函数的幂级数展开式及其应用_精品文档.doc
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函数的幂级数展开式及其应用
通过前面的学习我们看到,幂级数不仅形式简单,而且有一些与多项式类似的性质。
而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。
为此我们有了下面两个问题:
问题1:
函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数;
问题2:
如果f(x)能表示成如上形式的幂级数,那末系数cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定?
下面我们就来学习这两个问题。
泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数,其中a是事先给定某一常数,我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。
由于f(x)可以表示成幂级数,我们可根据幂级数的性质,在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。
得:
,
,
………………………………………………
,
………………………………………………
在f(x)幂级数式及其各阶导数中,令x=a分别得:
把这些所求的系数代入得:
该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.
关于泰勒级数的问题
上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上,只要f(x)在x=a处任意阶可导,我们就可以写出函数的泰勒级数。
问题:
函数写成泰勒级数后是否收敛?
是否收敛于f(x)?
函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差
是否随n→+∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。
此时,我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.
泰勒定理
设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导,则对于位于此邻区内的任一x,至少存在一点c,c在a与x之间,使得:
此公式也被称为泰勒公式。
(在此不加以证明)
在泰勒公式中,取a=0,此时泰勒公式变成:
其中c在0与x之间,此式子被称为麦克劳林公式。
函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时,我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.
即:
几种初等函数的麦克劳林的展开式
1.指数函数ex
2.正弦函数的展开式
3.函数(1+x)m的展开
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