广东省肇庆市高三上学期期末考试数学理试题.docx
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广东省肇庆市高三上学期期末考试数学理试题
广东省肇庆市20XX届高三上学期期末考试数学理试题
2012-2013学年广东省肇庆市高三(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2012?
肇庆二模)设z1?
i(i是虚数单位),则()
A.2?
2iB.2+2iC.3?
iD.3+i
考点:
复数代数形式的乘除运算.
专题:
计算题.
分析:
将分子与分母同乘以分母的共轭复数,将分母实数化再与进行运算即可.
解答:
解:
∵z1?
i,
∴+++(1+i)(1+i)+(1+i)2(1+i).
故选B.
点评:
本题考查复数代数形式的乘除运算,着重考查复数的混合运算,属于基础题.
2.(5分)(2013?
潮州二模)已知集合A1,2,m,B3,4,A∪B1,2,3,4则m()
A.0B.3C.4D.3或4
考点:
并集及其运算.
专题:
计算题.
分析:
由两集合的并集为1,2,3,4,可得出m3或m4,即可求出m的值.
解答:
解:
∵A1,2,m,B3,4,A∪B1,2,3,4,
∴m3或m4,
故选D.
点评:
此题考查了并集及其运算,以及集合间的包含关系,是一道基本题型.
3.(5分)已知向量(1,?
cosθ),(1,2cosθ),且⊥,则cos2θ等于()
A.?
1B.0C.D.
考点:
数量积判断两个平面向量的垂直关系;二倍角的余弦.
专题:
计算题;三角函数的求值;平面向量及应用.
分析:
利用向量数量积的性质可知,0,结合向量数量积的坐标表示及二倍角的余弦公式即可求解
解答:
解:
由向量数量积的性质可知,1?
2cos2θ0
即?
cos2θ0
∴cos2θ0
故选B
点评:
本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示及二倍角余弦公式的简单应用,属于基础试题
4.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则z2x+3y的取值范围是()
A.[?
8,4]B.[?
8,2]C.[?
4,2]D.[?
4,?
8]
考点:
简单线性规划.
专题:
计算题;不等式的解法及应用.
分析:
作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z2x+3y对应的直线进行平移,可得z2x+y的最大值为4、最小值为?
8,由此即可得到z2x+3y的取值范围.
解答:
解:
作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(?
1,?
2),B(1,0),C(?
1,2)
设zF(x,y)2x+3y,将直线l:
z2x+y进行平移,可得
当l经过点C时,目标函数z达到最大值,z最大值F(?
1,2)4
当l经过点A时,目标函数z达到最小值,z最小值F(?
1,?
2)?
8
因此,z2x+3y的取值范围是[?
8,4]
故选:
A
点评:
本题给出二元一次不等式组,求目标函数z2x+3y的取值范围,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.
5.(5分)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是27,则判断框①处应填入的条件是()
A.n>5B.n>4C.n>3D.n>2
考点:
程序框图.
专题:
计算题.
分析:
分别计算n1,2,3时的s的值,进而即可得出判定框①中的条件.
解答:
解:
由s0,n1得出s←(0+1)×1;
由s1,n2得出s←(1+2)×2;
由s6,n3得出s←(6+3)×3.
此时s27,为输出结果,应终止循环,而n←4,因此判定框①中应为n>3.
故选C.
点评:
正确理解循环结构和判断框的功能是解题的关键.
6.(5分)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:
cm),则这个几何体的体积是()
A.8cm3B.12cm3C.24cm3D.72cm3
考点:
由三视图求面积、体积.
专题:
计算题.
分析:
通过三视图复原的几何体,以及三视图的数据,直接求解几何体的体积.
解答:
解:
因为三视图复原的几何体是三棱锥,三棱锥的底面三角形是底为6,高为4的等腰三角形,
三棱锥的高为3,
所以三棱锥的体积为:
12(cm3).
故选B.
点评:
本题考查三视图与几何体的关系的判断几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
7.(5分)(?
)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数共有()
A.6B.4C.2D.0
考点:
二项式系数的性质.
专题:
计算题.
分析:
由(?
)10的展开式的通项为Tr+1,结合条件可知,5?
且r∈N,可求r
解答:
解:
∵(?
)10的展开式的通项为Tr+1
由题意可得,5?
且r∈N
∴r0或r2符合题意,共有2项
故选C
点评:
本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项,解题的关键是寻求满足条件的r的取值
8.(5分)定义空间两个向量的一种运算?
||?
||sin<,>,则关于空间向量上述运算的以下结论中,
①?
?
②λ(?
)(λ)?
③(?
)?
(?
)(?
),
④若(x1,y1),(x2,y2),则?
|x1y2?
x2y1|;
恒成立的个数有()
A.0个B.2个C.3个D.4个
考点:
平面向量数量积的运算;命题的真假判断与应用.
专题:
新定义.
分析:
①和②需要根据定义列出左边和右边的式子,再验证两边是否恒成立;③由定义知这类:
“”运算的结果是实数,从而得到结论不成立;④根据数量积求出,再由平方关系求出的值,代入定义进行化简验证即可.
解答:
解:
①、∵,
∴,故不会恒成立;
②、∵,且,
∴不会恒成立;
③、由定义知、、结果是实数,而是向量,故()?
≠()();
④、∵,∴,
∴
≠|x1y2?
x2y1|.不成立
综上,恒成立的命题个数为零
故选A.
点评:
本题考查了向量的数量积和向量的模的公式,利用给出的定义进行证明结论,计算量很大.
二、填空题:
本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)
9.(5分)不等式3<|5?
2x|≤9的解集是[?
2,1)∪(4,7]..
考点:
绝对值不等式的解法.
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
原不等式等价于,即,由此求得它的解集.
解答:
解:
不等式3<|5?
2x|≤9等价于,即,
解得?
2≤x<1,或4 故不等式的解集为[? 2,1)∪(4,7], 故答案为[? 2,1)∪(4,7]. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组来解,属于中档题. 10.(5分)等比数列an中,a1+a220,a3+a440,则a5+a6等于80. 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等比数列an的公比为q,由a3+a4(a1+a2)? q2,可得q22,而a5+a6(a3+a4)? q2,代入可得. 解答: 解: 设等比数列an的公比为q, 则a3+a4(a1+a2)? q2,即4020q2,解得q22, 故a5+a6(a3+a4)? q240×280 故答案为: 80 点评: 本题考查等比数列的通项公式和公比的定义,属基础题. 11.(5分)函数f(x)x3? 2x2+3x? 2在区间[0,2]上最大值为? . 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求导数f′(x),由f′(x)0得极值点,求出极值,可判断其即为最值. 解答: 解: f′(x)x2? 4x+3(x? 1)(x? 3), 令f′(x)0,得x1或x3(舍), 当0≤x<1时,f′(x)>0,当1 所以x1为函数f(x)的极大值点,且是区间[0,2]上最大值点, 所以f(x)在区间[0,2]上最大值为f (1)? 故答案为: ? . 点评: 本题考查函数在闭区间上最值问题,属中档题,若函数在一区间上有唯一的极值,则同时也为最值. 12.(5分)圆心在直线x? 2y+70上的圆C与x轴交于两点A(? 2,0)、B(? 4,0),则圆C的方程为(x+3)2+(y? 2)25. 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 先由条件求得圆心的坐标为C(? 3,2),半径r|AC|,从而得到圆C的方程. 解答: 解析: 直线AB的中垂线方程为x? 3,代入直线x? 2y+70,得y2, 故圆心的坐标为C(? 3,2),再由两点间的距离公式求得半径r|AC|, ∴圆C的方程为(x+3)2+(y? 2)25, 故答案为(x+3)2+(y? 2)25. 点评: 本题主要考查于娜的标准方程,直线和圆的位置关系的应用,属于中档题. 13.(5分)某班有学生40人,将其数学期中考试成绩平均分为两组,第一组的平均分为80分,标准差为4,第二组的平均分为90分,标准差为6,则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分85,方差51. 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 做出全班的总分除以全班的总人数,得到全班的平均分,做出全班的分数与平均分的差的平方和,除以全班总人数,得到方差. 解答: 解: ∵某班40人随机平均分成两组, 两个组的平均分分别是80,90. ∴全班的平均分是85, 全班的方差是[(x1? 85)2+(x2? 85)2+…+(x40? 85)2][(x1? 80? 5)2+(x2? 80? 5)2+…+(x40? 80+5)2][(x1? 80)2+(x2? 80)2+…+(x40? 80)2]+[? 10(x1? 80)? 10(x2? 80)+…+10(x40? 80)]+×40×258+18+2551. 故答案为: 85;51. 点评: 本题考查平均数与方差,是一个基础题,本题解题的关键是正确利用加权平均数的公式,不要出错. 14.(5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<)中,曲线ρ2sinθ与ρ2cosθ的交点的极坐标为(,). 考点: 极坐标刻画点的位置. 专题: 计算题. 分析: 将两式ρ2sinθ与ρ2cosθ相除,可得tanθ1,通过θ的范围,即可求出θ的值,再代入任意一个方程即可求出ρ的值. 解答: 解: 两式ρ2sinθ与ρ2cosθ相除得tanθ1, ∵0≤θ<, ∴θ, ∴, 故交点的极坐标为(,). 故答案为: (,). 点评: 本题考查极坐标系中的曲线与曲线的交点的极坐标,可直接代入计算出,属于基础题. 15.(几何证明选讲选做题)如图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,BD4,则CD4. 考点: 圆周角定理;与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 利用四点共圆的性质和同圆弧所对的圆周角相等的性质、角平分线的性质即可得出. 解答: 解: ∵A、B、C、D共圆,∴∠DAE∠BCD. 又∵,∴∠DAC∠DBC. 而∠DAE∠DAC,∴∠DBC∠DCB.∴CDBD4. 故答案为4. 点评: 熟练掌握四点共圆的性质和同圆弧所对的圆周角相等的性质、角平分线的性质是解题的关键. 三、解答题: 本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(12分)已知向量(Asin,Acos),(cos,sin)函数f(x)? (A>0,x∈R),且f(2π)2. (1)求函数yf(x)的表达式; (2)设α,β∈[0,],f(3α+π),f(3β+)? 求cos(α+β)的值. 考点: 平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)利用向量的数量积和两角和的正弦公式即可得出; (2)利用诱导公式、平方关系、两角和的余弦公式即可得出. 解答: 解: (1)依题意得f(x)A, ∵f(2π)2,∴,∴,解得A4. ∴f(x). (2)由,得,即, ∴ 又∵,∴sinα, 由,得,即. ∴, 又∵,∴, ∴cos(α+β)cosαcosβ? sinαsinβ. 点评: 熟练掌握向量的数量积运算和两角和的正弦公式、诱导公式、平方关系、两角和的余弦公式是解题的关键. 17.(13分)如图,在四棱锥P? ABCD中,底面为直角梯形,AD‖BC,∠BAD90°,PA垂直于底面ABCD,PAADAB2BC2,M,N分别为PC,PB的中点. (1)求证: PB⊥DM; (2)求平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值; (3)求点B到平面PAC的距离. 考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、共面定理、线面垂直的判定和性质定理即可证明; (2)利用 (1)的结论和二面角的定义即可得出; (3)利用“等积变形”VP? ABCVB? PAC,即可得出. 解答: (1)证明: ∵N是PB的中点,PAAB, ∴AN⊥PB. 由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AD, ∵∠BAD90°,即BA⊥AD, 又BA∩APA,∴AD⊥平面PAB, ∴AD⊥PB, ∵M、N为中点,∴MN‖BC, 又BC‖AD,∴MN‖AD, 即A、D、M、N共面又AD∩ANA,且AD,AN在平面ADMN内, ∴PB⊥平面ADMN,故PB⊥DM. (2)由 (1)知,AD⊥平面PAB,∴AN⊥AD,又AB⊥AD, ∴∠BAN是平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的平面角. 在直角三角形PAB中,PB. ∵N直角三角形PAB斜边PB的中点,∴AN. 在直角三角形NAB中,. 即平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值为. (3)由已知得, .设点B到平面PAC的距离为h, 则. 由VP? ABCVB? PAC,即,得, 即点B到平面PAC的距. 点评: 熟练掌握等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、共面定理、线面垂直的判定和性质定理、二面角的定义、“等积变形”是解题的关键. 18.(13分)20XX年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段: [60,65)[65,70)[70,75)[75,80),[80,85)[85,90),得到如图的频率分布直方图.问: (1)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (3)若从车速在(60,70)的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中速车在(65,70)的车辆数ξ的分布列及其均值(即数学期望). 考点: 离散型随机变量及其分布列;频率分布直方图;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,是一个具有相同间隔的抽样,并且总体的个数比较多,这是一个系统抽样; (2)选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数;求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数;利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数. (3)从车速在(60,70)的车辆中任抽取2辆,根据题意抽出的2辆车中速车在(65,70)的车辆数ξ可能为0、1、2,求出相应的概率,即可求得分布列和期望. 解答: 解: (1)由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,是一个具有相同间隔的抽样,并且总体的个数比较多,这是一个系统抽样. 故调查公司在采样中,用到的是系统抽样,(2分) (2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于77.5(4分) 设图中虚线所对应的车速为x,则中位数的估计值为: 0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x? 75)0.5, 解得x77.5,即中位数的估计值为77.5(6分) (3)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数为: m10.01×5×402(辆),(7分) 车速在[65,70)的车辆数为: m20.02×5×404(辆)(8分) ∴ξ0,1,2, P(ξ0),P(ξ1),P(ξ2), ξ的分布列为: ξ012 P (11分) 数学期望Eξ0×+1×+2×.(12分) 点评: 解决频率分布直方图的有关特征数问题,利用众数是最高矩形的底边中点;中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值;平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和.此题把统计和概率结合在一起,比较新颖,也是高考的方向,应引起重视. 19.(14分)某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下,可卖出b千克.若做广告宣传,广告费为n千元时比广告费为(n? 1)千元时多卖出千克,(n∈N*).记广告费为n千元时,卖出产品数量为Sn千克. (1)求S1,S2; (2)求Sn; (3)当a50,b200时厂家应生产多少千克这种产品,做几千元广告,才能获利最大? 考点: 数列的求和;等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;应用题;等差数列与等比数列. 分析: (1)当广告费为1千元时,销售量, (2)设s0表示广告费为0千元时的销售量,即s0b,,…sn? sn? 1,叠加可求 (3)设获利为Tn,则有Tnasn? 1000n50×10000(2? )? 1000n,欲使Tn最大,则,代入解不等式可求n 解答: 解: (1)当广告费为1千元时,销售量(2分) 当广告费为2千元时,销售量(4分) (2)设s0表示广告费为0千元时的销售量,即s0b 由题意得 … sn? sn? 1,(6分) 以上n个等式相加得(7分) 即有(9分) (3)当a50,b200时,设获利为Tn,则有Tnasn? 1000n50×10000(2? )? 1000n(11分) 欲使Tn最大,则, 则 解可得,故n3.(13分) 当n3时,s3375,即厂家应生产350千克产品,做3千元的广告,能获利最大.(14分) 点评: 本题主要考查了数列的叠加求解通项公式,利用数列的单调性求解数列的最大(小)项,解题中要注意函数思想在解题中的应用. 20.(14分)(2013? 河东区二模)已知两圆C1: x2+y2? 2x0,C2: (x+1)2+y24的圆心分别为C1,C2,P为一个动点,且|PC1|+|PC2|2. (1)求动点P的轨迹M的方程; (2)是否存在过点A(2,0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D,使得|C1C||C1D|? 若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 存在型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)写出两圆的圆心坐标,根据∵|PC1|+|PC2|2>2|C1C2|可知动点P的轨迹是以C1和C2为焦点、长轴长为2a的椭圆,从而易求椭圆方程即所求轨迹方程; (2)当斜率不存在时容易判断,当存在斜率时,设直线l的方程为yk(x? 2),联立直线l方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程,则有△>0,设交点C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点为N(x0,y0),求出二次方程的两解,从而可得线段CD中点N的横坐标,代入直线方程可得纵坐标,要使|C1C||C1D|,必须有C1N⊥l,即k? 1,解出方程的解k,再检验是否满足△>0即可; 解答: 解: (1)两圆的圆心坐标分别为C1(1,0),C2(? 1,0), ∵|PC1|+|PC2|2>2|C1C2|, ∴根据椭圆的定义可知,动点P的轨迹为以原点为中心,C1(1,0)和C2(? 1,0)为焦点,长轴长为2a的椭圆, 所以a,c1,b1, ∴椭圆的方程为,即动点P的轨迹M的方程为; (2)假设存在这样的直线l满足条件, 当直线l的斜率不存在时,易知点A(2,0)在椭圆M的外部,直线l与椭圆M无交点,所以直线l不存在. 当直线l斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为yk(x? 2), 由方程组得(2k2+1)x2? 8k2x+8k2? 20①, 依题意△(? 8k2)2? 4(2k2+1)(8k2? 2)>0,即? 2k2+1>0,解得? 当? 方程①的解为,,则, ∴y0k(x0? 2)k(? 2), 要使|C1C||C1D|,必须有C1N⊥l,即k? 1, ∴k? 1,化简得0? 1,显然不成立; 所以不存在直线l,使得|C1C||C1D|, 综上所述,不存在直线l,使得|C1C||C1D|; 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆的方程,考查存在性问题,存在性问题往往先假设存在,然后以此为条件进行推理论证,检验是否矛盾. 21.(14分)已知函数f(x)(ax2+x)ex,其中e是自然数的底数,a∈R. (1)当a<0时,解不等式f(x)>0; (2)当a0时,求正整数k的值,使方程f(x)x+2在[k,k+1]上有解; (3)若f(x)在[? 1,1]上是单调增函数,求a的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)根据指数函数值大于0恒成立,将不等式f(x)>0化为ax2+x>0,结合a<0,可得不等式f(x)>0的解集; (2)当a0时,方程即为xexx+2,即,令h(x),利用导数法可判断出h(x)的单调性,结合零点判定定理,可得正整数k的值 (3)求出函数f(x)的导函数的解析式,进而由f(x)在[? 1,1]上是单调增函数,f′(x)≥0恒成立,对a进行分类讨论后,可得a的取值范围. 解答: 解: (1)因为ex>0,所以不等式f(x)>0即为ax2+x>0, 又因为a<0,所以不等式可化为x(x+)<0, 所以不等式f(x)>0的解集为(0,? ). (2)当a0时,方程即为xexx+2,由于ex>0,所以x0不是方程的解 所以原方程等价于,令h(x), 因为h′(x)>0对于x∈(0,+∞)恒成立, 所以h(x)在(0,+∞)内是单调增函数, 又h (1)e? 3,h (2)e2? 2>0, 所以方程f(x)x+2有且只有1个实数根,在区间[1,2], 所以正整数k的值为1. (3)f′(x)(2ax+1)ex+(ax2+x)ex[ax2+(2a+1)x+1]ex, ①当a0时,f′(x)(x+1)ex,f′(x)≥0在[? 1,1]上恒成立,当且仅当x? 1时取等号,故a0符合要求; ②当a≠0时,令g(x)ax2+(2a+1)x+1,因为△(2a+1)2? 4a4a2+1>0, 所以g(x)0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2, 因此f(x)有极大值又有极小值. 若a>0,因为g(? 1)? g(0)? a<0,所以f(x)在(? 1,1)内有极值点, 故f(x)在[? 1,1]上不单调. 若a<0,可知x1>0>x2, 因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[? 1,1]上单调,因为g(0)1>0, 必须满足即,所以. 综上可知,a的取值范围是[]. 点评: 本题考查的知识是利用导数求闭区间上函数的最值,函数的单调性与导数的关系,熟练掌握导数法在求函数单调性,最值,极值的方法是
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