行程问题及答案.docx
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行程问题及答案.docx
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行程问题及答案
行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
基本公式:
路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间关键问题:
确定行程过程中的位置
相遇问题:
速度和×相遇时间=相遇路程相遇路程÷速度和=相遇时间相遇路程÷相遇时间=速度和相遇问题:
(直线):
甲的路程+乙的路程=总路程相遇问题:
(环形):
甲的路程+乙的路程=环形周长追及问题:
追及时间=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及时间追及时间×速度差=路程差追及问题:
(直线):
距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追击时间追及问题:
(环形):
快的路程-慢的路程=曲线的周长流水问题:
顺水行程=(船速+水速)×顺水时间逆水行程=(船速-水速)×逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2水速:
(顺水速度-逆水速度)÷2流水速度+流水速度÷2水速:
流水速度-流水速度÷2关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。
列车过桥问题:
关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。
我们由浅入深看一些题目:
小学数学关于相遇问题的应用题
1、一列客车从甲地开往乙地,同时一列货车从甲地开往乙地,当货车行了180千米时,客车行了全程的七分之四;当客车到达乙地时,货车行了全程的八分之七。
甲乙两地相距多少千米?
2、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,2小时相遇。
相遇后两车继续前行,当甲车到达B地时,乙车离A地还有60千米,一直两车速度比是3:
2。
求甲乙两车的速度。
3、甲、乙两车分别同时从A、B两成相对开出,甲车从A城开往B城,每小时行全程的10%,乙车从B城开往A城,每小时行8千米,当甲车距A城260千米时,乙车距B地320千米。
A、B两成之间的路程有多少千米?
4、一客车和一货车同时从甲乙两地相对开出,经过3小时相遇,相遇后仍以原速继续行驶,客车行驶2小时到达乙地,此时货车距离甲地150千米,求甲乙两地距离?
5、甲乙两车同时分别从两地相对开出,5小时正好行了全程的2/3,甲乙两车的速度比是5:
3。
余下的路程由乙车单独走完,还要多少小时?
6、甲,乙两辆汽车同时从东站开往西站,甲车每小时比乙车多行12千米。
甲车行驶4.5小时到达西站后没有停留,立即从原路返回,在距西站31.5千米和乙车相遇。
甲车每小时行多少千米?
7、从甲地去乙地,如车速比原来提高1/9,就可比预定的时间提前20分钟赶到,如先按原速行驶72千米,再将车速比原来提高1/3,就比预定时间提前30分钟赶到。
甲,乙两地相距多少千米?
8、清晨4时,甲车从A地,乙车从B地同时相对开出,原计划在上午10时相遇,但在6时30分,乙车因故停在中途C地,甲车继续前行350千米在C地与乙车相遇,相遇后,乙车立即以原来每小时60千米的速度向A地开去。
问:
乙车几点才能到达A地?
9、AB两地相距60千米,甲车比乙车先行1小时从A地出发开往B地,结果乙车还比甲车早30分到达B地,甲乙两车的速度比是2:
5,求乙车的速度。
10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。
小刚每分钟走52米,小明每分钟走70米,两人在途中A处相遇。
若小刚提前4分钟出发,且速度不变,小明每分钟走90米,则两人仍在A处相遇。
小刚和小明两人的家相距多少米?
11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出,5小时后相遇,相遇后两车仍按原速度前进,当他们相距196千米时客车行了全程的三分之二,货车行了全程的80%,问货车行完全程用多少小时?
12、甲、乙两辆车同时分别从两个城市相对开出,经过3小时,两车距离中点18千米处相遇,这时甲车与乙车所行的路程之比是2:
3.求甲乙两车的速度各是多少?
13、甲乙两车同时从AB两地出发,相向而行,甲与乙的速度比是4:
5。
两车第一次相遇后,甲的速度提高了4分之一,乙的速度提高了3分之一,两车分别到达BA两地后立即返回。
这样,第二次相遇点距第一次相遇点48KM,AB两地相距多少千米?
14、甲从A地往B地,乙丙从B地行往A地,三人同时出发。
甲首先遇乙,15分钟后又遇丙。
甲每份走70m,乙走60m丙走50m。
问AB两地距离、
15、甲乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的二倍,甲到山顶时乙距离山顶还有500米,甲回到山脚时,乙刚好下到半山腰,求从山脚到山顶的路程。
16、汽车从A地到B地,如果速度比预定的每小时慢5千米,到达时间将比预定的多1/8,如果速度比预定的增加1/3,到达时间将比预定的早1小时。
求A,B两地间的路程?
17、两辆汽车同时从东、西两站相对开出,第一次在离东站45千米的地方相遇,之后两车继续以原来的速度前进,各自到站后都立即返回,又在距离中点东侧9千米处相遇,两站相距多少千米?
1、一列客车从甲地开往乙地,同时一列货车从甲地开往乙地,当货车行了180千米时,客车行了全程的七分之四;当客车到达乙地时,货车行了全程的八分之七。
甲乙两地相距多少千米?
180×(1÷
)÷
=360
2、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,2小时相遇。
相遇后两车继续前行,当甲车到达B地时,乙车离A地还有60千米,一直两车速度比是3:
2。
求甲乙两车的速度。
总路程:
60÷(3-2)×(3+2)=300
速度和:
300÷2=150
甲速度:
150×
=90
乙速度:
150-90=60
3、甲、乙两车分别同时从A、B两成相对开出,甲车从A城开往B城,每小时行全程的10%,乙车从B城开往A城,每小时行80千米,当甲车距A城260千米时,乙车距B地320千米。
A、B两成之间的路程有多少千米?
260÷(320÷80×10%)
=260÷
=650
4、一客车和一货车同时从甲乙两地相对开出,经过3小时相遇,相遇后仍以原速继续行驶,客车行驶2小时到达乙地,此时货车距离甲地150千米,求甲乙两地距离?
由题意可知客车行2小时的路程货车要3小时,则
客车行3小时的路程,货车要3×3÷2=4.5小时
货车速度:
150÷(4.5-2)=60
甲乙两地距离60×(4.5+3)=450
5、甲乙两车同时分别从两地相对开出,5小时正好行了全程的2/3,甲乙两车的速度比是5:
3。
余下的路程由乙车单独走完,还要多少小时?
速度和2/3÷5=2/15
乙速:
×
=1/20
乙行剩下1/3÷1/20=20/3
6、甲,乙两辆汽车同时从东站开往西站,甲车每小时比乙车多行12千米。
甲车行驶4.5小时到达西站后没有停留,立即从原路返回,在距西站31.5千米和乙车相遇。
甲车每小时行多少千米?
相遇时间:
31.5×2÷12=5.25小时
甲速:
31.5÷(5.25-4.5)=42千米
7、从甲地去乙地,如车速比原来提高1/9,就可比预定的时间提前20分钟赶到,如先按原速行驶72千米,再将车速比原来提高1/3,就比预定时间提前30分钟赶到。
甲,乙两地相距多少千米?
解1:
车速提高1/9,所用的时间就是预定时间的1÷(1+1/9)=9/10,所以预定时间是20÷(1-9/10)=200分钟。
速度提高1/3,如果行完全程,所用时间就是预定时间的1÷(1+1/3)=3/4,即提前200×(1-3/4)=50分钟。
但却提前了30分钟,说明有30÷50=3/5的路程提高了速度。
所以,全程是72÷(1-3/5)=180千米。
解2:
如将车速比原来提高9分之1,速度比变为10:
9,所以时间比为9:
10,原来要用时20/(10-9)*10=200分。
如一开始就提高3分之1,就会用时:
200*3/4=150分,这样提前50分,而实际提前30分,
所以72千米占全程的1-30/50=20/50,
所以全程72/(20/50)=180千米。
8、清晨4时,甲车从A地,乙车从B地同时相对开出,原计划在上午10时相遇,但在6时30分,乙车因故停在中途C地,甲车继续前行350千米在C地与乙车相遇,相遇后,乙车立即以原来每小时60千米的速度向A地开去。
问:
乙车几点才能到达A地?
4点到6时30分是2.5时
两车每小时共行全程的1÷(10-4)=1/6
2.5小时两车行全程的几分之几:
2.5×
=
全程:
350÷(1-
)=600千米
乙行全程所需时间:
600÷60=10小时
甲速:
600÷(10-4)-60=40千米
乙停留时间:
350÷40=8.75小时=8时45分
共用时间:
10时+8时45分=18时45分
到达时间:
4时+18时45分=22时45分
9、AB两地相距60千米,甲车比乙车先行1小时从A地出发开往B地,结果乙车还比甲车早30分到达B地,甲乙两车的速度比是2:
5,求乙车的速度。
乙行完全程时间:
1.5÷(5-2)×2=1
乙车速度:
60÷1=60千米
10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。
小刚每分钟走52米,小明每分钟走70米,两人在途中A处相遇。
若小刚提前4分钟出发,且速度不变,小明每分钟走90米,则两人仍在A处相遇。
小刚和小明两人的家相距多少米?
开始时,小刚和小明速度比为52:
70=26:
35,
则相遇时,小刚走的路程是两家距离的26/(26+35)=
;
后来,小明的速度变成原来的90/70=9/7倍,
即有:
相遇时小明行走的时间变成原来的
;
则从小明出发后到两人相遇,小刚走的路程是两家距离的
×
,
所以,小刚和小明的家相距52×4÷(
-
×
)=2196米。
11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出,5小时后相遇,相遇后两车仍按原速度前进,当他们相距196千米时客车行了全程的五分之三,货车行了全程的80%,问货车行完全程用多少小时?
客货速度比3/5:
80%=3:
4
全程长:
196÷(3/5+80%-1)=490
货车速度:
(490÷5)x4/(3+4)=56
货车行完全程需要多少小时:
490÷56=8.75
或
时间相同,路程与速度成正比
所以两车速度比,客车:
货车=3/5:
80%=3:
4
所以相遇时,客货行程之比=3:
4
所以货车行完全程要5÷4×(3+4)=8.75小时
12、甲、乙两辆车同时分别从两个城市相对开出,经过3小时,两车距离中点18千米处相遇,这时甲车与乙车所行的路程之比是2:
3.求甲乙两车的速度各是多少?
甲乙路程比是2:
3,速度比也应是2:
3
乙每小时多行路程为:
18*2÷3=12
甲速:
12÷(3-2)*2=24
乙速:
24÷2*3=36
13、甲乙两车同时从AB两地出发,相向而行,甲与乙的速度比是4:
5。
两车第一次相遇后,甲的速度提高了4分之一,乙的速度提高了3分之一,两车分别到达BA两地后立即返回。
这样,第二次相遇点距第一次相遇点48KM,AB两地相距多少千米?
速度比:
甲:
乙=4:
5
全程:
4+5=9份
第一次相遇甲走4份,距离A点4份
相遇后速度比:
甲:
乙=4X(1+1/4):
5x(1+1/3)=3:
4
乙到A点,甲走到:
(4/4)X3=3(份)
甲到B点,乙走:
(5-3)/3x4=8/3(份)
还剩下:
9-8/3=19/3(份)甲乙合走,需要:
(19/3)/(3+4)=19/21(时间)
19/21时间乙走:
19/21x4=76/21份
乙距A点:
76/21+8/3=132/21份
第二次相遇点距第一次相遇点:
132/21-4=48/21份
第二次相遇点距第一次相遇点48千米
每份:
48/(48/21)=21(千米)全程:
21x9=189(千米)
或
第一次相遇时,甲车行了全程的4/(4+5)=4/9即第一次相遇点距A地4/9第二次甲与乙的速度比为(4+4×1/4):
(5+5×1/3)=3:
4由于从第一次相遇到第二次相遇,两人合行2个全程,所以两人从第一次相遇到第二次相遇所需的时间为2/(3+4)=2/7乙从第一次相遇后又行了2/7×4=8/7第二次相遇点距A地8/7-4/9=44/63AB两地距离48/(44/63-4/9)=189千米
解:
将全部的路程看作单位1因为时间一样,路程比就是速度比所以相遇时,甲行了全程的1x4/(5+4)=4/9乙行了1-4/9=5/9此时甲乙提速,速度比由4:
5变为4(1+1/4):
5(1+1/3)=5:
10/3=3:
4甲乙再次相遇路程和是两倍的AB距离,也就是2此时第二次相遇,乙行了全程的2x4/(3+4)=8/7第二次相遇点的距离占全部路程的8/7-4/9=44/63距离第一次相遇点44/63-4/9=16/63AB距离=48/(16/63)=189千米
14、甲从A地往B地,乙丙从B地行往A地,三人同时出发。
甲首先遇乙,15分钟后又遇丙。
甲每份走70m,乙走60m丙走50m。
问AB两地距离、
解:
乙丙的速度差=60-50=10米/分
那么甲乙相遇时,距离丙的距离=(70+50)×15=1800米
那么甲乙相遇时用的时间=1800/10=180分钟
那么AB距离=(70+60)×180=23400米
15、甲乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的二倍,甲到山顶时乙距离山顶还有500米,甲回到山脚时,乙刚好下到半山腰,求从山脚到山顶的路程。
解:
下山速度是上山的2倍,那就假设一下,把下山路也看做上山路,长度为上山路的1/2速度都是上山的速度。
那么,原来上山的路程,占总路程的2/3,下山路程占总路程的1/3甲返回山脚,乙一共行了全程的:
2/3+1/3×1/2=5/6乙的速度是甲的5/6甲到达山顶,即行了全程的2/3,乙应该行了全程的:
2/3×5/6=5/9实际上乙行了全程的2/3减去500米所以全程为:
500÷(2/3-5/9)=4500米从山脚到山顶的距离为:
4500×2/3=3000米
一、因为甲乙二人下山的速度是各自上山速度的2倍。
所以乙上山500米的时间用来下山可以下到1000米。
二、假设甲乙两人同时下山,因为甲乙二人下山的速度是各自上山速度的2倍,所以,当甲到山脚时,乙应该距离山脚1000米。
又因为,甲到从山顶到山脚的时间,与乙从500米处上山+下至半山腰处时间相等;总上,半山腰处距山脚应该是500米+1000米=1500米,全程3000米
16、汽车从A地到B地,如果速度比预定的每小时慢5千米,到达时间将比预定的多1/8,如果速度比预定的增加1/3,到达时间将比预定的早1小时。
求A,B两地间的路程?
解:
将原来的时间看到单位1,那么每小时慢5千米,用的时间是1×(1+1/8)=9/8那么实际用的时间和原来的时间之比为9/8:
1=9:
8那么实际速度和原来速度之比为8:
9那么实际速度是原来速度的8/9那么原来的速度=5/(1-8/9)=45千米/小时第二次速度增加1/3,实际速度与原来的速度之比为为(1+1/3):
1=4:
3实际用的时间和原来的时间之比为3:
4那么实际用的时间是原来的3/4原来所用的时间为1/(1-3/4)=4小时AB距离=45×4=180千米
简析:
此题反复利用路程一定,时间和速度成反比,这一点在学习中要注意。
17、两辆汽车同时从东、西两站相对开出,第一次在离东站45千米的地方相遇,之后两车继续以原来的速度前进,各自到站后都立即返回,又在距离中点东侧9千米处相遇,两站相距多少千米?
解:
将全部路程看作单位1,第二次相遇时这辆车走了1又1/2还多9千米,我们拿从东站出来的车考虑在整个相遇过程中,两车一共走了3个全程第一次相遇时,从东站出来的车走了45千米那么整个过程走了45×3=135千米此时这辆车走了1.5倍的全程还多9千米所以全程=(135-9)/(1+1/2)=84千米
18、客货两车分别从甲乙两地相对开出,相遇后两车继续到达对方终点后,两车立即返回,又在途中相遇,两次相遇的地点相距3000米。
已知货车的速度是客车速度三分之二,求甲乙两地距离是多少米?
(要算式和解题过程)
解:
将全部的路程看作单位1货车和客车的速度比=2:
3第一次相遇货车行了全程的2/5,客车行了全程的3/5因为是2次相遇,所以两车走的路程一共是3倍甲乙两地距离,也就是1x3=3货车行了整个过程的3x2/5=6/5因此第二次相遇是在距离甲地6/5-1=1/5处第一次相遇是在距离甲地3/5处那么两处相距3/5-1/5=2/5甲乙两地距离3000/(2/5)=7500米
二、追及问题
1、已知甲乙两船的船速分别是24千米/时和20千米/时,两船先后从汉口港开出,乙比甲早出1小时,两船同时到达目的地A,问两地距离?
解:
距离差=20×1=20千米速度差24-20=4千米/小时甲追上乙需要20÷4=5小时两地距离=24×5=120千米
2、某校组织学生排队去春游,步行速度为每秒1米,队尾的王老师以每秒2.5米的速度赶到排头,然后立即返回队尾,共用10秒,求队伍的长度是多少米?
解:
速度差=2.5-1=1.5米/秒速度和=1+2.5=3.5米/秒设队伍长度为a米a/1.5+a/3.5=10
5a=3.5x1.5x10
a=10.5米
或者这样做第一次追及问题,第二次相遇问题速度比=1.5:
3.5=3:
7我们知道,路程一样,速度比=时间的反比因此整个过程,追及用的时间=10x7/10=7秒那么队伍长度=1.5x7=10.5米
假设队伍长为1
老师从队尾走到队头用的时间是总时间的1÷(2.5-1)=
再从队头走到队尾用的时间是总时间的1÷(2.5+1)=
总时间是10秒那么总路程即队伍长是10÷(
+
)=10.5米
3、在一个圆形跑道上,甲从A点,乙从B点同时出发反向而行,6分钟后两人相遇,再过4分钟甲到B点,又过8分钟两人再次相遇,甲、乙环形一周各需多少分钟?
解:
将全部路程看作单位1第一次相遇后,再一次相遇,行驶的路程是1那么相遇时间=4+8=12分钟甲乙的速度和=1/12,也就是每分钟甲乙行驶全程的1/126分钟行驶全程的1/12×6=1/2也就是说AB的距离是1/2那么6+4=10分钟甲到达B,所以甲的速度(1/2)/10=1/20甲环形一周需要1/(1/20)=20分钟乙的速度=1/12-1/20=1/30乙行驶全程需要1/(1/30)=30分钟
4、甲乙两人环湖同向竞走,环湖一周是400米,乙每分钟走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍,问甲什么时候追上乙?
解:
设甲用a分钟追上乙(80×5/4-80)×a=400(100-80)×a=400a=400/20a=20分算术法速度差=80×(5/4-1)=20米/分追及时间=400/20=20分甲用20分钟追上乙
5、猎犬发现距它8米远的地方有只奔跑的野兔子,立刻追。
猎犬包6步的路程野兔要跑11步,但是兔子跑的4步的时间猎犬只能奔跑3步。
猎犬至少要跑多少米才能追上野兔?
解:
将猎犬跑一步的距离看作单位1(或者设一步的距离为a米)那么野兔跑一步的距离为6/11根据题意兔子跑4步的距离=4×6/11=24/11猎犬跑3步的距离=1×3=3那么猎犬和野兔的速度差=3-24/11=9/11所以猎犬追上野兔的时间=8/(9/11)×1=88/9米(必须乘以单位1,否则算12式没有意义)
6、一只野兔跑出85步猎犬才开始追它,兔子跑8步的路程猎犬只需跑3步,猎犬跑4步的时间野兔能跑9步。
问猎犬至少要跑多少步才能追上兔子?
解:
将猎犬一步的距离看作单位1(或者设猎犬一步距离为a)那么兔子一步的距离=3/8(3/8a)二者的速度差=1×4-3/8×9=32/8-27/8=5/8那么猎犬需要跑85/(5/8)×1=136步
三、特殊的追及问题我们在日常做题的过程中,经常会遇到求几点几分时针和分针所称的角度,还有时针和分针所成多少度角时,是几点几分。
解此类题,似乎与追及问题格格不入,但是我们恰恰可以看作是追及问题的一个变形。
首先我们对钟面熟悉以后,知道钟面被分作60个小格,每个小格所对的圆心角的度数=360/60=6度,分针每分钟走1格,时针每分钟走5/60=1/12格,由此我们在解题之前就知道了这些隐含条件,就可以把钟面看作是环形跑道,时针速度慢,分针速度快,在解题之前,大致画一个图形,就知道大概角度,然后判断路程差为多少,因为速度差我们已经知道了,是1-1/12=11/12格,将来我们学会了相对运动,就可以把时针看作参照物,分针的速度变为11/12格/分,问题变得更加简单。
看下面的例题:
1、7点与8点之间,时针与分针成30度角的时刻?
钟面一共60格,一定要对钟面熟悉每一格对应的度数360/60=5度分针每分钟走1格,时针每分钟走5/60=1/12格此时我们就把分针和时针的运动看作追及问题分针的速度快,是1格/分,时针的速度慢是1/12格/分速度差=1-1/12=11/12格/分此时如果看作相对运动,时针静止,那么分针的速度就是11/12格/分此题中,7点时,分针和时针相差35格,题目要求成30度角及相差30/6=5格时钟表的时间,那就是分针以11/12格/分的速度追赶时针,相差5格,也就是路程上追上了30格,求的就是分针以11/12格/分走30格的时间,第二次成30度就是分针超过时针5格即分针以11/12格/分的速度走的35+5=40格的时间算术式如下:
第一次成30度时,时针和分针的路程差=60×30/360=5格7点时时针和分针的距离是35格第一次(35-5)/(1-1/12)=30x12/11=360/11分≈32分44秒第二次(35+5)/(1-1/12)=40x12/11=480/11分≈43分38秒方程:
举一例设a分钟分针和时针第一次成30度分针a分走a格,时针a分走a/12格开始时的路程差=35格那么a/12+35=a+5a=360/11分≈32分44秒第二
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