利用韦达定理求一元二次方程的根_精品文档.doc
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利用韦达定理求一元二次方程的根
一、关于韦达定理的性质
1.韦达定理:
假设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1、x2,则有
x1+x2=-,x1x2=.
2.推导:
(法一)根据一元二次方程的求根公式x=
不妨假设x1=,x2=
不难得出x1+x2=-,x1x2=.
(法二)若一元二次方程的两根分别为x1、x2,则方程可以写成以下形式
a(x-x1)(x-x2)=0(a≠0)(双根式)
按照x的次数降幂排列,得ax2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
对比一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0,得
b=-a(x1+x2),c=ax1x2,
∴x1+x2=-,x1x2=.
3.推论:
(一)当二次项系数为1时,即一元二次方程满足x2+px+q=0的形式假设方程的两根分别为x1、x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
(二)已知一元二次方程两根分别为x1、x2,则方程可以写成以下形式
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
4.实质:
韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.
二、利用韦达定理求一元二次方程的根
例如,求一元二次方程x2―2x―6=0的根.
很明显,根据我们所学习惯,首选方法是十字相乘法.
(法一)
因式分解,得(x-3)(x+)=0,
解得,x1=3,x2=-.
当然,利用十字相乘法很难凑数时,我们就会选用求根公式法.
(法二)a=1,b=-2,c=-6,
∴b2-4ac=8+24=32,
∴x===±2,
于是有x1=3,x2=-.
结合以上两种方法,我们发现,十字相乘法计算速度快,但是凑数的过程十分灵活,若每一个系数都是整数,且满足x2-(x1+x2)x+x1x2=0形式的方程可以很快算出来,但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的,而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用.而利用求根公式解一元二次方程时,虽然是一种万能的方法,但有时会给我们带来无比的计算量.那有什么方法既可以减少计算量,使运算变得简单快捷,同时又可以用来解一切的一元二次方程呢?
接下来,我们看以下解法.
(法三)已知方程x2―2x―6=0,
根据韦达定理有x1+x2=2,x1x2=―6.
在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数),使得
x1=+a,x2=-a,(满足条件x1+x2=2)
且(+a)(-a)=―6.(满足条件x1x2=―6)
于是有2-a2=―6,则a2=8,因此a=2
∴x1=+2=3,x2=-2=-.
上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果,为了方便,习惯上可以假定a为正数.观察以上解法,我们可以发现,这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感,也不像求根公式法会带来无比的计算量,反而还结合两者的优点,计算快捷且万能通用.当然我们也可以看以下例子.
例1:
解方程x2―6x―25=0,
根据韦达定理有x1+x2=6,x1x2=―25.
在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数),使得
x1=3+a,x2=3-a,(满足条件x1+x2=6)
且(3+a)(3-a)=―25.(满足条件x1x2=―25)
于是有9-a2=―25,则a2=34,因此a=
∴x1=3+,x2=3-.
例2:
解方程x2+24x―63=0,
根据韦达定理有x1+x2=-24,x1x2=―63.
在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数),使得
x1=-12+a,x2=-12-a,(满足条件x1+x2=-24)
且(-12+a)(-12-a)=―63.(满足条件x1x2=―63)
于是有144-a2=―63,则a2=207,因此a=
∴x1=-12+,x2=-12-.
例3:
解方程x2―14x+48=0,
根据韦达定理有x1+x2=14,x1x2=48.
在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数),使得
x1=7+a,x2=7-a,(满足条件x1+x2=14)
且(7+a)(7-a)=48.(满足条件x1x2=48)
于是有49-a2=48,则a2=1,因此a=1
∴x1=7+1=8,x2=7-1=6.
例4:
解方程x2+18x+40=0,
根据韦达定理有x1+x2=-18,x1x2=40.
在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数),使得
x1=-9+a,x2=-9-a,(满足条件x1+x2=-18)
且(-9+a)(-9-a)=40(满足条件x1x2=40)
于是有81-a2=40,则a2=41,因此a=
∴x1=-9+,x2=-9-.
通过以上4个例子,我们可以熟悉,若二次项系数为1时,利用韦达定理解一元二次方程的流程.实际上当一元二次方程二次项系数不为1时,我们也可以离此流程解一元二次方程.如
例5:
解方程2x2+9x―5=0,
(法一)根据韦达定理有x1+x2=-,x1x2=―.
在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数),使得
x1=-+a,x2=--a,(满足条件x1+x2=-)
且(-+a)(--a)=―.(满足条件x1x2=―)
于是有-a2=―,则a2=,因此a=
∴x1=-+=,x2=--=-5.
(法二)a=2,b=9,c=-5,
∴b2-4ac=81+40=121,
∴x==,
于是有x1=,x2=-5.
当然,当二次项系数不为1时,运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多,因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论;若系数出现根式可考虑用韦达定理.
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