三角形中的边角关系命题与证明学习指导.docx
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三角形中的边角关系命题与证明学习指导
《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》
学习要求:
1•理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。
会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和2•掌握三角形的分类,理解并掌握三角形的三边关系。
3.掌握三角形内角和定理及推论,三角形的外角性质与外角和。
4•了解三角形的稳定性。
知识要点:
一、三角形中的边角关系
1.三角形有三条内角平分线,三条中线,三条咼线,它们都相交于一点。
注意:
三角形的中线平分三角形的面积。
2.三角形三边间的不等关系:
三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
其简便方
注意:
判断三条线段能否构成一个三角形时,就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边,
法
是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。
3.三角形各角之间的关系:
1三角形的内角和定理:
三角形的三个内角和为180°。
2三角形的外角和等于360°(每个顶点处只取一个外角);
3三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
4三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.三角形的分类
①三角形按边的关系可以如下分类:
直角三角形三角形[斜三角形』
②三角形按角的关系可以如下分类:
;Rt:
(有一个角为直角的三角形)锐角三角形(三个角都是锐角的三角钝角三角形(有一个角为钝角的三角
三角形的三边关系
欝砖的铺设
->三角形的内角和->
I多边形1—1多辺形的内角和
外角性质
多城
外角和
用正多
边形铺,|荷地面
二、命题与证明1.判断一件事情的句子是命题,疑冋句、感叹句不是命题,计算不是命题,画法不是命题。
2.命题都可以写成:
“如果……,那么……。
”的形式。
为了语句通顺往往要加“字”,但不改变顺序。
3.命题由题设、结论两部分组成。
“如果”后面的是题设,“那么”后面的是结论。
4.命题分为真命题和假命题。
真命题需要证明,假命题只要举出一个反例。
5.将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。
逆命题可真可假。
6.公理和定理都是真命题,公理不需要证明,定理必须证明。
7•定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理,定理不一定有逆定理。
逆定理一定是真命题。
&命题的证明方法和步骤。
证明需要掌握的判定与性质:
(1)两直线平行同位角相等。
同位角相等两直线平行。
(2)两直线平行内错角相等、同旁内角互补。
内错角相等两直线平行。
同旁内角互补两直线平行。
(3)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(4)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
(5)三角形内角和定理和推论。
三角形中位线定理。
(6)三角形全等:
“SSS、“SAS、“ASA。
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
(7)等腰三角形的判定与性质。
(8)直角三角形的判定与性质。
9.反证法
①假设,②推理,③矛盾,④结论。
《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》练习题
一、填空题:
1•三角形的一边是8,另一边是1,第三边如果是整数,则第三边是,这个三角形是
三角形。
2•已知三角形两边的长分别为1和2,如果第三边的长也是整数,那么第三边的长为。
3.三角形的三边长分别为a-1,a,a+1,则a的取值范围是。
4.三角形的三边为1,1-a,9,则a的取值范围是。
5.已知a,b,c为厶ABC的三条边,化简Q(a+b-c)2-|b—a-c|=。
6.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,AABD的周长为30cm求AD的长。
7.如图,CE平分/ACB且CE!
DB/DAB=ZDBAAC=18cm,△CBD的周长为28cm,贝UDB=。
8.已知等腰三角形两边长分别为4和9,则第三边的长为。
题图
9.等腰三角形的周长为20cm,
(1)若其中一边长为6cm,则腰长为;
(2)若其中一边长为5cm,则腰长为。
10.等腰△ABC中,AB=AC,BC=6cm则厶ABC的周长的取值范围是。
11.
等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两部分,则此三角形的底边长为
13.写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题
14•已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:
4,则这个等腰三角形顶角的度数为。
15•三角形的最小角不大于___度,最大角不小于___度。
16.三角形的三个内角中至少有___个锐角,三个外角中最多有___个锐角。
17.在△ABC中,若/C=2(/A+ZB),则/C====_=^度。
11
18.在△ABC中,ZA=—ZB=—ZC,则ZB=。
23
19.如果△ABC的一个外角等于150°,且ZB=ZC,则ZA=。
20.如图,已知Z1=20°,Z2=25°,ZA=50°,则ZBDC的度数是。
21.如图,在△ABC中,ZA=80°,ZABC和ZACB的外角平分线相交于点D,那么ZBDC=
22.纸片△ABC中,ZA=65°,ZB=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内(如图),若Z1=
20。
,则Z2的度数为。
24.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段,完成所提出的问题。
探究1:
如图1,在△ABC中,O是ZABC与ZACB的平分线BO和CC的交点,通过分析发现1
ZBOC=90°+-ZA,理由如下:
2
•/BO和CO分别是ZABC和ZACB的角平分线,
11
•••Z1=—ZABCZ2=—ZACB
22
1
•Z1+Z2=—(ZABC+ZACB)
2
又tZABC+ZACB=180°—ZA
11
•••/1+Z2=(180°-ZA)=90°—/A
22
11
•ZBOC=180°—(Z1+Z2)=180°—(90°—_ZA)=90°+—ZA。
22
请
(只
探究2:
如图2中,O是ZABC与外角ZACD勺平分线BO和CO的交点,试分析ZBOC与ZA有怎样的关系?
说明理由。
探究3:
如图3中,O是外角ZDBC与外角ZECB的平分线BO和CO的交点,则ZBOCWZA有怎样的关系?
写结论,不需证明)。
结论:
。
0
(第25题图)(第26题图)
(第27题图)
28.如图,△ABC的外角ZACD的平分线CP与内角ZABC的平分线
BP交于点P,若ZBPC=40
,则ZCAP=
度。
1.
2.
3.
4.
5.
5
6.
7.
、选择题:
在下列长度的四根木棒中,能与3cm,
A.7cmB.4cm
若△ABC的三边长分别为整数,周长为
A.7B.6C.5
若厶ABC的三边之长都是整数,周长小于
A.6个B.7个
三角形的三边分别为3,1—2a,8,则
A.—6vav—3B.—5vav—2
7cm两根木棒围成一个三角形的()
C.3cmD.10cm
11,且有一边为4,则这个三角形的最大边长为(
D.4
10,则这样的三角形共有(
C.8个
a的取值范围是(
C.2vav5
4和2011,
D
)
D.a
一个三角形的周长为奇数,其中两条边长分别为
A.3B.4
D.6
10,可以组成三角形的组数为()
C.2D.1
15和12两部分,则此三角形底边之长为
C.7或11D
2:
3:
7,这个三角形一定是
4、6、8、
四条线段的长度分别为
A.4B.3
等腰三角形一腰上的中线分周长为
A.7B.11
一个三角形三个内角的度数之比为
v—5或a>—2
则满足条件的三角形的个数是(
C.
:
)
•不能确定
A.直角三角形B
.等腰三角形
C
.锐角三角形
D.钝角三角形
9.
已知一个三角形三个内角度数的比是
1:
5:
6,
则其最大内角的度数(
)
A.60°B
.75°
C
.90°
D
.120°
10.
.如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和,这个三角形是(
)
A.锐角三角形B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
斜三角形
11.
.三角形的一个外角大于相邻的一个内角,
则它是(
)
A.直角三角形B.
锐角三角形
C.
钝角三角形
D.
不能确定
12.
.在厶ABC中,如果/A—ZB=90°,,
那么△ABC>()
A.直角三角形B.
钝角三角形
C.
锐角三角形
D.
斜三角形
13.
三角形中,最大角:
-
的取值范围是(
)
A.090
B.
60
:
:
:
:
:
:
180
C.60_:
-:
:
:
90
D.60
-:
-:
:
:
180
14.
.在厶ABC中,AB=AC
D在AC上,且
BD=BC=AD则ZA的度数为(
)
A.30°B
.36°
C
.45°
)
8.
D.72°
15.直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是(
A.45°B.135
16.如图,△ABC中,/A=50°,点
230°
A.130°B.
17.已知如图,/A=32°
A.120°B.115
C.45
E分别在AB
C.
或
AC上,
180°
)
135°
则/
则/DFE等于(
D.
1+Z2的大小为(
D.310°
)
以上答案都不对
)
(第16题图)
(第17题图)
18.在△ABC中,/B=50°,
A.0° AB>AC,则/A的取值范围是() B.0° C.50° D.80° 19•若: •、■->是三角形的三个内角,而 x-•-,鸟二-,z=-: -,那么x、y、z中,锐 .可能有一个锐角 .最多一个锐角 2倍,且等于它不相邻内角的4倍,那么这个三角形一定是 C•钝角三角形D•正三角形 角的个数的错误判断是(C)A•可能没有锐角B C.可能有两个锐角D 20•如果三角形的一个外角等于它相邻内角的 () A•锐角三角形B•直角三角形21.在ABC中 1 ⑴如图1,若P点是/ABC和/ACB的角平分线的交点,则/P=90°/A 2 1 ⑵如图2,若P点是/ABC和外角/ACE的角平分线的交点,则/P=/A; 2 1 ⑶如图3,若P点是外角/CBF和/BCE的角平分线的交点,则/P=90°——/A。 2 22.如图所示,在△ABC中,已知点D、E、F分别为边BGADCE的中点,且S^Bc=4cm2,则S阴影 等于() 24.如图,在△ABC中,D是BC上一点,若/B=ZC,/1=Z3,则/1与/2的关系为( A./1=2/2 C.―: _I' D. B.: ? - 3Z1-Z2=18O° B1)C 图3 (第22题图) (第23题图) (第24题图) 25.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,使点 A落在四边形BCDE外部A的位置,则/A'、/1与/2的数量关系,结 26. 27. 论正确是() A.Z1=/2+ZA' C.2/1=72+ZA'如图,△ A.60°如图, A.45 B D ABC的两个外角的平分线相交于D, B.80°C ABC的外角平分线CP和内角平分线 O 若/B=50° .65° BP相交于点 .71=272+27A' .71=27A'+72,则7ADC=() D.40° 若7BPC=35°,则7CAP=() D.65° P, O B.50 C.55° (第25题图) 解答下列各题: (第26题图) 1.△ABC的三边长分别为4、9、X, ⑴求x的取值范围; ⑵求△ABC周长的取值范围; ⑶当x为偶数时,求X; ⑷当△ABC的周长为偶数时,求x; ⑸当△ABC周长是5的倍数时,求x;⑹若△ABC为等腰三角形,求X。 2.已知△ABC的三条边为整数,且 a252-48-2匕,5=0,求c的值。 (第27题图) 3.对于同一平面内的三条直线a、b、c,给出下列五个论断: (1)a//b; (2)b丄c;(3)a丄b;(4)a//c;(5)a丄c。 以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题。 4.证明: 两条平行直线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线互相垂直。 5.有5根木条,其长度分别为4,8,8,10,12,用其中三根可以组成几种不同形状的三角形? 6.如图,在△ABC中,/A=96°,延长BC到D,/ABC与/ACM平分线相交于A,/ABC与ZA,CD的平分线相交于A,依此类推,ZA^BC与ZA4CD的平分线相交于A,则ZA的大小是多少? 第3题图 7.在△ABC中,/A=50°,高BECF所在的直线交于点0,求/B0C勺度数。 & (1)已知如图(a),在厶ABC中,/C>ZB,ADLBC于D,AE平分/BAC则/EAD与/B,ZC有何数量关系? (a) (2)如图(b),AE平分/BACF为其上一点,且FD丄BC于D,这时/EFD与/B、/C又有何数量关系? (3)如图(c),AE平分/BACF为AE延长线上一点,FD丄BC于D,这时/AFD与/B/C又有何数量关系? 9.如图,PABC内任意一点,求证: ⑴/BPC>/A; ⑵/BPC=ZABP+ZA+ZACP ⑶AB+AC>PB+PC, 10.如图中的几个图形是五角星和它的变形 11.如图已知△ABC中,/B和/C外角平分线相交于点P。 (1)若/ABC=30°,/ACB=70°,求/BPC度数。 (2)若/ABC=a,/BPC=B,求/ACB度数。 12.AABC是一个三角形的纸片,点D、E分别是△ABC边上的两点。 (1)如果纸片沿直线脚折叠,使点A'正好落在线段AC上,如图1,此时/A与/BDA的关系是 (2)如果纸片沿直线DE折叠,使点A'落在△ABC的内部,如图2,试猜想/A和/BDA、/CEA的关系是 (3)如果纸片沿直线DE折叠,使点A落在△ABC的外部,如图3,则此时/A和/BDA、/CEA的关系是,请说明理由。 13. 如图所示,BE、CD交于A点,/C和/E的平分线相交于F。 (1)试求: /F与/B,ZD有何等量关系? (2)当/B: ZD: ZF=2: 4: x时,x为多少? 14.若△ABC的三边之长都是整数,周长小于10,则这样的三角形共有几个? 15•有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题: “已知△ABC的三边长分别是a,b,c。 且a、b、c 2 的值满足等式|b+c—2a|+(b+c-5)=0,求b的取值在什么范围? ”。 你能解答这道题吗? 16.在△ABC中,/A>ZB>ZC,且/A=4/C,求/B的范围。 17.在△ABC中,/A是最大角,/C是最小角,且/A=2/C,求/C的取值范围。 《第13章三角形中的边角关系》练习题答案 一、填空题: 1.8,等腰。 2.2。 3.a2。 4 「9: : a : : : -7 5.2b —2c。 6.AD=13cmo7.8cm;8.9 15 9. (1)6cm或7cm; (2)cm。 10. 周长〉12。 11 .1。 12 .10厘米或 丝厘米。 2 3 13.有两个角相等的三角形是等腰三角形; 14. 20°或 120°; 15 .60,60; 16.2,1; 17.120°;18.60°;19.30° 或120°; 20. 95°; 21 .50°; 22.解: 如图,fCEF^Z CFE+ZC=ZA+ZB+ZC, •••ZCEF+ZCFE=ZA+ZB=85°+55°=140°,又将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内, •ZC'EF+ZC'F=ZCEF+ZCFE=140°, •ZCEC+ZCEC=140°+140°=280°,vZ1=20°, •Z2=180°X2-ZCEC+ZCEC-Z1=360°—280°—20°=60°故答案为: 60。 23.解: 如图, vZA=65°,ZB=75°, •ZC=180°—ZA—ZB=180°—65°—75°=40°; 又v将三角形纸片的一角折叠,使点C落在△ABC外, •ZC'=ZC=40°, 而Z3+Z2+Z5+ZC=180°, Z5=Z4+ZC=Z4+40°,Z2=20°, •Z3+20°+Z4+40°+40°=180°, •Z3+Z4=80°, •Z1=180°—80°=100°。 故答案为100。 11 24.ZBOG=丄ZAZBOG=90°—丄ZA; 22 25. (1)130°; (2)100°或80°; 26.2; 27.解: 延长BA做PN^ADPF丄BAPMLBC, 设ZPCD=x°, vCP平分ZACD •ZBCP=ZPCD=x°,PM=PN, vBP平分ZABC, •ZABP=ZPBCPF=PN •PF=PM, vZAPC=50°, •ZBAP=ZPAC=(x—50)°, ••ZABG=ZBCD-ZBAC=2x°—(x°—50°)—(x°—50°)=100°,••ZCBF=100 在Rt△PFB和Rt△PMB中, PA=PAPM=PF, 三、解答下列各题: 1.⑴5vxv13; ⑵18vAABC的周长v26; ⑶当x为偶数时,x=6、8、10、12; ⑷当△ABC的周长为偶数时,x=7、9、11; ⑸当△ABC周长是5的倍数时,x=7、12; ⑹若△ABC为等腰三角形,x=9o 2.a=2,b=1,1: : c-3,则整数c=2。 3.答案不惟一,如果a//b,b_c,那么a_c;如果b_c,a_b,那么a//c;如果b_c,a_c,那么a//b等。 4.要画图,写已知、求证、证明。 5.6种(4、&8;4、8、10;&&10;&8、12;8、10、12、4、10、12) 6.3°o 7./BOC=50°或130°; &解: (1)TAD丄BC,•••/ADC=90°, •/CAD=90°—/C 1 •/AE平分/BAC,•/EAC=—/BAC 2 •••/BAC=180°—/B—/C 111 : 丄EAG=丄(180°-ZB-ZC=90°—丄/B-/C, 222 •••ZEAD=ZEAC-ZCAD 11 =90。 —丄ZB-ZC-(90°-ZC) 22 1 =-(ZC-ZB)。 2 1 (2)如图(b),过A作AG丄BC于G由 (1)知ZEAG=丄(ZC-ZB)。 、 2 •/AG丄BC,•/FD丄BC, •ZAGC=ZFDG=90°, •FD//AG •ZEFD=ZEAG 1 •ZEFD=丄(ZC-ZB)。 2 1 (3)如图(c),过点A作AGLBC于G,由 (1)知/EAG=—(ZC-ZB)。 2 •/AGLBC,•/FD丄BC, •ZAGB=ZFDC=90°, •FD//AB, •ZAFD=ZEAG 1 •ZAFD=(ZC-ZB)。 2 说明: 在处理三角形中角的问题时,有时需要从整体出发进行思考,有时也可以通过适当添加辅助线使未知问题转化成已解决的问题,像本题这种类型的题目,既要看到图形的变化,又要抓住变化中的内在联系。 9.延长BP交AC于Db ⑴ZBPOZPDC>ZA; ⑵ZBPC=ZPDOZACPZPDC=ZA+ZABP ZBPC=ZA+ZAB却ZACP ⑶•••AB+AD>BDb PD+DC>PCo •AB+AD^PD+DC>BD+PG •AB+AC>PB+PC> 10. (1)180°。 (2)无变化。 理由: ZCADFZB+ZC+ZE=ZCADFZEAD^ZBAC=180°。 (3)无变化。 理由: ZCAD^ZB+ZACE^ZD+ZE=ZAC聊ZACE^ZECD=180°。 11.解: (1)/BPC=180 =180 =180 1 -(ZEBC+ZBCF)=180°2 1 --(180 2 1(180°-ZABC+180°-ZACB) 2 30°+180°-70°) =50°; 12.解: (1)ZBDA=2ZA; 根据折叠的性质可知ZDAE=ZA,ZDAE+ZA=ZBDA,故ZBDA=2ZA; (2)ZBDA+ZCEA=2ZA, E中,ZA+ZDAE+Z ADA+ZA' E=360°—ZADA
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