第12讲 对称性问题解析版.docx
- 文档编号:9559470
- 上传时间:2023-02-05
- 格式:DOCX
- 页数:31
- 大小:48.20KB
第12讲 对称性问题解析版.docx
《第12讲 对称性问题解析版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第12讲 对称性问题解析版.docx(31页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第12讲对称性问题解析版
第12讲对称性问题
一、考情分析
通过近几年各地高考试题可以发现,对对称性问题的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.
二、经验分享
1.对于圆锥曲线的相交的动点问题,设出交点,由交点(或韦达定理)结合条件解决问题,在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手,解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。
2.中点弦问题(点差法)的呈现有多种形式,处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化,常规的思路是:
联立方程组消去成y,得到一个二次方程,设交点,韦达定理代人垂直的数量积坐标公式整理求解。
3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。
三、题型分析
(一)中点弦问题(点差法)
例1.已知椭圆
x2+y2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标
a2b2
为(1,-1),则E的方程为
A.x2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+y2=1D.x2
y21
4536
3627
2718
+=
189
【答案】D
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=-2,
x2y2x2y2
1+1=1①2+2=1②
a2b2a2b2
①-②得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
y-y
a2
b2(x
b2
+x)b2
0+11
b21
22222
∴kAB=12=-12=
,又kAB=
=,∴
=,又9=c=a
-b,解得b=9,a=18,
x-xa2(y+y)a2
3-12
a22
12
+=
x2y2
∴椭圆方程为
189
12
1,故选D.
【变式训练1】过点M(1,1)作斜率为-1的直线与椭圆C:
x
y2
+
2
=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M
2
是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.
a2b2
2
【答案】
2
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得
(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,根据题意有x+x
=2,y+y
=2,
a2
且y1-y2
=-1,所以2
b21212
+2⨯(-1)=0,得a2=2b2,整理a2=2c2,
x-x2a2b22
12
2
所以e=.
2
【变式训练2】(2011陕西)设椭圆C:
x2+y2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为3
a2b25
(Ⅰ)求C的方程;
4
(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为
5
的直线被C所截线段的中点坐标.
【解析】(Ⅰ)将(0,4)代入C的方程得16=1,∴b=4
b2
c3a2-b29
又e==得=
a5
即1-16=9
a225
a225
,∴a=5
+=
x2y2
∴C的方程为1.
2516
(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为4
5
的直线方程为y=
4(x-3),
5
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程y=
4(x-3)代入C的方程,得x
x-32
()
+=1,
2
2
52525
即x2-3x-8=0,解得x
=3-
1
2
41,x
=3+41,
2
∴AB的中点坐标x=x1+x2=3,
22
25
⎝⎭
y=y1+y2=2(x+x-6)=-6,即中点为⎛3,-6⎫.
25125ç⎪
(二)点关于直线对称
+
2
2
2
2
例2.(2015安徽)设椭圆E的方程为xy=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),
ab
点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足BM
(Ⅰ)求E的离心率e;
=2MA,直线OM的斜率为5.
10
(Ⅱ)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为7,求E
2
的方程.
21
【解析】
(1)由题设条件知,点M的坐标为(3a,3b),又kOM
=,从而b=
5
5
102a10
,进而得
a2-b2
c25
a=5b,c==2b,故e==.
a5
(2)由题设条件和(I)的计算结果可得,直线AB的方程为
x+y=1,点N的坐标为(
5b
b
5b,-1b),
22
(x,)
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为7,则线段NS的中点T的坐标为(5b+x1,-1b+7).又
124244
⎪42
⎧5b+x1
⎪
-1b+7
+44=1
⎪
点T在直线AB上,且kNS⋅kAB=-1,从而有⎨
⎪
5
⎩
2
⎪
5bb
7+1b
5
5b
22=
,解得b=3,所以b=3,
故椭圆E的方程为
x2y2
+=
1.
459
⎪⎪x1-
2
【变式训练1】已知椭圆C:
x2+y2=1(a>b>0)的离心率为
,点P(0,1)和点
a2b22
A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.
(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);
(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:
y轴上是否存在点Q,使得
∠OQM=∠ONQ?
若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.
⎧b=1,
⎪
⎪c2
a
【解析】(Ⅰ)由题意得⎨=
⎪2
解得a2=2.故椭圆C的方程为x
2
2
+y2=1.
⎪⎩a2=b2+c2.
设M(xN,0).因为m≠0,所以-1 直线PA的方程为y-1= n-1x, m 所以x=m ,即M(m,0). M1-n 1-n m (Ⅱ)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n),设N(xN,0),则xN=1+n. “存在点Q(0,yQ)使得∠OQM=∠ONQ等价”, “存在点Q(0,y )使得 =”即y满足y 2=xx. OM OQ OQ ON QQQMN mmm22 因为xM =1-n,xN=1+n,2+n =1, 2 所以yQ=xMxN m2 == 1-n22. 2 2 所以yQ=或yQ=-. 故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ. 点Q的坐标为(0,2)或(0,- 2). (三)圆锥曲线的光学性质 例3.从P(- 3,4) 出发的一条光线经x轴反射后经过椭圆x 2+y2= 4 1的上顶点,以该椭圆的右顶点A为圆心, r(r>0)为半径的圆与反射光线没有公共点则r的取值范围为. ⎛45⎫ 5 【答案】ç0,⎪ ⎝⎭ 【解析】由已知,P(-3,4)关于x轴的对称点P'(-3,-4)在反射光线所在直线上,又椭圆的上顶点为B(0,2),所以反射光线所在的直线方程P'B为: 2x-y+2=0;又以右顶点A(1,0)为圆心,r为半径的圆A方程为: 222 4⎛45⎫ (x-1)+y=r,因为圆A与直线P'B无公共点,则r< ,所以r的取值范围为ç0,⎪。 5⎝5⎭ 【变式训练1】.从P(- 3,4) 出发的一条光线经x轴反射后经过椭圆x 2+y2= 4 1的上顶点,以该椭圆的右顶 点A为圆心,r(r>0)为半径的圆与反射光线没有公共点则r的取值范围为. ⎛45⎫ 5 【答案】ç0,⎪ ⎝⎭ 【解析】由已知,P(-3,4)关于x轴的对称点P'(-3,-4)在反射光线所在直线上,又椭圆的上顶点为B(0,2),所以反射光线所在的直线方程P'B为: 2x-y+2=0;又以右顶点A(1,0)为圆心,r为半径的圆A方程为: 222 4⎛45⎫ (x-1)+y=r,因为圆A与直线P'B无公共点,则r< ,所以r的取值范围为ç0,⎪。 5⎝5⎭ 四、迁移应用 1. 2 若一个圆x2+y2-4x-4y-24=0上至少有三个不同的点到直线l: y=x+b的距离为2 则b的取 值范围是() A.[-1,1] B.[-4,4] C.[-8,8] D.[2,+∞) 【答案】B 2 , 【解析】圆x2+y2-4x-4y-24=0⇒(x-2)2+(y-2)2=32所以圆心和半径分别为(2,2)、4 2 要求圆上至少有三个不同的点到直线l: y=x+b的距离为2 b 2 2 则圆心到直线的距离d=≤2 ⇒-4≤b≤4,故选: B. -x2+4x 2.若曲线y=和直线l: y=kx+4-4k有两个交点,则实数k的取值范围是() 3 A.(,1) 4 3 B.(,1] 4 C.(,+∞)4 D.[1,+∞) 3 【答案】B -x2+4x 【解析】由题意可得,直线l过点定点P(4,4),y=⇒(x-2)2+y2=4(y≥0)相切时圆心(2,0) 4-2k k2+1 到直线l的距离d==2⇒k=3,直线l过坐标原点时k=1,因此3 B. 44 3.已知∆ABC是边长为2的正三角形,P是平面ABC内一点,则PA⋅(PB+PC)的最小值是() A.-2 【答案】B B. -3 2 C. -4 3 D. -1 【解析】以BC所在的直线为x轴,以BC边上的高所在在直线为y轴建立平面直角坐标系,则 A(0, 3),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则PB+PC=(-2x,-2y),PA=(-x, -y), 3 ∴PA⋅(PB+PC)=2x2+2y2-2 ⎛⎫ 2 3 2 - 3 3y=2x+2çy-⎪ ⎝2⎭2 当x=0,y=3时,PA⋅(PB+PC)取得最小值-3。 故选B. 22 2 4.已知双曲线C: x a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于 两点P,Q,若∠PAQ=60o,且OQ=3OP(其中O为坐标原点),则双曲线C的离心率为() A.72 B. 37C. 7 D.2 7 7 【答案】A b 【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y= ()⎛bm⎫(m>0),由OQ=3OP,可得 x,Aa,0,Pçm,⎪ a⎝a⎭ 4m+ 2 4b2m2 a2 ⎛3bm⎫c⎛2bm⎫ Qç3m, ⎝ ⎪,圆的半径R=PQ= a⎭ =2m⋅,PQ的中点为Hç2m, a⎝ ⎪,由AH⊥PQ, a⎭ 2bm 可得 =-a ,解得: m= a,R=a ab d= ,点A到渐近线的距离= ab,则 a(2m-a)b 3 2 2c2c a2+b2c R2-d2 PQ=2 =R,即d= R,即有ab= 3 2c ⋅a2 3 2c ⇒b= a ,解得e= 3 2 。 故选A。 7 2 1y2+x2 =>> 5.已知离心率为2的椭圆a2 b21(ab 0)内有一个内接三角形ABC,O为坐标原点,边AB、BC、 AC的中点分别为D、E、F,直线AB、BC、AC的斜率分别为k1,k2,k3,且均不为0,若直线OD、OE、 OF斜率之和为1,则1+1+ k1k2 1=() k3 A.-43 B.43 C.-34 D.34 【答案】C 【解析】椭圆焦点在y轴上,由e=c=1 可得: a2=4 a2b23 由题意可知: k1k =-a2=-4,KCDb23 2K =-a2=-4,kkb3 =-a2=-4 OFb23 OE23 可得: 1+1+1 =-3(k+k+k)=-3 k1k2k3 4ODOEOF4 6.已知抛物线C: y2=2px的焦点F与双曲线4x2-4y2=1的右焦点相同,过点F分别做两条直线l,l, 312 直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2抛物线C交于D,E两点,若l1与l2斜率的平方和为1,则AB+DE 的最小值为() A、16B、20C、24D、32 【答案】: C 【解析】由双曲线方程可得: 焦点坐标为(1,0)所以: 抛物线C: y2=4x 12 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中: k2+k2=1.L1: y=k1(x-1),L2: y=k2(x-1) ⎧⎪y=k1(x-1)44 1 由⎨ ⎪⎩y 2=4x 可得: k1x2-(2k1+4)x+k2=0所以: x1+x2=2+2 k 12 1 同理: x3+x4=2+ k22 k 2 |AB|+|DE|=2p+x1+x2+x3+x4=4+2+4 1 +2+4 k22 =8+4 12 k2k 2,则k2+k2=1≥2 k2k2 12 所以: k2k 2≤1 故得(|AB|+|DE|)的最小值为24。 124 + 2 2 2 2 7.设椭圆E的方程为xy=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为 ab (0,b),点M在线段AB上,满足BM =2MA,直线OM的斜率为. 5 10 (Ⅰ)求E的离心率e; (Ⅱ)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为7 2 5 5 的方程. ,求E 21 【解析】 (1)由题设条件知,点M的坐标为 ,又k=,从而b =,进而得 a=5b,c= a2-b2 c25 =2b,故e==. (a,b) 33 OM10 2a10 a5 (2)由题设条件和(I)的计算结果可得,直线AB的方程为 x+=1,点N的坐标为( 5b y b 5b,-1b), 22 75x17 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为(x,),则线段NS的中点T的坐标为(b+1,-b+).又 124244 ⎪42 ⎧5b+x1 ⎪ -1b+7 +44=1 ⎪ 点T在直线AB上,且kNS⋅kAB=-1,从而有⎨ ⎪ 5 ⎪ 5bb 7+1b 5 5b 22= ,解得b=3,所以b=3, ⎩ 2 ⎪⎪x1- += 2 2 故椭圆E的方程为xy1. 459 8.已知椭圆 x2+2 y 2 =1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+1对称. 2 (Ⅰ)求实数m的取值范围; (Ⅱ)求∆AOB面积的最大值(O为坐标原点). 【解析】(Ⅰ)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-1x+b. m ⎧y=-1x+b 由⎪m消去y,得(1+1)x2-2bx+b2-1=0. ⎨x2 2m2m ⎪+y2=1 ⎩⎪2 因为直线y=-1 m x+b与椭圆 x2+2 y 2 =1有两个不同的交点, 所以Δ=-2b2+2+4 m2 >0,① 2mbm2b 设M为AB的中点,则M(m2+2,m2 +2), 1m2+2 代入直线方程y=mx+解得b=-.② 22m2 6 6 由①②得m<-或m>. 33 (Ⅱ)令t=1∈(-6,0)(0,6),则 m22 |AB|= t2+1⋅ t2+1 2 , -2t4+2t2+3 2 2 t2+1 t2+1 且O到直线AB的距离d=. 设ΔAOB的面积为S(t),所以 1 2 -2(t2-1)2+2 2 S(t)=1|AB|⋅d=≤2, 22 当且仅当t2=1时,等号成立. 2 2 故ΔAOB面积的最大值为. 2 2 9.(2017天津)设椭圆x a2 y21 +=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为 b22 .已知A是抛物 线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为1. 2 (Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程; (Ⅱ)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相 交于点D.若△APD的面积为6,求直线AP的方程. 2 【解析】(Ⅰ)设F的坐标为(-c,0).依题意,c=1,p=a,a-c=1,解得a=1,c=1,p=2, 于是b2=a2-c2=3. 4 24y2 a2222 2 所以,椭圆的方程为x+=1,抛物线的方程为y 3 =4x. 2 (Ⅱ)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P(-1,- ),故 m 224y2 Q(-1,).将x=my+1与x+=1联立,消去x, m 整理得(3m 2+4)y2 3 +6my=0,解得y=0,或y= -6m 3m2+4. -3m2+4 43m 2 由点B异于点A,可得点B(3m2+, -6m). +4 2-6m2-3m2+42 由Q(-1,m),可得直线BQ的方程为(3m2+4 -)(x+1)-( m 3m2+4 +1)(y- )=0,令y=0,解得 m 2-3m2 x=3m2+2, 2-3m2 2-3m2 6m2 故D(,0).所以|AD|=1-=. 3m2+23m2+23m2+2 6 6 16m22 又因为△APD的面积为 ,故⨯⨯=, 223m2+2|m|2 6 整理得3m2-2 |m|+2=0,解得|m|= ,所以m=±6. 6 33 所以,直线AP的方程为3x+ 6y-3=0,或3x- 6y-3=0.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第12讲 对称性问题解析版 12 对称性 问题 解析