MATLAB符号计算.docx

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MATLAB符号计算

实验日期2014-03-19

一、实验名称:

MATLAB符号计算

二、实验目的:

（1）掌握定义符号对象的方法;

（2）掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算;（3）掌握求符号函数极限及导数的方法;（4）掌握求符号函数定积分和不定积分的方法

三、实验原理

  1.函数极限及导数的方法

（1）函数极限：

limit（F,x,a）求符号函数f（x）的极限值。

即计算当变量x趋近于常数a时，f（x）函数的极限值。

（2）limit（f）：

求符号函数f（x）的极限值。

符号函数f（x）的变量为函数findsym（f）确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。

（3）limit（f,x,a,'right'）：

求符号函数f的极限值。

'right'表示变量x从右边趋近于a。

（4）limit（f,x,a,‘left’）：

求符号函数f的极限值。

‘left’表示变量x从左边趋近于a。

  2.微分：

diff（s）：

没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。

diff（s,'v'）：

以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。

diff（s,n）：

按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。

diff（s,'v',n）：

以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。

3.函数定积分和不定积分的方法：

int（s）：

没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。

int（s,v）：

以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。

int（s,v,a,b）：

求定积分运算。

a,b分别表示定积分的下限和上限。

梯形法：

trapz（x,y）：

x为分割点构成的向量，y为被积函数在分割点上的函数值构成的向量；

  抛物线法：

quad（f,a,b,tol），f是被积函数，[a,b]是积分区间，tol是精度。

4.求和及泰勒级数展开的方法：

（1）求和symsum（s,v,n,m）其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。

v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。

n和m是求和的开始项和末项。

（2）泰勒级数展开taylor（f,v,n,a）该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项（即变量v的n-1次幂）为止，n的缺省值为6。

v的缺省值与diff函数相同。

参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。

四、实验内容

1.求下列极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

（3）

2.求下列函数的导数：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

，求

，

，

3.求下列函数的积分

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

由曲面

，

，

所围成

（6）

4.解下列方程组。

（1）

（2）

（3）

5.求下列级数的和

（1）

（2）

6.泰勒级数展开

将函数

展开成

的幂级数

五、实验过程及结果（含源代码）

1.求下列极限：

 >>symsxat;

>>F1=limit（atan（x）/x）%求F1的极限

F1=

1

>>F2=limit（（1+x）/（1-x）^（1/x））%求F2的极限

F2=

exp

（1）

>>F3=limit（x*（log（1+x））/（sin（x^2）））%求F3的极限

F3=

1

>>F4=limit（（1/（1+x））-（1/（1-x^3））,x,1）%求F4的极限

F4=

NaN

>>F5=limit（（1+2*t/（a*x））^（5*x）,x,inf）%求F5的极限

F5=

exp（（10*t）/a）

2.求下列函数的导数：

>>x=sym（'x'）;

>>y1=diff（（cos（x）^3）-（cos（3*x）））%求导后y1的表达式

y1=

3*sin（3*x）-3*cos（x）^2*sin（x）

>>y2=diff（x*sin（x）*log（x））%求导后y2的表达式

y2=

sin（x）+log（x）*sin（x）+x*cos（x）*log（x）

>>y3=diff（（x*exp（x）-1）/sin（x））%求导后y3的表达式

y3=

（exp（x）+x*exp（x））/sin（x）-（cos（x）*（x*exp（x）-1））/sin（x）^2

>>y4=diff（exp（x）*cos（x））%求导后y4的表达式

y4=

exp（x）*cos（x）-exp（x）*sin（x）

>>y5=diff（x^2*sin（x））%求导后y5的表达式

y5=

x^2*cos（x）+2*x*sin（x）

>>symsxat;

>>f=[a*exp（x）t^3*x;t*cos（x）log（x）];

>>diff（f）%求f的一阶导

ans=

[a*exp（x）,t^3]

[-t*sin（x）,1/x]

>>diff（f,t,2）%求f对t的二阶导

ans=

[0,6*t*x]

[0,0]

>>diff（diff（f）,t）%求f的一阶导后再对t求导

ans=

[0,3*t^2]

[-sin（x）,0]

3.求下列函数的积分

>>symsxyzabc;

>>f1=int（sin（a*x）*sin（b*x）*sin（c*x）,x）%第一题的积分

Warning:

Explicitintegralcouldnotbefound.

f1=

piecewise（[a=b+c,int（sin（x*（b+c））*sin（b*x）*sin（c*x）,x）],[a+b=c,int（sin（c*x-b*x）*sin（b*x）*sin（c*x）,x）],[a+c=b,int（sin（b*x-c*x）*sin（b*x）*sin（c*x）,x）],[a+b+c=0,int（sin（-b*x-c*x）*sin（b*x）*sin（c*x）,x）],[a<>b+canda+b<>canda+c<>banda+b+c<>0,cos（x*（a+b+c））/（4*a+4*b+4*c）-cos（x*（a+b-c））/（4*a+4*b-4*c）-cos（x*（a-b+c））/（4*a-4*b+4*c）-cos（x*（b-a+c））/（4*b-4*a+4*c）]）

>>f2=int（x^5+x^3-sqrt（x）/4,x）%第二题的积分

f2=

x^4/4-x^（3/2）/6+x^6/6

>>f4=int（（int（x/（1+x*y）,x,0,1））,y,0,1）%第四题的积分

Warning:

Explicitintegralcouldnotbefound.

f4=

log（4）-1

>>f5=int（pi*z^2,z,1,2）%第五题的积分

f5=

（7*pi）/3

>>A=[1/xb*x^2;exp（x）cos（x）];%第六题的积分

>>f5=int（A,x）

f5=

[log（x）,（b*x^3）/3]

[exp（x）,sin（x）]

4.解下列方程组

>>[x1,x2,x3]=solve（'-2*x1+5*x2-7*x3=-5','4*x1+3*x2-2*x3=3','2*x1+1*x2+6*x3=15'）

x1=%第一题的解

23/83

x2=

167/83

x3=

172/83

首先编制函数文件fc.m如下：

%第二题的解

functiony=fc（x）

y

（1）=x

（1）-5*sin（x

（1））-4*cos（x

（2））;

y

（2）=x

（2）-5*cos（x

（1））+4*sin（x

（2））;

y=[y

（1）y

（2）];

在MATLAB窗口中输入：

>>x0=[0.50.5];

>>fsolve（'fc',x0）

Nosolutionfound.

fsolvestoppedbecausetheproblemappearsregularasmeasuredbythegradient,

butthevectoroffunctionvaluesisnotnearzeroasmeasuredbythe

defaultvalueofthefunctiontolerance.

ans=

-0.75450.8106

>>[x,y]=dsolve（'Dx=-5*x+y','Dy=-y+5*x'）%第三题的解

x=

C2/5-C1/exp（6*t）

y=

C2+C1/exp（6*t）

5.求下列级数的和

>>symsf1f2n

>>a=1;

>>b=inf;

>>f1=（2*n-1）/2^n;

>>I1=symsum（f1,n,a,b）%求I1的解

I1=

3

>>I2=symsum（f2,n,a,b）%求I2的解

I2=

2-2*log

（2）

6.泰勒级数展开

>>symsx

>>taylor（1/（x^2+5*x-3）,3,2）%展开至2次幂

ans=

（70*（x-2）^2）/1331-（9*x）/121+29/121

>>taylor（1/（x^2+5*x-3）,4,2）%展开至3次幂

ans=

（70*（x-2）^2）/1331-（9*x）/121-（531*（x-2）^3）/14641+29/121

>>taylor（1/（x^2+5*x-3）,5,2）%展开至4次幂

ans=

（70*（x-2）^2）/1331-（9*x）/121-（531*（x-2）^3）/14641+（4009*（x-2）^4）/161051+29/121

实验日期2014-04-02

一、实验名称

MATLAB符号计算及应用

二、实验目的

（1）掌握定义符号对象的方法

（2）掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算

（3）掌握求符号函数极限及导数的方法

（4）掌握求符号函数定积分和不定积分的方法  

四、实验内容

1.一无阻力抛射体的飞行，给定初速

，试计算物体在真空中飞行的时间和距离，并绘出其运行轨迹。

2.一有阻力抛射体的飞行，给定初速

，设空气阻力的方向与速度向量相反，大小与速度的平方成正比，试计算物体在真空中飞行的时间和距离，并绘出其运行轨迹。

3.用数值积分法求

，在

到

之间所围面积，并讨论步长和积分方法对精度的影响。

4.计算二重积分

，积分区域D为由

，

及

所围成的闭合区域，并作出积分区域D的示意图。

5.计算三重积分

，积分区域V为由

，

，

及

所围成的闭合区域，并作出积分区域V的示意图。

五、实验过程及结果（含源代码）

1.

>>symsvvxvytyxtfthetaxmax;%定义变量

>>v=10;theta=pi/3;%给初速度v（单位m/s）和抛射角theta（单位rad）赋值

>>vx=v*cos（theta）;%速度的x轴分量

>>vy=v*sin（theta）;%速度的y轴分量

>>y=vy*t-0.5*9.8*t^2;%建立y轴方向上的位移表达式

>>x=vx*t;%建立x轴方向上的位移表达式

>>tf=roots（[-0.5*9.8vy0]）%当y=0时，解出落地时间tf（单位s）

tf=

0

1.7674

>>tf=1.7674;

>>xmax=vx*tf%利用tf求出水平抛射距离（单位m）

xmax=

8.8370

>>t=0:

0.01:

tf,tf;%绘图

>>x=vx*t;

>>y=vy*t-0.5*9.8*t.^2;

>>plot（x,y）

2．

>>symsxxmaxyvvxvyffxfykmgthetat%定义变量

>>v=10;k=-1.2;m=5;g=-9.8;theta=pi/3;%初速度v（m/s），阻力比例系数k，物体质量m（kg），重力加速度g（m/s2），抛射角theta（rad）赋值

>>fx=k*vx;%阻力在x轴上的分量

>>fy=k*vy;%阻力在y轴上的分量

>>vx=v*cos（theta）+fx/m*t;%速度在x轴上的分量，记为方程a

>>vy=v*sin（theta）+（fy/m+g）*t;%速度在y轴上的分量，记为方程b

>>x=v*cos（theta）*t+1/2*fx/m*t^2;%建立x轴方向上的位移表达式，记为方程c

>>y=v*sin（theta）*t+1/2*（fy/m+g）*t^2;%建立y轴方向上的位移表达式，记为方程d

>>vy%查看方程b的符号表达式

vy=

5*3^（1/2）-t*（（6*vy）/25+49/5）

>>y%查看方程d的符号表达式

y=

5*3^（1/2）*t-t^2*（（3*vy）/25+49/10）

>>[vyt]=solve（'5*3^（1/2）*t-t^2*（（3*vy）/25+49/10）=0','5*3^（1/2）-t*（（6*vy）/25+49/5）-vy=0'）

%联立方程b和方程d求解物体飞行时间t

vy=

0

-（50*3^（1/2））/（6*3^（1/2）-49）

t=

5*3^（1/2）

-5*3^（1/2）

>>vpa（vy,6）

ans=

0

2.24314

>>vpa（t,6）

ans=

8.66025

-8.66025%显然物体在有阻力的情况下飞行了8.66025s

>>subs（vx,'t',8.66025）%将此时间带入vx表达式中的变量t中，得方程A

ans=

5-（457058187573461*vx）/219902325555200

>>subs（x,'t',8.66025）%将此时间带入x表达式中的变量t中。

得方程C

ans=

34641/800-（7916476337866131*vx）/879609302220800

[vxx]

=solve（'5-（457058187573461*vx）/219902325555200-vx=0','34641/800-（7916476337866131*vx）/879609302220800-x=0'）%联立方程A和方程C求出物体飞行最远水平距离x

vx=

1099511627776000/676960513128661

x=

155********423814701/541568*********800

>>vpa（x,6）%化简x的值，使其保留到6位有效数字

ans=

28.6836%显然物体飞行最远水平距离为28.6836m

>>cleart%清除变量t内存，为作图做t的分划做准备

>>symst%再次定义变量t

>>x=v*cos（theta）*t+1/2*（（k*v*cos（theta））/（k/m*t+1））/m*t^2%将fx的表达式带入方程c得到的新方程c`，并查看其符号表达式

x=

5*t+（3*t^2）/（5*（（6*t）/25-1））

>>y=v*sin（theta）*t+1/2*（（k*（v*sin（theta）+g*t）/（k/m*t+1））/m+g）*t^2%将fy的表达式带入方程d得到的新方程d`，并查看其符号表达式

y=

5*3^（1/2）*t-t^2*（（（294*t）/25-6*3^（1/2））/（10*（（6*t）/25-1））+49/10）

>>t=0:

0.1:

8.66025;%绘图

>>x=5*t+（3*t.^2）/（5*（（6*t）/25-1））;

>>y=5*3^（1/2）.*t-t.^2*（（（294.*t）/25-6*3^（1/2））/（10*（（6.*t）/25-1））+49/10）;

>>plot（x,y）

3.

>>symsxyexactapproximate11approximate12approximate21%定义变量

>>exact=int（-1*x.^2+115,x,0,10）%求出积分精确值

exact=

2450/3

>>vpa（exact）

ans=

816.66666666666666666666666666667

>>x=linspace（0,10,10）;%将区间[0,10]10等分赋予x

>>y=-1*x.^2+115;%建立x和y两数组的函数关系

>>approximate11=trapz（x,y）%用梯形公式求y的数值积分

approximate11=

814.6091

>>approximate12=quad（'-1*x.^2+115',0,10）%用辛普森公式求y得数值积分

approximate12=

816.6667%显然辛普森公式精度好于梯形公式

>>x=linspace（0,10,20）;%将区间[0,10]20等分赋予x

>>y=-1*x.^2+115;

>>approximate21=trapz（x,y）%求更小步长下的梯形公式数值积分

approximate21=

816.2050%显然步长越小精度越好

4.

>>clear

>>symsxy%定义变量

>>int（（int（x^2+y^2）,x,y,1）,y,0,1）%求二重积分

ans=

1/3

>>x=0:

0.1:

1;%作出积分区域，蓝色区为积分区域

>>y=x;

>>plot（x,y）;

>>title（'积分区域'）

5.

>>clear

>>symsxyz%定义变量

>>int（int（int（'4*x*y*z',x,y,1）,y,0,1）,z,0,1）%求三重积分

ans=

1/4

>>clear%绘图

>>symsx1x2x3x4y1y2y3y4z1z2z3z4

>>[x1,y1]=meshgrid（0:

0.05:

1）;%生成矩形域格点坐标数组x1,y1

>>z1=x1.*y1;%生成对应的z1数组

>>mesh（x1,y1,z1）%作出z=xy图像

>>holdon%保持此图像不被下一个图像代替

>>[x2,y2]=meshgrid（0:

0.05:

1）;%生成矩形域格点坐标数组x2,y2

>>z2=zeros（size（x1））;%生成一个与x1同维的全零数组

>>mesh（x2,y2,z2）%作出z=0图像

>>[x3,z3]=meshgrid（0:

0.05:

1）;%生成矩形域格点坐标数组x3,z3

>>y3=x3;%生成对应的y3数组

>>mesh（x3,y3,z3）%作出y=x图像

>>[y4,z4]=meshgrid（0:

0.05:

1）;%生成矩形域格点坐标数组y4,z4

>>x4=ones（size（y4））;%生成一个与y4同维的全1数组

>>mesh（x4,y4,z4）%作出x=1图像。

此四个图像所包围的空间即为积分区域

实验日期2014-04-16

一、实验名称

MATLAB绘图

二、实验目的

（1）掌握绘制二维图形的常用函数。

（2）掌握绘制三维图形的常用函数。

（3）掌握绘制图形的辅助操作

三、实验原理

  1.绘制二维图形的常用函数

  plot函数绘制二维曲线，常用格式有：

plot（x）：

缺省自变量的绘图格式，x可为向量或矩阵。

plot（x,y）：

基本格式，x和y可为向量或矩阵。

plot（x1,y1,x2,y2,…）：

多条曲线绘图格式，在同一坐标系中绘制多个图形。

plot（x,y,‘s’）：

开关格式，开关量字符串s设定了图形曲线的颜色、线型及标示符号。

  2.绘制三维图形的常用函数

（1）三维曲线图——plot3函数

plot3（x1,y1,z1,'s1',x2,y2,z2,'s2'…）

（2）三维网格图——mesh函数为数据点绘制网格线：

mesh（z）——z为n×m的矩阵，x与y坐标为元素的下标位置

mesh（x,y,z）——x,y,z分别为三维空间的坐标位置

（3）三维曲面图——由surf函数完成的，用法和mesh类似。

3.绘制图形的辅助操作

  title——给图形加标题

xlable——给x轴加标注

ylable——给y轴加标注

text——在图形指定的任意位置加标注

gtext——利用鼠标将标注加到图形任意位置

gridon——打开坐标网格线

gridoff——关闭坐标网格线

legend——添加图例

axis——控制坐标轴刻度

4.特殊坐标系

极坐标图形——polar（theta,rho（i,:

））

四、实验内容

1、绘制

和它的导数在[0,4

]的曲线，并用适当的字体、大小标注其x轴、y轴及其函数。

2、采用两种不同方法绘制

在

的三维（透视）网格曲面。

（提示：

ezmesh;mesh;hidden）

3、绘制下列极坐标图形

r=3（1-cos）

r=2（1+cos）

r=2（1+sin）

r=cos3

r=exp（4）

4、在同一坐标内，分别用不同线型和颜色绘制曲线

和

，标记两曲线交叉点。

五、实验过程及结果（含源代码）

1.

>>clear

>>symsty

>>y=sqrt（3）/2*exp（-2*t）*sin（2*sqrt（3）*t+pi/6）;

>>DY=diff（y,'t'）;%求导

>>t=0:

pi/100:

4*pi;%先将变量t分成数组