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习题课
一、基本概念:
1、数列的定义及表示方法:
2、数列的项与项数:
3、有穷数列与无穷数列:
4、递增(减)、摆动、循环数列:
5、数列{an}的通项公式an:
6、数列的前n项和公式Sn:
7、等差数列、公差d、等差数列的结构:
8、等比数列、公比q、等比数列的结构:
9、无穷递缩等比数列的意义及公比q的取值范围:
二、基本公式:
12、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:
an=
13、等差数列的通项公式:
an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。
14、等差数列的前n项和公式:
Sn=
Sn=
Sn=
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。
16、等差中项公式:
A=
(有唯一的值)
17、等比数列的通项公式:
an=a1qn-1an=akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
18、等比数列的前n项和公式:
当q=1时,Sn=na1(是关于n的正比例式);
当q≠1时,Sn=
Sn=
19、等比中项公式:
G=
(ab>0,有两个值)
三、有关等差、等比数列的结论
23、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列。
24、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
25等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
24、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列。
25、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
26、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an
bn}、
、
仍为等比数列。
27、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
28、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
29、三个数成等差的设法:
a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:
a-3d,a-d,,a+d,a+3d
30、三个数成等比的设法:
a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法:
a/q3,a/q,aq,aq3(为什么?
)
四、其他方法
32、求和公式与通相公式的转化,如
=an+1
33、分组法求数列的和,如an=2n+3n
34、错位相减法求和,如an=(2n-1)2n
35、裂项相减法求和,如an=1/n(n+1)
36、倒序相加法求和,
37、代换法求通项,如an=an─1/2+1
38、叠加(乘)法求通项,如an+1=an+n
39、函数法求通项,如:
a1++2a2+3a3…+nan=n2
40、求数列{an}的最大、最小项的方法:
①an+1-an=……
如an=-2n2+29n-3②
(an>0)如an=
③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=
五、例题
例1、
(1)写出数列
1,3,6,10…;
,的一个通项公式:
(2)、数列{an}满足a1=1,a2=
,且
(n≥2),则an等于。
例2、填空:
(1)在数列{an}中Sn=n2+2n+5,则a6+a7+…+a15=___________.
(2)在数列{an}中,a1=1,且a1a2a3…an=n2(n≥2),则a3+a5=_______.
例3、根据{an}的首项和递推公式,写出数列的前5项及通项公式:
(1)a1=0,an+1=an+2n-1
(2)a1=1,
例4、已知下列数列的前n项和Sn求通项公式an.
(1)Sn=2n2-3n
(2)Sn=2n+3
例5、已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(
)=-2n
(1)求{an}的通项公式。
(2)证明{an}是递减数列。
例6、在数列{an}中,an>0,
=an+1(n
N)
求Sn和an的表达式。
例7.已知数列{an}的通项公式为an=
.
求证:
对于任意的自然数n,均有a2n─1,a2n,a2n+1成等比数列,而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。
例8.设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是
例9.等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,则a1=;
例10.公差不为0的等差数列{an}和递增的等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a3=b3,a7=b5,若am=b9,则m=;
例11.已知{an}是等差数列,m,n∈N,且m≠n,
(1)若am=n,an=m,试求a1,d,Sn及an+m;
(2)若Sn=m,Sm=n,试求a1,d及an.
例12.有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求此四个数。
例13.设数列{an}和{bn}分别是正项等差数列和等比数列,且a1=b1>0,a2=b2>0,若a1≠a2,试比较an和bn的大小。
例14.在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,问是否存在常数a,使得对于一切自然数n,都有an─a1=logabn成立,若存在,求出a的值;若不存在,试说明理由。
例15.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有项
例17.在等差数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=30,a6+a7+a8+a9+a10=80,则a11+a12+a13+a14+a15=.
例18.数列{an}中,a15=10,a45=90,若{an}为等差数列,则a60=;若{an}为等比数列,则a60=
例19.{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5为;
例20.数列{an}和{bn}均为等差数列,它们的前n项之和分别为Sn,
若Sn/
=(7n+2)/(n+4),则a5/b5=;
例21.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求该数列的中间项及项数。
例22.等差数列{an}中,公差d≠0,其中
构成等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn.
例23.
(1)等差数列{an}中,a3=12,S13<0,S12>0,
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个最大?
并说明理由。
(2)等差数列{an}中,a1>0,且sm=sk
问n为何值时,sn最大?
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