4）卫星绕地球运动的向心加速度和物体随地球自转的向心加速度的比较。

卫星绕地球运动的向心力完全是由地球对卫星的万有引力提供的，而放在地面上的物体随地球自转所需的向心力是由万有引力的一个分力提供的。

两个向心力的数值相差很多，如质量为1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034N，而它所受地球引力约为9.8N。

卫星绕地球运动的向心加速度a向=

，其中M为地球质量，r为卫星与地心间的距离；物体随地球自转的向心加速度a向=ω2R=

R，其中T为地球自转周期，R为地球半径。

7.地球同步卫星

相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通讯卫星。

同步卫星有以下几个特点：

（1）同步卫星与地球自转方向一致。

（2）同步卫星的运转周期与地球自转周期一致，且T=24小时。

（3）同步卫星的运转角速度与地球自转角速度相等。

（4）要与地球同步，卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，又由于向心力是万有引力提供的，万有引力必须在轨道平面上，所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的。

（5）同步卫星的高度一定。

所有同步卫星的周期r，、轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同。

由

=mr

知r=

，由于T一定，故r不变，而r=R+h，h为离地面的高度，h=

—R，又∵GM=gR2。

代入数据T=24h=86400s，g=9.8m／s2，R=6400km，得h=3.6×104km。

也就是说，同步卫星必须定位于赤道的正上方，离地面的高度约为3.6×104km。

（6）同步卫星的环绕速度大小一定。

设其运行速度为v，由于

=m

v=

=

=

m/s

=3.1×103m/s

（7）三颗同步卫星作为通讯卫星，则可覆盖全球。

（两极有部分盲区）

8.与星球表面的重力加速度有关的问题分析，星球表面的重力加速度一方面与星球有关（g=

），另一方面又可以从它与运动的关系（平抛运动，自由落体运动，竖直上抛运动等）中求出，重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带

9.卫星问题是物理知识在高科技中的综合应用，题中经常涉及新的科技信息，解决此类问题除掌握物理学基础知识外，还要注意新的科技动态，对学科知识融会贯通，才能顺利解答

10.黑洞问题

“黑洞”是一种密度很大的天体，具有极强的吸引力，任何在它附近的物体以任何速度都不可能绕它做圆周运动而只能做向心运动，即黑洞的逃逸速度比光速还要大。

目前世界上研究黑洞理论在最前列的当属于美国学者霍金，他被誉为“当代的保尔”，因为他是一位身残志坚的科学家，他几年前来华讲学，我国曾掀起了一股“霍金热”。

11.爱因斯坦在狭义相对论中阐述了物体以接近光速运动时所遵从的规律，得出了一些不同于经典力学的观念和结论。

（1）在经典力学中，物体的质量是不随运动状态改变的，而狭义相对论认为，物体的质量随着物体运动速度的增大而增大，即

m=

式中m0是物体的静止质量，m是物体以速度v运动时的质量，c是光在真空中的速度。

上式是在光速不变原理基础上得出的。

由上式可知m随v增大而增大，如地球以3×104m/s的速度绕太阳公转时，它的质量增大十分微小，可以忽略，经典力学完全适用。

但如果物体接近光速，如速度v=0.8c时，物体的质量约增大到静止质量的1.7倍。

人类对自然界的认识过程都是从肤浅到深刻，从片面到全面，一步步深入，一步步完善。

所以理论的完善也需要一个过程，经典力学理论不可能穷尽一切真理，必有其局限性，现在可认为经典理论是狭义相对论和量子理论的特例。

（2）宏观物体与微观粒子行为的差异

宏观物体具有粒子性。

微观粒子不仅具有粒子性，同时还具有波动性，又称波粒二象性。

（3）经典力学理论的适用范围

弱相互作用下，低速运动的宏观物体。

【典型例题】

[例1]1999年5月10日，我国成功地发射了“一箭双星”，将“风云1号”气象卫星和“实验5号”科学实验卫星送入离地面870km的轨道，“风云1号”可发送可见红外气象遥感信息，为我国提供全球气象和空间环境监测资料。

（1）这两颗卫星的运行速度为（）

A.7.9km/sB.11.2km／sC.7.4km／sD.3.1km／s

（2）“风云1号”卫星是（）

A.第二代地球的同步卫星B.气象卫星

C.科学实验卫星D.第一代太阳的同步卫星

解析：

（1）本世纪末，我国成功地发射了“一箭双星”，标志着我国科技进入新的时代，由卫星离地面高度8.70km，由圆周运动规律得

v=

由于第一宇宙速度为7.9km／s，而r>r地推断v<7.9km／s。

故选C。

而11.2km/s是第二宇宙速度，若卫星速度为3.1km／s时轨道半径远大于地球半径，比870km高得多。

（2）“风云1号”卫星是新科技实力的展示，它是太阳的第一代同步卫星。

故选B、D。

[例2]1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国MaxP1anck学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：

银河系的中心可能存在一个大“黑洞”。

所谓“黑洞”，它是某些天体的最后演变结果。

（1）根据长期观测发现距离某“黑洞”6.0×1012m的另一个星体（设其质量为m2）以2×105m／s的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m1；（结果要求保留二位有效数字）

（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为v=

，其中引力常量G=6.67×10-11N·m2·kg-2，M为天体质量，R为天体半径。

且已知逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”.请估算

（1）中“黑洞”的可能最大半径。

（结果只要求一位有效数字）

解析：

（1）设“黑洞”质量为m1，天体质量为m2，它们之间的距离为r，根据万有引力等于向心力，即

=m2

。

m1=

=

kg=3.6×1035kg

（2）设“黑洞”的可能半径为R，质量为m1，依题意须满足

=m2

。

∴

＞c，∴R<

“黑洞”的可能最大半径

Rmax=

=

m=5×108m

又∵Gml=v2.r∴Rmax=

，

∴Rmax=

m=5×108m

[例3]2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98?

的经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98?

和北纬α=40?

，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c。

试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。

解析：

设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有：

=mrω2

式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有ω=，因为

=mg，得GM=gR2。

设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定理得

L=

所求时间为t=

由以上各式得

t＝

[例4]一组太空人乘太空穿梭机，去修理位于离地球表面高为h的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H，机组人员使穿梭机s进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处，如图所示，设G为引力常数，而M为地球质量，R为地球半径。

（1）在穿梭机内，一质量为70kg的太空人的视重是多少?

（2）计算轨道上的重力加速度的值及计算穿梭机在轨道上的速率和周期。

（3）穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上前面的望远镜，用上题的结果判断穿梭机在进入较低轨道时应增加还是减少其原有速率，并解释你的答案。

解析：

（1）在穿梭机内，太空人处于完全失重状态，任何质量的太空人的视重均为零。

（2）设穿梭机轨道处的重力加速度为g’，其运行速率为v，运行周期为T，则根据

F向=F引有

=mg’

又

=m

，得v=

则T=

=2π

（3）由

=ma向=m

.有v=

，可以推知推知v大，则穿梭机在进入较低轨道时应增加其原有速率，又由F=ω·r可知v增大，r又减小，则ω一定增大，从而赶上哈勃太空望远镜H

[例5]在粒子对撞机中，有一个电子经过高压加速，速度达到光速的0.5倍。

试求此时电子的质量变为静止时的多少倍?

解析：

由于电子的速度接近光速，所以质量变化明显，根据爱因斯坦狭义相对论中运动质量与静止质量的关系得

m=

=

=

=

=1.155m0

答案：

1.155倍

由此题可看出当物体的运动速度接近光速时，质量变化明显，而且越接近光速越显著。

如当电子速度为0.8c时，质量将变为静止时的近1.7倍。

在这种情况下，经典力学已不再适用

【模拟试题】

1.如图所示发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道l，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。

轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在l、2、3轨道上正常运动时，以下说法正确的是（）

A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道l上的角速度

C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度

2.假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的2倍，仍做圆周运动，则（）

A.根据公式v=ωr可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍

B.根据公式F=m

可知卫星所需的向心力将减小到原来的l／2

C.根据公式F=

可知地球提供的向心力将减小到原来的1／4

D.根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运行的线速度将减小到原来的

3.如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等且小于c的质量，则（）

A.b所需向心力最小

B.b、c的周期相同且大于a的周期

C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度

4.黑洞是一种密度极大的星球。

从黑洞发出的光子，在黑洞引力作用下，都将被黑洞吸引回去，使光子不能到达地球，地球上观察不到这种星球，因此把这种星球称为黑洞。

有一频率为γ的光子，在黑洞表面发射，恰能沿黑洞表面做匀速圆周运动，其周期为T则此黑洞的平均密度ρ=。

5.一个原来静止的电子，经电压加速后，获得的速度为v=6×106m／s。

问电子的质量增大了还是减小了?

改变了百分之几?

6.对于公式m=

，下列说法中正确的是（）

A.式中的m0是物体以速度v运动时的质量

B.当物体的运动速度v>0时，物体的质量m>m0，即物体的质量改变了，故经典力学不适用，是不正确的

C.当物体以较小速度运动时，质量变化十分微弱，经典力学理论仍然适用，只有当物体以接近光速运动时，质量变化才明显，故经典力学适用于低速运动，而不适用于高速运动

D.通常由于物体的运动速度太小，故质量的变化引不起我们的感觉。

在分析地球上物体的运动时，不必考虑质量的变化

7.关于经典力学和相对论，下列说法正确的是（）

A.经典力学和相对论是各自独立的学说，互不相容

B.相对论是在否定了经典力学的基础上建立起来的

C.相对论和经典力学是两种不同的学说，二者没有联系

D.经典力学包含于相对论之中，经典力学是相对论的特例

【试题答案】

1.B、D2.C、D

3.解析：

因卫星运动的向心力就是它们所受的万有引力，而b所受的引力最小，故A对。

由

=ma，得a=

即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错。

由

=mr

，得

T=

即人造地球卫星运行的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对。

由

=m

，得v=

即地球卫星的线速度与其轨道的平方根成反比，所以b、c线速度大小相等且小于a的线速度，D对。

所以，正确选项为A、B、D。

4.解析：

设光子的质量为m，黑洞的质量为Mo，半径为R.光子恰沿黑洞表面做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力可得

=m

R，得

=

①

又因为ρ=

，②

将①式代入②式得ρ=

5.解析：

根据爱因斯坦的狭义相对论m=

得运动后的质量增大了。

m=

=1.0002m0

所以改变的百分比为0.02％，

在这种情况下，由于质量改变很小，可以忽略质量的改变，经典力学理论仍然适用。

而宏观物体的运动速度一般都很小（相比于光速），所以经典力学解决宏观物体的动力学问题是适用的。

答案：

增大了，0.02％

6.解析：

公式中m0是静止质量，m是物体以速度v运动时的质量，A不对。

由公式可知，只有当接近光速时，物体的质量变化才明显，一般情况下物体的质量变化十分微小，故经典力学仍然适用，故B不对，C、D正确。

答案：

C、D

7.解析：

相对论的建立并没有否定经典力学，而是认为经典力学是相对论在一定条件下的特殊情形。

所以A、B、C不对，D正确。

答案：

D