全等三角形的性质和判定_精品文档.doc
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全等三角形的性质和判定
要点一、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
要点二、对应顶点,对应边,对应角
1.对应顶点,对应边,对应角定义
两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角.
要点诠释:
在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图,△ABC与△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,其中点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点;AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.
要点三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等;
全等三角形的对应角相等.
要点四、全等三角形的判定
(SSS、SAS、ASA、AAS、HL)
全等三角形判定一(SSS,SAS)
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.(可以简写成“边边边”或“SSS”).
要点诠释:
如图,如果=AB,=AC,=BC,则△ABC≌△.
要点二、全等三角形判定2——“边角边”
1.全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
要点诠释:
如图,如果AB=,∠A=∠,AC=,则△ABC≌△.注意:
这里的角,指的是两组对应边的夹角.
2.有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
如图,△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
1、已知:
如图,△RPQ中,RP=RQ,M为PQ的中点.
求证:
RM平分∠PRQ.
证明:
∵M为PQ的中点(已知),
∴PM=QM
在△RPM和△RQM中,
∴△RPM≌△RQM(SSS).
∴∠PRM=∠QRM(全等三角形对应角相等).
即RM平分∠PRQ.
举一反三:
【变式】已知:
如图,AD=BC,AC=BD.试证明:
∠CAD=∠DBC.
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、已知:
如图,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2.
求证:
BC=DE.
证明:
∵∠1=∠2
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴BC=DE(全等三角形对应边相等)
3、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线,AB=CB,EB=DB,∠ABC=∠EBD=90°),连接AE、CD,试确定AE与CD的位置与数量关系,并证明你的结论.
证明:
延长AE交CD于F,
∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形
∴AB=BC,BD=BE
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD(SAS)
∴AE=CD,∠1=∠2
又∵∠1+∠3=90°,∠3=∠4(对顶角相等)
∴∠2+∠4=90°,即∠AFC=90°
∴AE⊥CD
举一反三:
【变式】已知:
如图,PCAC,PBAB,AP平分∠BAC,且AB=AC,点Q在PA上,
求证:
QC=QB
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、“三月三,放风筝”.下图是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,不用度量,就知道∠DEH=∠DFH.请你用所学的知识证明.
【答案与解析】
证明:
在△DEH和△DFH中,
∴△DEH≌△DFH(SSS)
∴∠DEH=∠DFH.
一、选择题
1.△ABC和△中,若AB=,BC=,AC=.则()
A.△ABC≌△B.△ABC≌△
C.△ABC≌△D.△ABC≌△
2.如图,已知AB=CD,AD=BC,则下列结论中错误的是()
A.AB∥DCB.∠B=∠DC.∠A=∠CD.AB=BC
3.下列判断正确的是()
A.两个等边三角形全等
B.三个对应角相等的两个三角形全等
C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D.直角三角形与锐角三角形不全等
6.如图,已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,AB=CD,BC=ED,以下结论不正确的是()
A.EC⊥ACB.EC=ACC.ED+AB=DBD.DC=CB
二、填空题
9.如图,在△ABC和△EFD中,AD=FC,AB=FE,当添加条件_______时,就可得△ABC≌△EFD(SSS)
10.如图,AC=AD,CB=DB,∠2=30°,∠3=26°,则∠CBE=_______.
12.已知,如图,AB=CD,AC=BD,则△ABC≌,△ADC≌.
三、解答题
13.已知:
如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,∠ADC=∠BCD,AD=BC,
求证:
CO=DO.
14.已知:
如图,AB∥CD,AB=CD.求证:
AD∥BC.
分析:
要证AD∥BC,只要证∠______=∠______,
又需证______≌______.
证明:
∵AB∥CD(),
∴∠______=∠______(),
在△______和△______中,
∴Δ______≌Δ______().
∴∠______=∠______().
∴______∥______().
15.如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE求证:
AE=DE.
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
要点诠释:
如图,如果∠A=∠,AB=,∠B=∠,则△ABC≌△.
要点二、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图,在△ABC和△ADE中,如果DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A,但△ABC和△ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定,见下表:
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SASAASASA
两角对应相等
ASAAAS
两边对应相等
SASSSS
类型一、全等三角形的判定3——“角边角”
1、已知:
如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.
求证:
AE=CF.
证明:
∵AD∥CB
∴∠A=∠C
在△ADF与△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA)
∴AF=CE,AF+EF=CE+EF
故得:
AE=CF
举一反三:
【变式】如图,AB∥CD,AF∥DE,BE=CF.求证:
AB=CD.
类型二、全等三角形的判定4——“角角边”
2、已知:
如图,AB⊥AE,AD⊥AC,∠E=∠B,DE=CB.
求证:
AD=AC.
证明:
∵AB⊥AE,AD⊥AC,
∴∠CAD=∠BAE=90°
∴∠CAD+∠DAB=∠BAE+∠DAB,即∠BAC=∠EAD
在△BAC和△EAD中
∴△BAC≌△EAD(AAS)
∴AC=AD
举一反三:
【变式】如图,AD是△ABC的中线,过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.
求证:
BE=CF.
【答案】
证明:
∵AD为△ABC的中线
∴BD=CD
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在△BED和△CFD中
∴△BED≌△CFD(AAS)
∴BE=CF
3、已知:
如图,AC与BD交于O点,AB∥DC,AB=DC.
(1)求证:
AC与BD互相平分;
(2)若过O点作直线l,分别交AB、DC于E、F两点,
求证:
OE=OF.
证明:
∵AB∥DC
∴∠A=∠C
在△ABO与△CDO中
∴△ABO≌△CDO(AAS)
∴AO=CO,BO=DO
在△AEO和△CFO中
∴△AEO≌△CFO(ASA)
∴OE=OF.
一、选择题
1.能确定△ABC≌△DEF的条件是()
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠E
B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E
C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
2.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是()
图4-3
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
3.AD是△ABC的角平分线,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,下列结论错误的是()
A.DE=DF B.AE=AF C.BD=CD D.∠ADE=∠ADF
4.如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是()
A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM=CN D.AM∥CN
6.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下面结论中错误的是()
A.△ADC≌△BCD B.△ABD≌△BAC
C.△ABO≌△CDO D.△AOD≌△BOC
二、填空题
7.如图,∠1=∠2,要使△ABE≌△ACE,还需添加一个条件是.
(填上你认为适当的一个条件即可).
8.在△ABC和△中,∠A=44°,∠B=67°,∠=69°,∠=44°,且AC=,则这两个三角形_________全等.(填“一定”或“不一定”)
9.已知,如图,AB∥CD,AF∥DE,AF=DE,且BE=2,BC=10,则EF=________.
11.如图,已知:
∠1=∠2,∠3=∠4,要证BD=CD,需先证△AEB≌△AEC,根据是,再证△BDE≌△,根据是.
12.已知:
如图,∠B=∠DEF,AB=DE,要说明△ABC≌△DEF,
(1)若以“ASA”为依据,还缺条件
(2)若以“AAS”为依据,还缺条件
(3)若以“SAS”为依据,还缺条件
三、解答题
13.阅读下题及一位同学的解答过程:
如图,AB和CD相交于点O,且OA=OB,∠A=∠C.那么△AOD与△COB全等吗?
若全等,试写出证明过程
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