广东省揭阳市届高三数学第一次模拟考试试题 理.docx
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广东省揭阳市届高三数学第一次模拟考试试题理
广东省揭阳市2020届高三数学第一次模拟考试试题理
本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则
A.B.C.D.
2.已知向量,若,则的值为
A.B.C.D.
3.已知是复数z的共轭复数,是纯虚数,则
A.2B.C.1D.
4.若,则的值为
A.B.C.D.
5.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,
提出了完成某项生产任务的两种新的生产方
式.为比较两种生产方式的效率,选取40名
工人,将他们随机分成两组,每组20人,
第一组工人用第一种生产方式,第二组工人
用第二种生产方式.根据工人完成生产任务
的工作时间(单位:
min)绘制了如右茎叶图:
则下列结论中表述不正确的是
A.第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟
B.第二种生产方式比第一种生产方式效率更高
C.这40名工人完成任务所需时间的中位数为80
D.无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.
6.函数在单调递减,且为偶函数.若,则满足的的取值范围是
A.B.C.D.
7.如图,网格纸上虚线小正方形的边长为1,实线画出的是某几何体
的三视图,则该几何体的体积为
A.B.52C.D.56
8.某班星期一上午安排5节课,若数学2节,语文、物理、化学各1节,
且物理、化学不相邻,2节数学相邻,则星期一上午不同课程安排种数为
A.6B.12C.24D.48
9.过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形,则该双曲线的离心率为
A.B.C.D.2
10.右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,
图中△ABC为直角三角形,四边形DEFC为它的内接正方形,记正方
形为区域Ⅰ,图中阴影部分为区域Ⅱ,在△ABC上任取一点,此点取
自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为、,则
A.B.C.D.
11.已知△ABC中,AB=AC=3,,延长AB到D使得BD=AB,连结CD,则CD的长为
A.B.C.D.
12.已知函数,,若,使得,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.命题“对”的否定是_______;
14.在曲线,的所有切线中,斜率为1的切线方程为.
15.已知圆锥的顶点为,底面圆周上的两点、满足为等边三角形,且面积为,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的表面积为.
16.已知点P在直线上,点Q在直线上,M为PQ的中点,且,则的取值范围是.
三、解答题:
共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答.
(一)必考题:
共60分
17.(12分)
已知数列的前项和为,且,(其中为常数),又.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.(12分)
如图,在四边形ABED中,AB//DE,ABBE,点C在AB上,
且ABCD,AC=BC=CD=2,现将△ACD沿CD折起,使点A
到达点P的位置,且PE与平面PBC所成的角为45°.
(1)求证:
平面PBC平面DEBC;
(2)求二面角D-PE-B的余弦值.
19.(12分)
某地种植常规稻A和杂交稻B,常规稻A的亩产稳定为500公斤,今年单价为3.50元/公斤,估计明年单价不变的可能性为10%,变为3.60元/公斤的可能性为60%,变为3.70元/公斤的可能性为30%.统计杂交稻B的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如下;统计近10年来杂交稻B的单价(单位:
元/公斤)与种植亩数(单位:
万亩)的关系,得到的10组数据记为,并得到散点图如下,参考数据见下.
(1)估计明年常规稻A的单价平均值;
(2)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻B的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二年,杂交稻B的亩产超过765公斤的概率;
(3)判断杂交稻B的单价y(单位:
元/公斤)与种植亩数x(单位:
万亩)是否线性相关?
若相关,试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程;调查得知明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻A和杂交稻B中选择,明年种植哪种水稻收入更高?
统计参考数据:
,,,,
附:
线性回归方程,.
20.(12分)
已知点在椭圆:
上,椭圆的焦距为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率为定值k的直线与椭圆交于A、B两点,且满足的值为常数,(其中O为坐标原点)
(i)求k的值以及这个常数;
(ii)写出一般性结论(不用证明):
斜率为定值k的直线与椭圆交于A、B两点,且满足的值为常数,则k的值以及这个常数是多少?
21.(12分)
设函数,
(1)讨论的单调性;
(2)若函数有两个零点、,求证:
.
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为(,a为常数),过点、倾斜角为的直线l的参数方程满足,(为参数).
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间),且,求a和的值.
23.[选修45:
不等式选讲](10分)
已知函数,
(1)求函数的值域;
(2)若时,,求实数a的取值范围.
揭阳市2020高考一模数学
(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.
一、选择题
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
D
D
A
D
B
B
C
C
B
解析:
6.法一:
因函数在单调递减,且为偶函数,则函数在单调递增,由,则.故选D.
法二:
由得或,即或,综合得.
7.由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体,其体积为.
8.第一步:
将两节数学捆在一起与语文先进行排列有种排法,第二步:
将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有种方法,根据乘法原理得不同课程安排种数为.
9.将代入双曲线的方程得,则
,解得.
10.法一:
设△ABC两直角边的长分别为,其内接正方形的边长为,由得,则,(当且仅当时取等号).
法二(特殊法):
设,则,故,从而排除A、D,当△ABC为等腰直角三角形时,排除B,故选C.
11.由结合正弦定理得,在等腰三角形ABC中
,从而,由余弦定理得:
,故.
12.设F、G分别为函数与定义在区间上[0,1]上的值域,则,当a>0时,,单调递增,当a<0时,单调递减,
使得
,
因为在上递增,在上递减,所以,
所以解得式,式.
二、填空题
题序
13
14
15
16
答案
(或)
解析:
14.设切点为,则由且,得,,故所求的切线方程为(或).
15.设圆锥母线长为,由为等边三角形,且面积为得,又设圆锥底面半径为,高为,则由轴截面的面积为8得,又,解得,(或设轴截面顶角为S,则由得,可得圆锥底面直径,)故.
16.因直线与平行,故点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线,其方程为,即点M满足,而满足不等式的点在直线的上方,易得直线与的交点为,故问题转化为求射线(不含端点)()上的点M与坐标原点连线斜率、即的取值范围,故.
三、解答题
17.解:
(1)由得,,
解得,-------------------------------------------------------------------------------2分
即,-------------①当时,-------------②
①-②得,即,--------------------------------------------4分
∵不满足上式,
∴----------------------------------------------------------------------------------6分
(2)依题意得-------------------------------------------------------7分
当时,,
当时,
两式相减得:
---------------------------------9分
.-------------------------------------------------------------------------------11分
显然当时,符合上式
∴-------------------------------------------------------------------------------12分
18.解:
(1)证明:
∵ABCD,ABBE,∴CD//EB,---------------------------------------------1分
∵AC⊥CD,∴PC⊥CD,∴EB⊥PC,--------------------------------------------------------3分
且PC∩BC=C,
∴EB⊥平面PBC,----------------------------------------------------------------------------------4分
又∵EB平面DEBC,∴平面PBC平面DEBC;---------------------------------------5分
(2)由
(1)知EB⊥平面PBC,∴EB⊥PB,
由PE与平面PBC所成的角为45°得∠EPB=45°,--------------------------------6分
∴△PBE为等腰直角三角形,∴PB=EB,
∵AB//DE,结合CD//EB得BE=CD=2,
∴PB=2,故△PBC为等边三角形,--------------------7分
取BC的中点O,连结PO,
∵PO⊥BC,∴PO⊥平面EBCD,----------------
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