新北师大八下第四章因式分解教案.docx

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新北师大八下第四章因式分解教案

第四章因式分解

1．因式分解

总体说明

因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。

因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．

教学目标是：

1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．

2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．

3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。

4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．

情感与态度：

培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

重点：

因式分解的概念

难点：

难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：

复习回顾，比较探究（数→形→式）概念，引出概念（确认概念属性），类比练习，反馈练习，小结

第一环节复习回顾：

活动内容：

下题简便运算怎样进行

问题1：

736×95+736×52，-2.67×132+25×2.67+7×2.67

设计意图：

观察实例，分析共同属性：

解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，此时学生对因式分解还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在设计问题情景，复习知识点与计算，引入新课，让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。

第二环节比较探究：

活动内容：

问题3：

（1）993-99能被99整除吗？

为了回答这个问题，你该怎样做？

把你的想法与同学交流。

993-99=99×992-99=99（992-1）

∴993-99能被99整除

（2）993-99能被100整除吗？

为了回答这个问题，你该怎样做？

把你的想法与同学交流。

小明是这样做的：

993-99=99×992－99×1=99（992－1）

=99（99+1）（99-1）

=99×98×100

所以993-99能被100整除

活动目的：

以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。

这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。

想一想：

（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？

（2）请你说明小明每一步的依据。

（3）993-99还能被哪些正整数整除？

为了回答这个问题，你该怎做？

与同学交流。

（老师点拨：

回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？

）

小结：

以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。

可以了解:

993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.

将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?

学生探究发现：

用a表示任意一个大于1的整数，则：

①你能理解吗?

你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？

②这样变形是为了达到什么样的目的？

活动目的：

从知识性的问题过度到思考性的问题，巧妙设问：

“将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?

”引发学生联想到用字母表示数的方法，得出

，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是对学生思维能力水平的一次提高，同时很自然的从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识。

议一议：

经历从分解因数到分解因式的类比过程。

探究概念本质属性。

第三环节：

引出概念：

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

第四环节：

类比练习

活动内容：

计算下列式子：

（1）3x（x-1）=；

（2）m（a+b-1）=；

（3）（m+4）（m-4）=；

（4）（y-3）2=；

根据上面的算式填空：

（1）3x2-3x=；

（2）ma+mb-m=;

（3）m2-16=；

（4）y2-6y+9=．

思考：

因式分解与整式乘法有什么关系？

举例说明

活动目的：

通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。

由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．

第五环节反馈练习

活动内容：

1、看谁连得准

x2-y2.（x+3）2

9-25x2y（x-y）

+6x+9（3-5x）（3+5x）

xy-y2（x+y）（x-y）

2、下列哪些变形是因式分解，为什么？

（1）（a+3）（a-3）=a2-9

（2）m2-4=（m+2）（m-2）

（3）a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1

（4）2πR+2πr=2π（R+r）

活动目的：

通过学生独立思考和讨论探究，从具体实例中进一步理解概念，抽象出新概念的本质属性加深对新概念的掌握。

第六环节：

小结

活动内容：

（1）你能说说什么是分解因式吗？

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

（2）应该怎样认识“因式分解”？

分解因式与整式乘法是互逆过程.

分解因式要注意以下几点:

1.分解的对象必须是多项式.

2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.

3.要分解到不能分解为止.

活动目的：

回顾、总结、提高知识的系统性。

巩固练习：

课本第94页习题2.1第3，4,5题

四、教学反思

2．提公因式法

（一）

教学目标是：

1.使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。

2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。

3.通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识。

教学重点：

因式分解的概念及提公因式法的应用。

教学难点：

正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：

温故知新——想一想——议一议——试一试——做一做——想一想——反馈练习．

第一环节温故知新

活动内容：

计算：

采用什么方法？

依据是什么？

活动目的：

旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。

第二环节想一想

活动内容：

多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？

多项式3x2+x呢？

多项式mb2+nb–b呢？

结论：

多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．

活动目的：

在学生能顺利地寻找数的公因数之后，再引导学生采用类比的方法在多项式中寻找相同的因式．

第三环节议一议

活动内容：

多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？

那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？

结论：

（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．

活动目的：

公因式由简单到复杂，由于第一个多项式提供的比较简单，寻找的公因式不具备归纳的条件，而后面所提供的寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式只是多了含字母y的因式，对比前一个公因式，通过寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，可顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力

具备了归纳出怎样寻找多项式各项公因式的条件，培养学生的初步归纳能力．

第四环节试一试

活动内容：

将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

（1）ab+ac

（2）x2+4x（3）mb2+nb–b

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

活动目的：

让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．

第五环节做一做

活动内容：

将下列多项式进行分解因式：

（1）3x+

（2）7x

–21

（3）8a3b2–12ab3c+ab（4）–24x3+12x2－28x

先让学生思考这些问题，然后教师在教学中注意讲清确定公因式的具体步骤，从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析；讲完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：

如果提出公因式，另一个因式是否还有公因式？

从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。

最后学生归纳：

提取公因式的步骤：

（1）找公因式；

（2）提公因式．

易出现的问题：

（1）第二题只提出7x作为公因式

（2）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；

（3）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．

教师提醒：

（1）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（2）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；

（3）如果多项式的首项为“–”时，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；

（4）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．

活动目的：

根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．

第六环节：

想一想：

提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？

活动目的：

通过学生的回顾与思考，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解。

第七环节：

反馈练习

活动内容：

1、找出下列各多项式的公因式：

（1）4x+8y

（2）am+an（3）48mn–24m2n3（4）a2b–2ab2+ab

2.把下列各式因式分解：

（随堂练习）

活动目的：

通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．通过查缺补漏强化学生确定公因式的方法及提公因式法的步骤，能熟练地利用提公因式法分解因式。

四、教学反思

2．提公因式法

（二）

教学目标

1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项

的公因式。

2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。

3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。

四、教学重难点

教学重点:

用提公因式法把多项式分解因式

教学难点:

探索多项式因式分解方法的过程

五、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：

回顾与思考——例题讲解——做一做——例题讲解——反馈练习——问题解决——小结思考．

第一环节回顾与思考：

复习提公因式法及注意事项

活动内容：

把下列各式因式分解：

把下列各式分解因式：

（1）

（2）

+9b

（3）

（4）

活动目的：

回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．以演板的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤。

第二环节探索新知（例题讲解）

活动内容：

因式分解：

（1）a（x–3）+2b（x–3）

（2）

活动目的：

引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x–3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x–3），而第二题公因式是y（x+1）,并能顺利地进行因式分解．

第三环节练一练

1、x（a+b）+y（a+b）2、3a（x-y）-（x-y）

3、6（p+q）2-12（q+p）4、a（m-2）+b（2-m）

做一做

活动内容：

在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：

（1）2–a=（a–2）

（2）y–x=（x–y）

（3）b+a=（a+b）

（4）（b–a）2=（a–b）2

（5）–m–n=（m+n）

（6）–s2+t2=（s2–t2）

活动目的：

培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．

此时由学生归纳所得规律：

（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；

（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；

（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．

第四环节例题讲解

活动内容：

将下列各式因式分解：

（1）a（x–y）+b（y–x）

（2）3（m–n）3–6（n–m）2

活动目的：

有了前面所得规律，学生易观察到多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；再把相同的多项式作为公因式提取出来．进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．

第五环节反馈练习

活动内容：

2、把下列各式因式分解：

（1）x（a+b）+y（a+b）

（2）3a（x–y）–（x–y）

（3）6（p+q）2–12（q+p）（4）a（m–2）+b（2–m）

（5）2（y–x）2+3（x–y）（6）mn（m–n）–m（n–m）2

活动目的：

学生对于符号问题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两个多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．

第六环节问题解决：

活动内容：

某大学有三块草坪，第一块草坪面积为

，第二块草坪面积为

，第三块草坪面积为

，求这三块草坪的总面积。

活动目的：

通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．

第七环节小结思考

活动内容：

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

活动目的：

学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，掌握类比等数学思想方法．

通过学生的回顾与反思，强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比数学思想的理解．

作业练习：

课本第98页习题4．3第1，2题．

六、教学反思

3．公式法

（一）

教学目标为：

1．知识与技能：

（1）理解平方差公式的本质：

即结构的不变性，字母的可变性；

（2）会用平方差公式进行因式分解；

（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解

2．过程与方法：

经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．

3．情感与态度：

在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。

三、教学过程分析

本节课设计了八个教学环节：

复习回顾——探究新知——范例学习——落实基础——能力提升——巩固练习——联系拓广——自主小结．

第一环节复习回顾

活动内容：

填空：

（1）（x+5）（x–5）=；

（2）（3x+y）（3x–y）=；

（3）（3m+2n）（3m–2n）=．

它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

活动目的：

学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．

注意事项：

由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．

第二环节探究新知

活动内容：

谈谈你的感受。

结论：

整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。

这种分解因式的方法称为运用公式法。

活动目的：

引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。

注意事项：

能正确理解两者的联系与区别即可。

活动内容：

说一说找特征

（1）公式左边：

（是一个将要被分解因式的多项式）

★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（　）２－（　）２的形式。

（2）公式右边:

（是分解因式的结果）

★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。

试一试写一写

下列多项式能转化成（　）２－（　）２的形式吗？

如果能，请将其转化成（　）２－（　）２的形式。

活动目的：

让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行实例练习。

注意事项：

在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论。

同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释。

第三环节范例学习

活动内容：

例1把下列各式因式分解：

（1）25–16x2

（2）9a2–

活动目的：

教师例题讲解，明确思维方法，给出书写范例。

注意事项:

使学生明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“b”．

第四环节落实基础

活动内容：

1、判断正误：

（1）x2+y2=（x+y）（x–y）（）

（2）x2–y2=（x+y）（x–y）（）

（3）–x2+y2=–（x+y）（x–y）（）

（4）–x2–y2=–（x+y）（x–y）（）

2、把下列各式因式分解：

活动目的：

通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．

注意事项：

落实基础此环节的练习设置均比较基础，就作为全体学生完成的目标．最后一题分解因式强调分解需彻底。

第五环节能力提升

活动内容：

例2把下列各式因式分解：

活动目的：

进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。

同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。

总结分解因式的一般步骤：

一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。

注意事项：

在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况。

第六环节巩固练习

教学内容：

1.把下列各式分解因式：

　　　　　　2.简便计算

活动目的：

本课时设置的第二个练习反馈环节，旨在训练学生对整体换元思想的实际应用能力。

注意事项：

在教师的引导下，规范书写步骤，避免在化简过程中出现不必要的错误．

第七环节联系拓广

教学内容：

例3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．

问题解决：

如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是Rcm和rcm，求它们所围成的环形的面积。

如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？

活动目的：

本课时的第3个例题讲解环节，旨在对因式分解进行实际应用问题讲解，同时设计了一道同类的同心圆面积的求解进而了解学生掌握情况。

注意事项：

在实际应用中，部分学生对于例题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来．

第八环节自主小结

活动内容：

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

活动目的：

通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．

注意事项：

学生认识到了以下事实：

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；

（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

课后作业：

完成课本习题

教学设计反思

3．公式法

（二）

教学目标为：

1．知识与技能：

使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．

2．过程与方法：

经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。

3．情感与态度：

培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：

复习回顾——学习新知——落实基础——范例学习——随堂练习——联系拓广——自主小结．

第一环节复习回顾

活动内容：

活动目的：

回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．

注意事项：

在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．

第二环节学习新知

活动内容：

活动目的：

总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如

的多项式称为完全平方式．

注意事项：

举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

第三环节落实基础

活动内容：

1．判别下列各式是不是完全平方式．

2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．

结论：

找完全平方式可以紧扣下列口诀：

首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；

完全平方式可以进行因式分解，

a2–2ab+b2=（a–b）2a2+2ab+b2=（a+b）2

活动目的：

加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫．

注意事项：

由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．

第四环节范例学习

活动内容：

例1．把下列各式因式分解：

活动目的：

（1）培养学生对平方差公式的应用能力；

（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．

注意事项：

灵活掌握完全平方式的特征成为运用公式法进行分解因式的关键，在运用整体法时，注意去括号后的符号变化和系数变化。

活动内容：

例2．把下列各