中考数学一轮复习二次函数综合应用学案.docx
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中考数学一轮复习二次函数综合应用学案
2017年中考数学一轮复习-二次函数综合应用学案
2017年中考数学一轮复习第1讲《二次函数综合应用》
【考点解析】
知识点一、二次函数与一次函数及反比例函数的结合
【例题】(2016贵州毕节3分)一次函数=ax+b(a≠0)与二次函数=ax2+bx+(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.B..D.
【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.
【分析】本题可先由一次函数=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数=ax2+bx+的图象相比较看是否一致.
【解答】解:
A、由抛物线可知,a<0,由直线可知,故本选项错误;
B、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;
、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;
D、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b>0故本选项错误.
故选.
【变式】
已知二次函数=ax2+bx+(a,b,是常数,且a≠0)的图象如图所示,则一次函数=x+与反比例函数=在同一坐标系内的大致图象是( )
【答案】D.
【解析】∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵抛物线的对称轴为直线x=-<0,
∴b>0,
∵抛物线与轴的交点在x轴下方,
∴<0,
∴一次函数=x+的图象过第一、二、四象限,反比例函数=分布在第一、三象限.
故选D.
知识点二、二次函数与一元二次方程
【例题】(2016•四川泸州)若二次函数=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为 ﹣ .
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】设=0,则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,利用根与系数的关系即可求出+的值.
【解答】解:
设=0,则2x2﹣4x﹣1=0,
∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,即x1,x2,
∴x1+x2=﹣=2,x1,•x2=﹣,
∵+==﹣,
∴原式==﹣,
故答案为:
﹣.
【变式】
二次函数=x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有解,则t的取值范围是( )
A.t≥-1B.-1≤t<3.-1≤t<8D.3<t<8
【答案】
【解析】对称轴为直线x=-=1,
解得b=-2,
所以,二次函数解析式为=x2-2x,
=(x-1)2-1,
x=-1时,=1+2=3,
x=4时,=16-2×4=8,
∵x2+bx-t=0相当于=x2+bx与直线=t的交点的横坐标,
∴当-1≤t<8时,在-1≤x<4的范围内有解.
故选:
.
知识点三利用二次函数解决抛物线形问题
【例题】(201浙江金华)图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为,B,以点为原点,水平直线B为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线,桥拱与桥墩A的交点恰好在水面,有A⊥x轴,若A=10米,则桥面离水面的高度A为()A.米B.米.米D.米
【答案】B.
【分析】主要是利用抛物线的解析式以及A=10进行解答,关键是根据图象确定A点的坐标,从而确定点的横坐标,继而得到问题的答案.
【解析】∵A⊥x轴,A=10米,∴点的横坐标为﹣10,当x=﹣10时,==,∴(﹣10,),∴桥面离水面的高度A为.故选B.
【点评】本题考查了利用函数图象上的点解决实际问题中的距离问题,能正确地确定点的坐标是解决问题的关键.
【方法技巧规律】利用二次函数解决抛物线形问题,一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系,设出合适的二次函数的解析式,把实际问题中已知条转化为点的坐标,代入解析式求解,最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.
【变式】
(201•铜仁市)(第3题)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度D是4时,这时水面宽度AB为( )A﹣20B1020D﹣10
【解析】二次函数的应用.根据题意,把=﹣4直接代入解析式即可解答.
【解答】解:
根据题意B的纵坐标为﹣4,
把=﹣4代入=﹣x2,
得x=±10,
∴A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4),
∴AB=20.
即水面宽度AB为20.
故选.
【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
知识点四、二次函数的应用
【例题】(2016•湖北随州•9分)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/,设该商品的售价为(单位:
元/),每天的销售量为p(单位:
),每天的销售利润为(单位:
元).
时间x(天)1306090
每天销售量p()1981408020
(1)求出与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?
并求出最大利润;
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于600元?
请直接写出结果.【考点】二次函数的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】
(1)当0≤x≤0时,设商品的售价与时间x的函数关系式为=x+b,由点的坐标利用待定系数法即可求出此时关于x的函数关系式,根据图形可得出当0<x≤90时,=90.再结合给定表格,设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=x+n,套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式,根据销售利润=单利润×销售数量即可得出关于x的函数关系式;
(2)根据关于x的函数关系式,分段考虑其最值问题.当0≤x≤0时,结合二次函数的性质即可求出在此范围内的最大值;当0<x≤90时,根据一次函数的性质即可求出在此范围内的最大值,两个最大值作比较即可得出结论;
(3)令≥600,可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范围,由此即可得出结论.
【解答】解:
(1)当0≤x≤0时,设商品的售价与时间x的函数关系式为=x+b(、b为常数且≠0),
∵=x+b经过点(0,40)、(0,90),
∴,解得:
,
∴售价与时间x的函数关系式为=x+40;
当0<x≤90时,=90.
∴售价与时间x的函数关系式为=.
由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系,
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=x+n(、n为常数,且≠0),
∵p=x+n过点(60,80)、(30,140),
∴,解得:
,
∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x为整数),
当0≤x≤0时,=(﹣30)•p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;
当0<x≤90时,=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000.
综上所示,每天的销售利润与时间x的函数关系式是=.
(2)当0≤x≤0时,=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣4)2+600,
∵a=﹣2<0且0≤x≤0,
∴当x=4时,取最大值,最大值为600元.
当0<x≤90时,=﹣120x+12000,
∵=﹣120<0,随x增大而减小,
∴当x=0时,取最大值,最大值为6000元.
∵600>6000,
∴当x=4时,最大,最大值为600元.
即销售第4天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是600元.
(3)当0≤x≤0时,令=﹣2x2+180x+2000≥600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,
解得:
30≤x≤0,
0﹣30+1=21(天);
当0<x≤90时,令=﹣120x+12000≥600,即﹣120x+6400≥0,
解得:
0<x≤3,
∵x为整数,
∴0<x≤3,
3﹣0=3(天).
综上可知:
21+3=24(天),
故该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于600元.
【变式】
(2016•湖北武汉•10分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x.已知产销两种产品的有关信息如下表:
产品每售价(万元)每成本(万元)每年其他费用(万元)每年最大产销量()
甲6a20200
乙201040+00x280
其中a为常数,且3≤a≤.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为1万元、2万元,直接写出1、2与x的函数关系式;
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?
请说明理由.
【考点】二次函数的应用,一次函数的应用
【答案】
(1)1=(6-a)x-20(0<x≤200),2=-00x²+10x-40(0<x≤80);
(2)产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;(3)当3≤a<37时,选择甲产品;当a=37时,选择甲乙产品;当37<a≤时,选择乙产品
【解析】解:
(1)1=(6-a)x-20(0<x≤200),2=-00x²+10x-40(0<x≤80);
(2)甲产品:
∵3≤a≤,∴6-a>0,∴1随x的增大而增大.
∴当x=200时,1ax=1180-200a(3≤a≤)
乙产品:
2=-00x²+10x-40(0<x≤80)
∴当0<x≤80时,2随x的增大而增大.
当x=80时,2ax=440(万元).
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;(3)1180-200>440,解得3≤a<37时,此时选择甲产品;
1180-200=440,解得a=37时,此时选择甲乙产品;
1180-200<440,解得37<a≤时,此时选择乙产品.
∴当3≤a<37时,生产甲产品的利润高;
当a=37时,生产甲乙两种产品的利润相同;
当37<a≤时,上产乙产品的利润高.
知识点五、二次函数在几何图形中的应用
【例题】(2016•湖北武汉•12分)抛物线=ax2+与x轴交于A、B两点,顶点为,点P为抛物线上,且位于x轴下方.
(1)如图1,若P(1,-3)、B(4,0),
①求该抛物线的解析式;
②若D是抛物线上一点,满足∠DP=∠PB,求点D的坐标;
(2)如图2,已知直线PA、PB与轴分别交于E、F两点.当点P运动时,是否为定值?
若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.【考点】二次函数综合;考查了待定系数法求函数解析式;平行线的判定;函数值相等的点关于对称轴对称。
【答案】
(1)①=x2-;②点D的坐标为(-1,-3)或(,);
(2)是定值,等于2
【解析】解:
(1)①将P(1,-3)、B(4,0)代入=ax2+得
,解得,抛物线的解析式为:
.
②如图:
由∠DP=∠PB得DP∥B,D与P关于轴对称,P(1,-3)得D(-1,-3);
如图,D在P右侧,即图中D2,则∠D2P=∠PB,延长PD2交x轴于Q,则Q=QP,
设Q(q,0),则(q-1)2+32=q2,解得:
q=,∴Q(,0),则直线PD2为,再联立得:
x=1或,∴D2()
∴点D的坐标为(-1,-3)或()
(2)设B(b,0),则A(-b,0)有ab2+=0,∴b2=,过点P(x0,0)作PH⊥AB,有,易证:
△PAH∽△EA,则即,∴,
同理得∴,∴,则E+F=
∴,又=-,∴∴是定值,等于2.
【变式】
(2016•吉林•10分)如图,在等腰直角三角形AB中,∠BA=90°,A=8,AD⊥B于点D,点P从点A出发,沿A→方向以/s的速度运动到点停止,在运动过程中,过点P作PQ∥AB交B于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形PQ,且∠PQ=90°(点,位于PQ异侧).设点P的运动时间为x(s),△PQ与△AD重叠部分的面积为
(2)
(1)当点落在AB上时,x= 4 ;
(2)当点落在AD上时,x= ;
(3)求关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.【考点】三角形综合题.
【分析】
(1)当点落在AB上时,四边形AQP是正方形,此时点D与点Q重合,由此即可解决问题.
(2)如图1中,当点落在AD上时,作PE⊥Q于E,先证明DQ=QE=E,由PE∥AD,得==,由此即可解决问题.
(3)分三种情形①当0<x≤4时,如图2中,设P、PQ分别交AD于点E、F,则重叠部分为△PEF,②当4<x≤时,如图3中,设P、Q分别交AD于E、G,则重叠部分为四边形PEGQ.③当<x<8时,如图4中,则重合部分为△PQ,分别计算即可解决问题.
【解答】解:
(1)当点落在AB上时,四边形AQP是正方形,此时点D与点Q重合,AP=P=4,所以x==4.
故答案为4.
(2)如图1中,当点落在AD上时,作PE⊥Q于E.∵△QP,△PQE,△PE都是等腰直角三角形,Q=PQ=P
∴DQ=QE=E,
∵PE∥AD,
∴==,∵A=8,
∴PA=,
∴x=÷=.
故答案为.
(3)①当0<x≤4时,如图2中,设P、PQ分别交AD于点E、F,则重叠部分为△PEF,∵AP=x,
∴EF=PE=x,
∴=S△PEF=•PE•EF=x2.
②当4<x≤时,如图3中,设P、Q分别交AD于E、G,则重叠部分为四边形PEGQ.∵PQ=P=8﹣x,
∴P=16﹣2x,∴E=P﹣PE=16﹣3x,
∴=S△PQ﹣S△EG=(8﹣x)2﹣(16﹣3x)2=﹣x2+32x﹣64.③当<x<8时,如图4中,则重合部分为△PQ,
∴=S△PQ=PQ2=(8﹣x)2=x2﹣16x+64.
综上所述=.
【典例解析】
【例题1】(2011湖北随州,23,?
)我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为:
每投入x万元,可获得利润P=(万元).当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:
在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资,在实施规划年的前两年中,每年都从100万元中拨出0万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:
每投入x万元,可获利润(万元).
(1)若不进行开发,求年所获利润的最大值是多少?
(2)若按规划实施,求年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?
(3)根据
(1)、
(2),该方案是否具有实施价值?
【解析】二次函数的应用。
(1)由可获得利润P=(万元),即可知当x=60时,P最大,最大值为41,继而求得年所获利润的最大值;
(2)首先求得前两年的获利最大值,注意前两年:
0≤x≤0,此时因为P随x的增大而增大,所以x=0时,P值最大;然后后三年:
设每年获利,设当地投资额为x,则外地投资额为100-x,即可得函数=P+Q=[-(x-60)2+41]+[-x2+x+160],整理求解即可求得最大值,则可求得按规划实施,年所获利润(扣除修路后)的最大值;
(3)比较可知,该方案是具有极大的实施价值.
【解答】解:
(1)∵每投入x万元,可获得利润P=(万元),
∴当x=60时,所获利润最大,最大值为41万元,
∴若不进行开发,年所获利润的最大值是:
41×=20(万元);
(2)前两年:
0≤x≤0,此时因为P随x的增大而增大,所以x=0时,P值最大,即这两年的获利最大为:
2×[-(0-60)2+41]=80(万元),
后三年:
设每年获利,设当地投资额为x,则外地投资额为100-x,
∴=P+Q=[-(x-60)2+41]+[-x2+x+160]
=-x2+60x+16=-(x-30)2+106,
∴当x=30时,最大且为106,
∴这三年的获利最大为106×3=349(万元),
∴年所获利润(扣除修路后)的最大值是:
80+349-0×2=347(万元).
(3)该方案是具有极大的实施价值.
【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题.解题的关键是理解题意,找到合适函数取得最大值,是解此题的关键,还要注意后三年的最大值的求解方法.
【例题2】(2016•湖北荆门•3分)若二次函数=x2+x的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+x=7的解为( )
A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7.x1=1,x2=﹣7D.x1=﹣1,x2=7
【考点】二次函数的性质;解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先根据二次函数=x2+x的对称轴是x=3求出的值,再把的值代入方程x2+x=7,求出x的值即可.
【解答】解:
∵二次函数=x2+x的对称轴是x=3,
∴﹣=3,解得=﹣6,
∴关于x的方程x2+x=7可化为x2﹣6x﹣7=0,即(x+1)(x﹣7)=0,解得x1=﹣1,x2=7.
故选D.
【例题3】(2016•湖北黄石•3分)以x为自变量的二次函数=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是( )
A.b≥B.b≥1或b≤﹣1.b≥2D.1≤b≤2
【分析】由于二次函数=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限,根据二次项系数知道抛物线开口方向向上,由此可以确定抛物线与x轴有无交点,抛物线与轴的交点的位置,由此即可得出关于b的不等式组,解不等式组即可求解.
【解答】解:
∵二次函数=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,
∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限,
当抛物线在x轴的上方时,
∵二次项系数a=1,
∴抛物线开口方向向上,
∴b2﹣1≥0,△=[2(b﹣2)]2﹣4(b2﹣1)≤0,
解得b≥;
当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时,
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,
∴x1+x2=2(b﹣2)≥0,b2﹣1≥0,
∴△=[2(b﹣2)]2﹣4(b2﹣1)>0,①
b﹣2>0,②
b2﹣1>0,③
由①得b<,由②得b>2,
∴此种情况不存在,
∴b≥,
故选A.
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解决问题.
【例题4】(2016•吉林•10分)如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,B的长度为2,以B为边向上作等边三角形AB,抛物线l:
=ax2+bx+经过点,A,B三点
(1)当=2时,a=﹣,当=3时,a=﹣;
(2)根据
(1)中的结果,猜想a与的关系,并证明你的结论;
(3)如图2,在图1的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a和n的关系式为a=﹣;
(4)利用
(2)(3)中的结论,求△AB与△APQ的面积比.【考点】二次函数综合题.
【分析】
(1)由△AB为等边三角形,AB=2,得出点A,B坐标,再由点A,B,在抛物线上建立方程组,得出结论,最后代=2,=3,求值即可;
(2)同
(1)的方法得出结论
(3)由△APQ为等腰直角三角形,PQ的长度为2n,设A(e,d+n),∴P(e﹣n,d),Q(e+n,d),建立方程组求解即可;
(4)由
(2)(3)的结论得到=n,再根据面积公式列出式子,代入化简即可.
【解答】解:
(1)如图1,∵点B在x轴正半轴上,B的长度为2,
∴B(2,0),
∵以B为边向上作等边三角形AB,
∴A=,=,
∴A(,),
∵抛物线l:
=ax2+bx+经过点,A,B三点
∴,
∴
当=2时,a=﹣,
当=3时,a=﹣,
故答案为:
﹣,﹣;
(2)a=﹣
理由:
如图1,∵点B在x轴正半轴上,B的长度为2,
∴B(2,0),
∵以B为边向上作等边三角形AB,
∴A=,=,
∴A(,),
∵抛物线l:
=ax2+bx+经过点,A,B三点
∴,
∴
∴a=﹣,
(3)如图2,∵△APQ为等腰直角三角形,PQ的长度为2n,
设A(e,d+n),∴P(e﹣n,d),Q(e+n,d),
∵P,Q,A,在抛物线l:
=ax2+bx+上,
∴,
∴,
①﹣②化简得,2ae﹣an+b=1④,
①﹣③化简得,﹣2ae﹣an﹣b=1⑤,
④﹣⑤化简得,an=﹣1,
∴a=﹣
故答案为a=﹣,
(4)∵B的长度为2,A=,
∴S△AB=B×A=2×=2,
由(3)有,AN=n
∵PQ的长度为2n,
∴S△APQ=PQ×AN=×2×n=n2,
由
(2)(3)有,a=﹣,a=﹣,
∴﹣=﹣,
∴=n,
∴===,
∴△AB与△APQ的面积比为3:
1.
【中考热点】
热点1:
(2016•辽宁丹东•10分)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.
(1)求与x之间的函数关系式;
(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实670千克?
(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量(千克)最大?
最大产量是多少?
【考点】二次函数的应用.
【分析】
(1)函数的表达式为=x+b,把点(12,74),(28,66)代入解方程组即可.
(2)列出方程解方程组,再根据实际意义确定x的值.
(3)构建二次函数,利用二次函数性质解决问题.
【解答】解:
(1)设函数的表达式为=x+b,该一次函数过点(12,74),(28,66),
得,
解得,
∴该函数的表达式为=﹣0x+80,
(2)根据题意,得,
(﹣0x+80)(80+x)=670,
解得,x1=10,x2=70
∵投入成本最低.
∴x2=70不满足题意,舍去.
∴增种果树10棵时,果园可以收获果实670千克.
(3)根据题意,得
=(﹣0x+80)(80+x)
=﹣0x2+40x+6400
=﹣0(x﹣40)2+7200
∵a=﹣0<0,则抛物线开口向下,函数有最大值
∴当x=40时,最大值为7200千克.
∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克.
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(2016•江西•12分)设抛物线的解析式为=ax2,过点B1(1,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A1(1,2);过点B2(,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A2;…;过点Bn(()n﹣1,0)(n为正整数)作x轴的垂线,交抛物线于点An,连接AnBn+1,得Rt△AnBnBn+1.
(1)求a的值;
(2)直接写出线段AnBn,BnBn+1的长(用含n的式子表示);
(3)在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列问题:
①当n为何值时,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形?
②设1≤<≤n(,均为正整数),问:
是否存在Rt△ABB+1与Rt△ABB+1相似?
若存在,求出
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