初一数学竞赛系列讲座16逻辑原理.docx
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初一数学竞赛系列讲座16逻辑原理
初一数学竞赛系列讲座(16)
逻辑原理
一、知识要点
逻辑原理问题,并不需要多少特别专门的知识,关键在于审题,要认真仔细地分析题意,弄清楚各个量之间的关系,深刻理解每句话的含义.
二、例题精讲
例1小明、小强、小华三人参加迎春杯赛,他们是来自金城、沙市、水乡的选手,并分别获得一、二、三等奖.现在知道:
(1)小明不是金城的选手;
(2)小强不是沙市的选手;
(3)金城的选手不是一等奖;
(4)沙市的选手得二等奖;
(5)小强不是三等奖.
根据上述情况,小华是的选手,他得的是等奖.(第三届迎春杯决赛试题)
分析:
显然选手所在城市与选手获奖情况有联系,我们就从这里找突破口,搞清了各个城市的选手分别获得哪等奖,问题就解决了.
解:
由(4)知:
金城的选手获一等奖或三等奖,又由(3)得金城的选手获三等奖,从而水乡的选手获一等奖.
由
(2)知:
小强是金城或水乡的选手,又由(5)得小强是水乡的选手,
由
(1)得小明是沙市的选手,从而小华是金城的选手,他获三等奖.
例2教室里的椅子坏了,第二天上学时,老师发现椅子修好了.经了解,椅子是A、B、C三人中的一个人修好的,老师找来这三人.
A说:
“是B做的.”
B说:
“不是我做的.”
C说:
“不是我做的.”
经调查,三人中只有一个说了实话,椅子是谁修的呢?
分析:
因为三人中只有一个说了实话,所以可以假设椅子是某人修好的,看结论是否符合“三人中只有一个说了实话”这一条件.
解:
(1)假设椅子是A修好的,那么A说的是假话,B、C说的都是实话.这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾,所以椅子不是A修好的.
(2)假设椅子是B修好的,那么B说的是假话,A、C说的都是实话.这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾,所以椅子不是A修好的.
(3)假设椅子是C修好的,那么A、C说的是假话,B说的是实话,符合“三人中只有一个说了实话”这一条件,所以椅子是C修好的.
评注:
本题运用先假设,再根据假设推出一个结论;如果结论与已知条件相矛盾,说明假设不成立;如果结论符合已知条件,说明假设正确.这种假设的方法是逻辑推理中经常使用.
例3赵、钱、孙、李四人,一个是教师,一个是售货员,一个是工人,一个是个体户,根据以下条件,判断这四人的职业.
(1)赵、钱是邻居,每天一起骑车上班;
(2)赵年龄比孙大;
(3)赵在教李打太极拳;
(4)教师每天步行上班;
(5)售货员的邻居不是个体户;
(6)个体户和工人互不认识;
(7)个体户比售货员和工人年龄都大.
解:
由(4)和
(1)可知,赵、钱不是教师.由
(2)和(7)知,孙不是个体户.因为假设孙是个体户,则由
(2)和(7)知,赵不是售货员,不是工人;由(4)和
(1)可知,赵也不是教师;这样赵也是个体户,与假设矛盾.于是我们可得出下表:
售货员
工人
教师
个体户
赵
钱
孙
李
假设赵是工人,个体户是钱或李,由(6)可知,赵与钱或李应互不认识,这与
(1)、(3)相矛盾,这样可知赵不是工人.
又假设赵是个体户,由
(1)、(3)、(6)可知,孙是工人,钱是售货员,但又与(5)矛盾,所以赵是售货员.这样又可得出下表:
售货员
工人
教师
个体户
赵
√
钱
孙
李
根据
(1)、(5)继续分析,把上面的表格填满,可得:
钱不是个体户,则钱是工人;则孙不是工人,孙是教师,最后得李是个体户.如下表:
售货员
工人
教师
个体户
赵
√
钱
√
孙
√
李
√
最后得:
赵是售货员,钱是工人,孙是教师,李是个体户.
评注:
分析逻辑推理问题,借助表格,能使已知条件和推出的有用结论一目了然.在填表时通常把正确的结论打“√”,错误的打“”.这样可以确保推理的速度和正确性,而且不易被错误信息干扰.
例4今有棋子100颗,甲、乙两人做取棋子的游戏,甲先取,乙后取,两人轮流各取一次,规定每次取p颗,p为1或20以内的任一质数,不能不取.谁最后取完谁为胜者.问甲、乙两人谁有必胜的策略.
解:
乙有必胜的策略.
由于p为1或20以内的任一质数,所以p或者是2,或者可以表示为4k+1或4k+3(k为0或正整数)形式,乙可以采取如下的策略:
若甲取2颗,则乙也取2颗;
若甲取4k+1颗,则乙取3颗;
若甲取4k+3颗,则乙取1颗;
这样,每次甲、乙两人取走的棋子之和都是4的倍数.由于100是4的倍数,因此余下的棋子数必定还是4的倍数.从而经过若干回合后,剩下的棋子数必定为不超过20的4的倍数.因为p不是4的倍数,所以这时甲不能取走全部的棋子,从而最终乙可以取走全部的棋子.
评注:
本题中,甲虽然先取,但他没有必胜的策略.而乙虽然后取,但他能根据甲的取法,应对有序,后发制人,最终取胜.由此看出,谁能取得最后胜利,一要看他所面临的情形,二要看他采用的策略,两者缺一不可.
例5有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不同),或将其中任一堆(如果其小石子数是偶数)的一半小石子移到另一堆上.开始时,第一堆有小石子1989块,第二堆有小石子989块,第三堆有小石子89块.能否使
(1)某两堆小石子一个不剩?
(2)三堆小石子都一个不剩?
(第十五届全俄数学奥林匹克试题)
分析:
(1)很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同,因而首先三堆各取89块,这样剩下的石子数是:
1900、900、0,接下来将第二堆移450块到第三堆,石子数变为:
1900、450、450,再接下来三堆各取走450块就可以了.
(2)发现最初三堆的石子数的和是:
1989+989+89=3067,它不被3整除.而题目中的两种操作方法不改变这个特征,因而可得出结论.
解:
(1)可以使某两堆小石子一个不剩.只要按如下步骤取即可.
(1989,989,89)(1900,900,0)(1900,450,450)(1450,0,0)
(2)最初三堆石子的总数是1989+989+89=3067,它不能被3整除.
而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被3除所得的余数不变,所以不管进行几次操作,三堆石子的总数被3除所得的余数都不为0,即不可能将三堆石子都取光.
评注:
本题第二步中,抓住了三堆石子的总数被3除所得的余数不变这个特征,从而使问题得到顺利解决.因而解题时应认真分析,抓住关键.
例6人的血型通常为A型、B型、O型、AB型.子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示:
父母的血型子女可能的血型
O、OO
O、AA、O
O、BB、O
O、ABA、B
A、AA、O
A、BA、B、AB、O
A、ABA、B、AB
B、BB、O
B、ABA、B、AB
AB、ABA、B、AB
现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子,他们的血型依次为O、A、B.每个孩子的父母都戴着同样颜色的帽子,颜色也分别为红、黄、蓝三种,依次表示所具有的血型为AB、A、O.问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子?
(第五届华杯赛复赛试题)
分析:
因为父母都戴着同样颜色的帽子,所以父母的血型都相同,这样血型表只需保留一、五、八、十这4行.又由于三种颜色的帽子分别表示AB、A、O三种血型,所以第八行也可划去.这样血型表就比原来简单多了,再讨论这个简表就不难得出血型间的关系,从而再得出题目结论.
解:
因为父母都戴着同样颜色的帽子,所以父母的血型都相同,根据血型表,只有O、O,A、A,B、B,AB、AB符合条件.
又因为父母都戴着红、黄、蓝三种颜色的帽子,而三种颜色依次表示所具有的血型为AB、A、O,所以符合条件的只有O、O,A、A,AB、AB.因而,可以得出下面的简表:
父母的血型子女可能的血型
O、OO
A、AA、O
AB、ABA、B、AB
从上面的简表可以看出父母的血型为O的,孩子血型一定为O,即穿红上衣的孩子,父母戴蓝帽子.
划去简表的第一行及子女血型中的O,又三个孩子中没有AB血型,所以子女血型中的AB也可划去,这样只剩第二行.
由第二行,父母的血型为A的,子女的血型一定为A,即穿黄上衣的孩子,父母戴黄帽子.
最后,穿蓝上衣的孩子,父母戴红帽子.
评注:
1、本题先将问题简化,再从最简单的情况入手,把结果能确定下来的先确定下来,然后再继续讨论,结果不能确定下来的,就分情况讨论,这种方法叫枚举法.枚举法在逻辑推理中常用.
2、上面的解法是从父母的血型出发分析,从而确定孩子的血型,本题也可从孩子的血型出发分析来确定父母的血型.
例7在某市举行的一次乒乓球比赛中,有6名选手参赛,其中专业选手与业余选手各3名.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场.为公平起见,用以下方法计分:
开赛前每位选手各有10分作为底分,每赛一场,胜者加分,负者扣分:
每胜专业选手一场的加2分,每胜业余选手一场的加1分;专业选手每负一场扣2分,业余选手每负一场扣1分.现问:
一位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名?
(第六届华杯赛复赛试题)
分析:
6名选手进行单循环比赛,每名选手共进行5场比赛,显然1名业余选手只胜1场不能进入前三名,5场全胜肯定能进入前三名,因而我们只需讨论1名业余选手胜二场、胜三场和胜四场三种情况,看是否能保证他必定进入前三名.
解:
设业余选手为A、B、C,专业选手为D、E、F.
(一)、如果A只胜两场,有三种情况:
(1)A胜两名专业选手,不妨为D、E.
在B、C、F都胜D、E,而且F胜B、C时,B、C、F的分数都比A高,因此A不能进入前三名.
(2)A胜一名专业选手,一名业余选手,不妨为D、B
在E、F、C都胜D、B,而且E、F都胜C时,E、F、C的分数都比A高,因此A不能进入前三名.
(3)A胜两名业余选手B、C
在D、E、F都胜B、C,而且D胜E,E胜F,F胜D时,D、E、F的分数都比A高,因此A不能进入前三名.
所以如果A只胜两场,那么他不一定能进入前三名.
(二)、如果A恰好胜三场,情况比刚才要复杂.
(1)A胜D、E、F.这时A比底分10分增加23-2=4分,其中又分两种情况:
如果有一名专业选手,比如D,胜其他四人,则D比底分10增加22+21-2=4分,刚好与A的得分相同.从而E、F的得分均低于A,B、C两人即使都胜E、F,他俩比底分10增加22+1-1+1=5分与22+1-1-1=3分,从而A必定进入前三名.
如果每一名专业选手均未全胜其他四人,那么他们的得分都低于A,A必定进入前三名.
(2)A胜两名专业选手,如D、E,及一名业余选手,如B.这时A比底分10分增加22+1-1-1=3分,其中又分多种情况.
如果F恰好胜B、C中的一个,那么在F胜D、E时,F的得分比底分增加4分,名次在A之上.假设同时B、C也都胜D、E,并且B胜F,C胜B,那么B的得分比底分增加4分,C的得分比底分增加5分,因此C、B、F的排名均在A前,即A胜3场并不能保证他进入前三名.
因为前面已得到A胜3场并不能保证他进入前三名,所以A胜3场的其他情况就不需要再讨论.
(三)、如果A胜4场,分两种情况讨论.
(1)A仅负于一名专业选手,比如D,这时A比底分增加5分,而专业选手E、F由于被A击败,每人至多比底分增加4分,名次均在A后面.同时B、C中至少有一人(B、C之间的失败者),负的场数多于A,从而名次在A后面.所以A必定进入前三名.
(2)A仅负于一名业余选手,比如B,按
(1)中所说的理由,D、E、F的名次均在A后面,所以A必定进入前三名.
所以,如果A胜4场,A必定进入前三名.
综上所述,一名业余选手至少要胜4场才能保证他必定进入前三名.
评注:
本题也采用了枚举法,可见枚举法是逻辑推理问题中最常用的一种方法.枚举一定要耐心、仔细.
例8袋内有100只球,其中红球28只、绿球20只、黄球12只、蓝球20只、白球10只、黑球10只.任意从袋内摸球,要使一次摸出的球中,一定有15只同色的球,那么,从袋内摸出的球的只数至少应是多少?
分析:
如果运气好的话,一下子从袋中摸出的15只球中都是红球,或都是绿球,或都是蓝球,问题就解决了.但是,运气不是一直这样好的,所以要一定有15只同色的球,必须从“最坏”处考虑.
解:
从运气“最坏”处考虑.若一开始12只黄球、10只白球、10只黑球全摸上了,此时已摸出32只球,但15只同色的球也没摸到.
接下来,又摸出14只红球、14只绿球、14只蓝球,但还是没摸到15只同色的球,此时已摸出32+143=74只球.
接下来再摸出任意一只,就可摸到15只同色的球,这样从袋内摸出的球的只数至少应是74+1=75只.
评注:
本题应用了数学中的极端原理,也就是从问题“最坏”的情况来分析.
例9在黑板上写上三个整数,然后将其中一个擦去,换上其他两数的和与1的差,将这个过程重复若干次后得到17,1983,1999.问一开始黑板上写出的是哪三个数?
分析:
按照操作规则,三个整数中擦去一个,换上其他两数的和与1的差,若擦去的是三个整数中的较大者,那么这三个整数越来越小,若擦去的是三个整数中的较小者,那么这三个整数越来越大.现在经过若干次操作后,结果是17,1983,1999,显然我们要寻找最初最小的三个整数,因而,要擦去的是三个整数中的较大者.
因为题目告诉我们的是最后的结果,所以我们要往前推,寻找擦数的规律.
解:
按照题意,要擦去的是三个整数中的较大者.
因为现在的结果是17,1983,1999,由于1999=1983+17-1,所以前三数中最大的是1983,即为(17,x,1983).根据规则,有1983=x+17-1,∴x=1967
所以又知再前面的三数中最大的是1967,即(17,y,1967),
又根据规则,有1967=y+17-1∴y=1951.
这样,最大的数渐渐变小,直到出现比17还小.接下来,寻找擦数的规律.
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