高中数学选修21步步高全书配套课件学案第一章章末复习.docx
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高中数学选修21步步高全书配套课件学案第一章章末复习
章末复习
学习目标
1.理解命题及四种命题的命题间的相互关系.2.掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、特称命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定.
1.命题及其关系
(1)判断一个语句是否为命题,关键是:
①为陈述句;
②能判断真假.
(2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同.
(3)四种命题之间的关系如图所示.
2.充分条件、必要条件和充要条件
(1)定义
一般地,若p则q为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.
(2)特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征:
①对称性:
若p是q的充分条件,则q是p的必要条件;
②传递性:
若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件.即若p⇒q,q⇒r,则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性,但若p是q的充分条件,q是r的必要条件,则p与r的关系不能确定.
3.简单的逻辑联结词与量词
(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”.
(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词,通常用符号“∀x”表示“对任意x”.
(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词,通常用符号“∃x0”表示“存在x0”.
4.含有全称量词的命题叫做全称命题,含有存在量词的命题叫做特称命题.
(1)命题“若x>0且y>0,则x+y>0”的否命题是假命题.(√)
(2)“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题.(√)
(3)命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致.(×)
(4)已知命题p:
∃x0∈R,x0-2>0,命题q:
∀x∈R,x2>x,则命题p∨(綈q)是假命题.(×)
类型一 命题及其关系
例1
(1)有下列命题:
①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题;
②“矩形的对角线相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”.
其中是真命题的是( )
A.①②③B.②③④
C.①③④D.①③
【试题考点】四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
【参考答案】D
(2)设a,b,c是非零向量,已知命题p:
若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨qB.p∧q
C.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)
【试题考点】“p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
【参考答案】A
解析 由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题.
反思与感悟
(1)互为逆否命题的两命题真假性相同.
(2)“p与綈p”一真一假,“p∨q”一真即真,“p∧q”一假就假.
跟踪训练1
(1)命题“若x2>1,则x<-1或x>1”的逆否命题是( )
A.若x2>1,则-1≤x≤1
B.若-1≤x≤1,则x2≤1
C.若-1
D.若x<-1或x>1,则x2>1
【试题考点】四种命题
题点 四种命题概念的理解
【参考答案】B
(2)设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为
;命题q:
函数y=cosx的图象关于直线x=
对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真B.q为真
C.p∧q为假D.p∨q为真
【试题考点】“p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
【参考答案】C
解析 由题意知p是假命题,q是假命题,因此只有C正确.
类型二 充要条件
例2
(1)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【试题考点】充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
(2)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【试题考点】充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
【参考答案】
(1)A
(2)A
解析
(1)当b<0,且x=-
>0时,f(x)取得最小值-
则f(x)的值域为
则当f(x)=-
时,f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,故是充分条件;当b=0时,f(x)=x2,f(f(x))=x4的最小值都是0,故不是必要条件.故选A.
(2)当两个平面内的直线相交时,这两个平面有公共点,
即两个平面相交;但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点.
反思与感悟 分清条件与结论,准确判断p⇒q,还是q⇒p.
跟踪训练2 已知p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【试题考点】必要条件的概念及判断
题点 由必要条件求参数的取值范围
解 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),
得1-m≤x≤1+m.
由
≤2,得-2≤x≤10.
由綈p是綈q的必要不充分条件知,
p是q的充分不必要条件,∴
且不等式组中的等号不能同时成立,得m≥9.
类型三 逻辑联结词与量词的综合应用
例3 已知p:
∃x0∈R,mx
+2≤0.q:
∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2]D.[-1,1]
【试题考点】“p∨q”形式的命题
题点 由“p∨q”形式命题的真假求参数的范围
【参考答案】A
解析 因为p∨q为假命题,所以p和q都是假命题.
由p:
∃x0∈R,mx
+2≤0为假,得∀x∈R,mx2+2>0,所以m≥0.①
由q:
∀x∈R,x2-2mx+1>0为假,得∃x0∈R,x
-2mx0+1≤0,
所以Δ=(-2m)2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系,如:
p真与綈p假等价,p假与綈p真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径.
跟踪训练3 已知命题p:
∃x0∈R,x
+1<2x0,命题q:
若mx2-mx-1<0恒成立,则-4 A.“綈p”是假命题 B.“綈q”是真命题 C.“p∧q”为真命题 D.“p∨q”为真命题 【试题考点】存在量词的否定 题点 含一个量词的命题真假判断 【参考答案】D 解析 对于命题p: x +1-2x0=(x0-1)2≥0, 即对任意的x∈R,都有x2+1≥2x, 因此命题p是假命题. 对于命题q,若mx2-mx-1<0恒成立, 则当m=0时,-1<0恒成立; 当m≠0时,由mx2-mx-1<0恒成立, 得 即-4 故命题q是真命题. 因此,“綈p”是真命题,“綈q”是假命题, “p∧q”是假命题,“p∨q”是真命题,故选D. 1.下列说法正确的是( ) A.命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2>1,则x≤1” B.命题“∃x0∈R,x >1”的否定是“∀x∈R,x2>1” C.命题“若x=y,则cosx=cosy”的逆否命题为假命题 D.命题“若x=y,则cosx=cosy”的逆命题为假命题 【试题考点】四种命题的概念 题点 四种命题定义的应用 【参考答案】D 解析 A中,命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2≤1,则x≤1”,∴A错误. B中,命题“∃x0∈R,x >1”的否定是“∀x∈R,x2≤1”,∴B错误. C中,“若x=y,则cosx=cosy”为真命题,则其逆否命题也为真命题,∴C错误. D中,命题“若x=y,则cosx=cosy”的逆命题“若cosx=cosy,则x=y”为假命题,∴D正确. 2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 【试题考点】四种命题的概念 题点 按要求写命题 【参考答案】B 解析 依题意,得原命题的逆命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数. 3.分别指出下列各组命题的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题的真假. (1)p: 2>2,q: 2=2; (2)p: ∅是{0}的真子集,q: 0∈∅; (3)p: 函数y=x2+2x+5的图象与x轴有公共点,q: 方程x2+2x+5=0没有实数根. 【试题考点】“或”“且”“非”的综合问题 题点 判断复合命题的真假 解 (1)∵p: 2>2,是假命题,q: 2=2,是真命题, ∴命题p∨q是真命题,p∧q是假命题,綈p是真命题. (2)∵p: ∅是{0}的真子集,是真命题,q: 0∈∅,是假命题, ∴命题p∨q是真命题,p∧q是假命题,綈p是假命题. (3)∵p: 函数y=x2+2x+5的图象与x轴有公共点,是假命题, q: 方程x2+2x+5=0没有实数根,是真命题, ∴命题p∨q是真命题,p∧q是假命题,綈p是真命题. 4.对任意x∈[-1,2],x2-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是________. 【试题考点】全称命题的真假性判断 题点 恒成立求参数的取值范围 【参考答案】(-∞,0] 解析 由x2-a≥0,得a≤x2,故a≤(x2)min,得a≤0. 5.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的复合命题,并判断它们的真假. (1)p: 平行四边形的对角线相等, q: 平行四边形的对角线互相平分; (2)p: 方程x2-16=0的两个根的符号不同, q: 方程x2-16=0的两个根的绝对值相等. 【试题考点】“或”“且”“非”的综合问题 题点 判断复合命题的真假 解 (1)p或q: 平行四边形的对角线相等或互相平分. p且q: 平行四边形的对角线相等且互相平分. 綈p: 平行四边形的对角线不相等. 因为p假q真,所以“p或q”为真,“p且q”为假,“綈p”为真. (2)p或q: 方程x2-16=0的两个根符号不同或绝对值相等. p且q: 方程x2-16=0的两个根符号不同且绝对值相等. 綈p: 方程x2-16=0的两个根符号相同. 因为p真q真,所以“p或q”为真,“p且q”为真,“綈p”为假. 1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义,应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断. 2.判断命题真假的步骤 ⇒ ⇒ 一、选择题 1.全称命题“∀x∈Z,2x+1是整数”的逆命题是( ) A.若2x+1是整数,则x∈Z B.若2x+1是整数,则x∉Z C.若2x+1不是整数,则x∈Z D.若2x+1不是整数,则x∉Z 【试题考点】四种命题的概念 题点 按要求写命题 【参考答案】A 2.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( ) A.有一个α,使tan(90°-α)= B.存在实数x0,使sinx0= C.对一切α,sin(180°-α)=sinα D.sin15°=sin60°cos45°-cos60°sin45° 【试题考点】存在量词与特称命题 题点 特称命题的符号表示 【参考答案】A 3.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A.∀x∈R,|x|>0B.∃x0∈R,|x0|>0 C.∀x∈R,|x|≤0D.∃x0∈R,|x0|≤0 【试题考点】存在量词的否定 题点 含存在量词的命题的否定 【参考答案】C 4.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【试题考点】充分、必要条件的概念及判断 题点 充分不必要条件的判断 【参考答案】A 解析 若x=4,则a=(4,3), ∴|a|= =5, 若|a|=5,则 =5, ∴x=±4, 故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件. 5.命题“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是( ) A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0 B.若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0 C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0 D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0 【试题考点】四种命题的概念 题点 按要求写命题 【参考答案】D 解析 “且”的否定词为“或”,所以“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”. 6.命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( ) A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=x C.∃x0∉R,x ≠x0D.∃x0∈R,x =x0 【试题考点】全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的否定 【参考答案】D 解析 全称命题的否定是特称命题,所以“∀x∈R,x2≠x”的否定为“∃x0∈R,x =x0”. 二、填空题 7.若命题p: 常数列是等差数列,则綈p: _________________. 【试题考点】全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的否定 【参考答案】存在一个常数列,不是等差数列 解析 全称命题的否定是特称命题. 8.把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若p,则q”的形式为________________. 【试题考点】命题的结构形式 题点 改写成标准的若p则q形式 【参考答案】若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称 9.命题p: 若 =b,则a,b,c成等比数列,则命题p的否命题是________命题.(填“真”或“假”) 【试题考点】四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 【参考答案】假 解析 其原命题的否命题是: 若 ≠b,则a,b,c不成等比数列. 若b=- 则b2=ac,此时a,b,c也可以成等比数列,故为假命题. 10.定义f(x)={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”,例如{1.2}=2,{4}=4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________. ①f(2x)=2f(x);②若f(x)=f(y),则x-y<1; ③任意x,y∈R,f(x+y)≤f(x)+f(y);④f(x)+f =f(2x);⑤函数f(x)为奇函数. 【试题考点】命题的真假判断 题点 命题真假的判断 【参考答案】②③ 解析 根据新定义“取上整函数”的意义f(2x)=2f(x)不一定成立,如x取1.5;f(x)+f =f(2x)不一定成立,如x取0;函数f(x)不满足奇函数的关系,如f(1.6)=f (2),f(-1.6)=f(-1).故答案为②③. 三、解答题 11.设p: 2x2-3x+1≤0,q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 【试题考点】充分、必要条件的概念及判断 题点 由充分、必要条件求参数的取值范围 解 由题意得,p: ≤x≤1,q: a≤x≤a+1. ∵綈p是綈q的必要不充分条件, ∴p是q的充分不必要条件, ∴ 或 ∴0≤a≤ . 故实数a的取值范围为 . 12.求证: 函数f(x)=x2+|x+a|+1是偶函数的充要条件是a=0. 【试题考点】充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 证明 先证充分性,若a=0,则函数f(x)=x2+|x+a|+1是偶函数. 因为a=0,所以f(x)=x2+|x|+1(x∈R). 因为f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1, 所以f(x)是偶函数. 再证必要性,若f(x)=x2+|x+a|+1是偶函数,则a=0. 因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x), 即(-x)2+|-x+a|+1=x2+|x+a|+1, 从而|x-a|=|x+a|,即(x-a)2=(x+a)2, 展开并整理,得ax=0.因为x∈R,所以a=0. 13.已知c>0,设p: 函数y=cx在R上单调递减;q: 不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题,求c的取值范围. 【试题考点】复合命题真假性的判断 题点 由复合命题的真假求参数的取值范围 解 函数y=cx在R上单调递减等价于0 不等式x+|x-2c|>1的解集为R 等价于函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1. ∵x+|x-2c|= ∴函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c, ∴2c>1,得c> . 如果p真q假,则 解得0 ; 如果q真p假,则 解得c≥1. ∴c的取值范围为 ∪[1,+∞). 四、探究与拓展 14.已知直线l: y=kx+1与圆O: x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为 ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【试题考点】充分、必要条件的概念及判断 题点 充分不必要条件的判断 【参考答案】A 解析 由直线l: y=kx+1与圆O: x2+y2=1相交于A,B两点,易知k≠0,且圆心O到直线l的距离d= <1,所以|AB|=2 =2 =2 . 若k=1,则|AB|= d= 所以△OAB的面积为 × × = . 反过来,若△OAB的面积为 则S= × ×2 = = 解得k=±1. 故“k=1”是“△OAB的面积为 ”的充分不必要条件. 15.设p: 实数x满足x2-4ax+3a2<0(a>0),q: 实数x满足 ≤0. (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)若綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 【试题考点】充分条件的概念及判断 题点 由充分条件求参数的取值范围 解 (1)若a=1,由x2-4x+3<0,得1<x<3. 由 ≤0,得2<x≤3. ∵p∧q为真,∴p真,q真, ∴x应满足 解得2<x<3, 即实数x的取值范围为(2,3). (2)綈q: 实数x满足x≤2或x>3, 綈p: 实数x满足x2-4ax+3a2≥0, 解x2-4ax+3a2≥0得x≤a或x≥3a. ∵綈p是綈q的充分不必要条件, ∴a≤2且3a>3,解得1<a≤2, ∴实数a的取值范围为(1,2].
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