八年级数学全等三角形培优精选难题.docx
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八年级数学全等三角形培优精选难题
北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题集
1.如图1,已知在等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于P,则∠APE的度数是 。
2.如图2,点E在AB上,AC=AD,BC=BD,图中有 对全等三角形。
3.如图3,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于 度。
4.如图4所示的2×2方格中,连接AB、AC,则∠1+∠2= 度。
5.如图5,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题。
( )
①AE=AD;②AB=AC;③OB=OC;④∠B=∠C。
6.如图6,在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到点D,使AD=
AB,点E、F分别为边BC、AC的中点。
(1)求证:
DF=BE;
(2)过点A作AG∥BC,交DF于点G,求证:
AG=DG。
7.如图7,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB>AD,下列结论正确的是( )
A. AB-AD>CB-CD B. AB-AD=CB-CD
C. AB-AD<CB-CD D. AB-AD与CB-CD的大小关系不确定
8.InFig.8,Let△ABCbeanequilateraltriangle,DandEbepointsonedgesABandACrespectively,FbeintersectionofsegmentsBEandCD,and∠BFC=120°,thenthemagnituderelationbetweenADandCEis()
A.AD>CEB.AD (英汉小词典: equilateral等边的;intersection交点;indefinite不确定的;magnitude大小,量) 9.如图9,在△ABC中,AC=BC=5,∠ACB=80°,O为△ABC中一点,∠OAB=10°,∠OBA=30°,则线段AO的长是 。 10.如图10,已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB。 求证: (1)AP=AQ; (2)AP⊥AQ。 11.如图11,在△ABC中,∠C=60°,AC>BC,又△ABC´、△BCA´、△CAB´都是△ABC形外的等边三角形,而点D在AC上,且BC=DC。 (1)证明: △C´BD≌△B´DC; (2)证明: △AC´D≌△DB´A; 12.如图12,在△ABC中,D、E分别是AC、BC上的点,若△ADB≌EDB≌EDC,则∠C的度数为 。 13.如图13,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是 。 14.如图14,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于H点,请你添加一个适当的条件: ,使△AEH≌△CEB。 15.如图15,在△ABC中,已知AB=AC,要使AD=AE,需要添加的一个条件是 。 16.有一腰长为5㎝,底边长为4㎝的等腰三角形纸片,沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形纸片,用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形。 17.如图16,△ABF和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的,若∠1: ∠2: ∠3=28: 5: 3,则∠α的度数为 。 18.如图17,已知CE⊥AD于E,BF⊥AD于F,你能说明△BDF和△CDE全等吗? 若能,请你说明理由;若不能,在不用增加辅助线的情况下,请添加其中一个适当的条件,这个条件是 ,来说明这两个三角形全等,并写出证明过程。 20.如图20,在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C在同一直线上,有下面四个论断: ①AD=CB;②AE=CF;③∠B=∠D;④AD∥BC。 请用其中有一个作为条件,余下的一个作为结论,编一道数学问题,并写出解答过程。 21.如图21-①,小明剪了一个等腰梯形ABCD,其中AD∥BC,AB=DC;又剪了一个等边△EFG,同桌的小华拿过来拼成如图②的形状,她发现AD与FG恰好完全重合,于是她用透明胶带将梯形ABCD与△EFG粘在一起,并沿EB、EC剪下。 小华得到的△EBC是什么三角形? 请你作出判断并说明理由。 22.如图22,在△ABC与△DEF中,给出以下六个条件: ①AB=DE;②BC=EF;③AC=DF;④∠A=∠D;⑤∠B=∠F;⑥∠A=∠D,以其中三个条件作为已知,不能判断△ABC与△DEF全等的是( ) A. ①⑤② B. ①②③ C. ④⑥① D. ②③④ 23.如图23 (1),在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE沿线段DE向下折叠,得到图23 (2),下列关于图23 (2)的四个结论中,不一定成立的是( ) A. 点A落在BC边的中点 B. ∠B+∠1+∠C=180° C. △DBA是等腰三角 D. DE∥BC 24.如图24,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是( ) A. ∠M=∠N B. AB=CD C. AM=CN D. AM∥CN 25.如图25,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,BD=BE。 (1)请你再添加一个条件,使得△BEA≌△BDC,并给出证明,你添加的条件是: 。 并给出证明。 (2)根据你添加的条件,再写出图中的一对全等三角形: (只要求写出一对全等三角形,不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母,不必写出证明过程)。 26.如图26,在△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于D点,E在AD上,且DE=CD,求证: BE=AC。 27.已知: 如图27,给出下列三个式子: ①EC=BD;②∠BDA=∠CEA;③AB=AC;请将其中的两个式子作为题设,一个式子作为结论,构成一个真命题(收发室形式: 如果……,那么……),并给出证明。 28.如图28,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,已知∠ADC=∠BCD,AD=BC,求证: AO=BO。 29.如图29,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一直线上,下面有四个条件,请你在其中选3个作为题设,余下一个作为结论,写一个真命题,并加以证明。 ①AB=DE;②AC=DF;③∠ABC=∠DEF;④BE=CF。 30.如图30,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且△DEF也是等边三角形。 (1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的; (2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化想到得到? 写出变化过程。 31.如图31,点B在AE上,∠CAB=∠DAB,要使△ABC≌△ABD,可补充的一个条件是: (写一个即可)。 32.如图32,AC交BD于点O,请你从下面三项中选出两个作为条件,另一个为结论,写出一个真命题,并加以证明。 ①OA=OC;②OB=OD;③AB∥DC。 33.如图33,要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A、B两点间的距离。 请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。 (1)画出测量图案; (2)写出测量步骤(测量数据用字母表示); (3)设计AB的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示)。 34.如图34,在△ABC中,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,AE=CE,AB与CF有什么位置关系? 证明你的结论。 35.如图35,OP是∠AOC和∠BOD的平分线,OA=OC,OB=OD。 求证: AB=CD。 36.如图36,已知AB=AC, (1)若CE=BD,求证: GE=GD; (2)若DE=mBD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系。 (只写结论,不证明) 37.复习“全等三角形”知识时,都是布置了一道作业题: “如图37 (1),已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内任意一点,将AP绕点A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接BQ、CP,则BQ=CP。 ” 小亮是个爱动脑筋的同学,他通过图 (2)的分析,证明了△ABQ≌△ACP,从而证得BQ=CP,之后,他将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中其他条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图 (2)给出证明。 38.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”“求证”(如图38),她们对各自所作的辅助线描述如下: 文文: “过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”; 彬彬: “作△ABC的角平分线AD”。 数学老师看了两位同学的辅助线作法后说: “彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正。 ” (1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里; (2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程。 39.将两块全等的含30°角的三角尺如图39 (1)摆放在一起,它们的较短直角边长为3。 (1)将△ECD沿直线 向左平移到图 (2)的位置,使E点落在AB上,则CC´= ; (2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置,使点E落在AB上,则△ECD绕点C旋转的度数= ; (3)将△ECD沿直线翻折到图(4)的位置,ED´与AB相交于F,求证: AF=FD´。 40.已知: 点O至△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC。 (1)如图40 (1),若点O在边BC上,求证: AB=AC; (2)如图 (2),若点O在△ABC的内部,求证: AB=AC; (3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗? 请画图表示。 41.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( ) A. 两个锐角相等 B. 两条边对应相等 C. 一条边与一个锐角对应相等 D. 斜边与一个锐角对应相等 42.如图43,AD是△ABC的中线,E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF,则( ) A. BE+CF>EF B. BE+CF=EF C. BE+CF<EF D. BE+CF与EF的大小关系不确定 43.如图44,在△ABC中,E、D分别是边AB、AC上的点,BD、CE交于F,AF的延长线交BC于H点,若∠1=∠2,AE=AD,则图中的全等三角形共有( )对。 A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 44.如图45,将△ABC绕着C点按顺时针方向旋转20°,B点落在B´点位置,A点落在A´点位置,若AC⊥A´B´,则∠BAC= 。 45.如图46,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4。 将矩形ABCD沿AC折叠,则重叠部分△AFC的面积为 。 46.如图47,设正△ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记为s和t,则s2-t2= 。 47.如图48,D为等边△ABC内一点,DB=DA,BF=AB,∠DBF=∠DBC,则∠BFD的度数为 °。 48.如图49,在△ABC和△A´B´C´中,CD、C´D´分别是∠ACB、A´C´B´的角平分线,且CD=C´D´,AB=A´B´,∠ADC=∠A´D´C´。 你能判断△ABC与△A´B´C´全等吗? 如果能,请给出证明;如果不能,请说明理由。 49.如图50,△ABC是正三角形,△A1B1C1的三条边A1B1、B1C1、C1A1交△ABC各边于C2、C3、A2、A3、B2、B3,已知A2C3=C2B3=B2A3,且C2C32+B2B32=A2A32,请你证明: A1B1⊥C1A1。 提示: 如图过A3作A3M∥C1A1,过B3作B3M∥AB。 连结C2M、A2M。 △MB3C2为正三角形。 四边形MC2C3A2是平行四边形 有MA22+A3M2=A2A32 A3M⊥A2M A1B1⊥C1A1。 50.如图51,点C在线段AB上,DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=51°,求∠DFE的度数。 提示: 连结AE、BD △ABE≌△FCA △ABD≌△CFB △AEF △BDF都等腰直角三角形。 51.如图52,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE的面积。 提示: 旋转△AED至△ABF处。 △ACF≌△ACD 图52 52.如图53,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上的一点,且BF=CE。 求证: FK∥AB。 提示: 过E作EG⊥AB于G。 △CKF≌△EGB ∠CFK=∠B 53.已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的3个项点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上。 求△ABC直角边长的最大可能值。 解: 注: 其中 ,为韦达定理: 当 时,一元二次方程有两个实数根;当 时,一元二次方程有一个实数根;当 ,一元二次方程无实数根。 54.如图54,AA´、BB´、CC´交于点O,且AA´=BB´=CC´=1,∠AOC´=∠BOA´=∠COB´=60°。 求证: (1)S△AOC´+S△BOA´+S△COB´< ; (2)S△AOC´、S△BOA´、S△COB´中至少有一个不大于 。 证明: (1)延长C´C至D,取CD=C´O,延长BB´至E,取B´E=BO。 则△ODE为正三角形 在ED上取EF=OA´,连接B´F、CF。 则△EB´F≌△OBA´,△CDF≌△C´OA S△EOD= ∴S△AOC´+S△BOA´+S△COB´< 。 (2)假设S△AOC> 、S△BOA´> 、S△COB> 。 记OA= ,OB= ,OC= ,则根据余弦定理求面积公式,有: 整理后: 三式相乘 。 而 ,故 。 矛盾。 因此,题目结论成立。 55.如图55,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形,则四边形AEFD的面积为 。 56.如图56,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,∠MDN=60°,则△AMN的周长= 。 57.如图57,已知四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,求证: BC+DC=AC。 58.如图58,ABCDEF为一正六边形,问: 风筝形ABCF的面积是正六边形面积的几分这几? 59.如图59,△ABC中阴影面积占总面积的分数是多少? 60.如图60,一个等腰直角三角形XYZ外接于正方形PQRS。 三角形XYZ的面积是 。 请问: 正方形PQRS的面积是多少? 61.如图61,三个正六边形大小相同。 X、Y、Z表示六边形中阴影部分的面积。 下面哪一个说法正确? ( ) A. X等于Y,但不等于Z B. X等于Z,但不等于Y C. Y等于Z,但不等于X D. X等于Y,也等于Z E. X、Y、Z不相同 62.如图62,ABCDEF是一个面积为60的正六边形。 请问: 风筝形状ABCE的面积是多少? 63.如图63,外面的等边三角形面积为1,A、B、C三点位于三条边的 位置上。 请问等边△ABC的面积是多少?
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