46第四十六章染色与覆盖问题.docx
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46第四十六章染色与覆盖问题
第四十六章染色与覆盖问题
概念
本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色,然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法,一种将研究对象分类的形象化的方法。
通过将要解决的问题适当的染色,可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系,在经过一定的推理从而得到问题的答案。
具体介绍:
1、座位染色问题
分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座,那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到?
像这种问题我们该如何考虑呢?
直接一步一步操作吗?
很显然是很不现实的,那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢?
染色。
我们将35个座位染成黑白相间的形式,一眼就能看出,每个黑色的座位都是白色座位的邻座,也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上,那么必然是,黑白位置对换,但从图中我们看到黑色17格,白色18格,黑白个数不相等,所以无法办到。
二、路径问题
分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。
所以我们按例1的方法,将9个小格染成黑白相间的颜色,很明显就能看出是不能办到的。
因为从A格出去,第一步不管往哪走都会走入黑格,接着第二步又都会走入黑格,即走奇数步后进黑格,偶数步后进白格,这个人若要从A格出去又要回到A格,必须走9个格,所以最后一格必为黑才可以,而A格为白格,所以不可以。
三、结点问题
分析与路径问题相似,只不过我们这回染得不再是小格而是点,染成黑白相间的点。
我们会发现一共14个点,6个黑点8个白点,每次的路线仍是从黑点走到白点或者从白点走到黑点,所以若想每个点不重复的都走一遍的话必须黑白相等或相差1个,但本题黑白差2个,所以不可以。
四、一般覆盖
将这14个小格染成黑白相间的,那么7个相邻两方格应该是一黑一白的,所以如果能覆盖的话,14个格中的黑白格数应该是相等的,但图中有8个黑格,6个白格。
所以不可以。
5、特殊覆盖
分析因为每次有两个数同时加上或减去同一个数(假设次数为a),因此经过一次这样的操作后,相当于加上或减去了a的2倍,那么9个数总和就会多或者少偶数个数,也就是说9个数的总和为45,经过1次操作后总和加上或减去一个偶数后应该还是奇数,但表
(2)中的总和是4,所以不可能。
例题
1. 如图29-1(a),3行7列小方格每一个染上红色或蓝色.试证:
存在一个矩形,它的四个角上的小方格颜色相同.
2. (第2届全国部分省市初中数学通讯赛题)证明:
用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖,不能恰好铺盖8×8矩形的地面.
3. (1986年北京初二数学竞赛题)如图29-4
(1)是4个1×1的正方形组成的“L”形,用若干个这种“L”形硬纸片无重迭拼成一个m×n(长为m个单位,宽为n个单位)的矩形如图29-4
(2).试证明mn必是8的倍数.
4.(1947年匈牙利数学奥林匹克试题)世界上任何六个人中,一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.
5. (1953年美国普特南数学竞赛题)空间六点,任三点不共线,任四点不共面,成对地连接它们得十五条线段,用红色或蓝色染这些线段(一条线段只染一种颜色).求证:
无论怎样染,总存在同色三角形.
6. (第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:
至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.
7.(首届全国中学生数学冬令营试题)能否把1,1,2,2,3,3,…,1986,1986这些数排成一行,使得两个1之间夹着一个数,两个2之间夹着两个数,…,两个1986、之间夹着一千九百八十六个数?
请证明你的结论.
8. 对平面上一个点,任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种.证明:
平面内存在端点同色的单位线段.
9. 6×6的方格盘,能否用一块大小为3格,形如
的弯角板与11块大小为3×1的矩形板,不重迭不遗漏地来铺满整个盘面.
10. (第49届苏联基辅数学竞赛题)在两张1982×1983的方格纸涂上红、黑两种颜色,使得每一行及每一列都有偶数个方格是黑色的.如果将这两张纸重迭时,有一个黑格与一个红格重合,证明至少还有三个方格与不同颜色的方格重合.
11. 有九名数学家,每人至多会讲三种语言,每三名中至少有2名能通话,那么其中必有3名能用同一种语言通话.
12. 如果把上题中的条件9名改为8名数学家,那么,这个结论还成立吗?
为什么?
13. 设n=6(r-2)+3(r≥3),求证:
如果有n名科学家,每人至多会讲3种语言,每3名中至少有2名能通话,那么其中必有 r名能用同一种语言通话.
14. (1966年波兰数学竞赛题)大厅中会聚了100个客人,他们中每人至少认识67人,证明在这些客人中一定可以找到4人,他们之中任何两人都彼此相识.
15. (首届全国数学冬令营试题)用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证:
一定存在一个边长为1或
的正三角形,它三个顶点是同色的.
16. 六年级一班全班有35名同学,共分成5排,每排7人,坐在教室里,每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座.如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去,能办到吗?
为什么?
17. 右图是某一湖泊的平面图,图中所有曲线都是湖岸.
(1)如果P点在岸上,那么A点是在岸上还是在水中?
(2)某人过此湖泊,他下水时脱鞋,上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B,他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数,那么B点是在岸上还是在水中?
为什么?
18. 某班有45名同学按9行5列坐好.老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去,问这能否办到?
19.右图是某一套房子的平面图,共12个房间,每相邻两房间都有门相通.请问:
你能从某个房间出发,不重复地走完每个房间吗?
20. 有一次车展共6×6=36个展室,如右图,每个展室与相邻的展室都有门相通,入口和出口如图所示.参观者能否从入口进去,不重复地参观完每个展室再从出口出来?
21. 在一个正方形的果园里,种有63棵果树,加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列,如图
(1).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?
如果有80棵果树,如图
(2),连小屋排成九行九列呢?
22. 右图是半张中国象棋盘,棋盘上已放有一只马.众所周知,马是走“日”字的.请问:
这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点,然后回到出发点?
23. 右图是由14个大小相同的方格组成的图形.试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形?
24.右图是由40个小正方形组成的图形,能否将它剪裁成20个相同的长方形?
25.下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的.问:
能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形.
26.用11个
和5个
能否盖住8×8的大正方形?
27.能否用9个
所示的卡片拼成一个6×6的棋盘?
28.9个1×4的长方形不能拼成一个6×6的正方形,请你说明理由!
29. 用若干个2×2和3×3的小正方形不能拼成一个11×11的大正方形,请你说明理由!
30.对于表
(1),每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数,能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同),变为表
(2)?
为什么?
31. 右图是一个圆盘,中心轴固定在黑板上.开始时,圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘,每次可以转动90°的任意整数倍,圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置,将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问:
经过若干次后,黑板上的四个数是否可能都是999?
32. 有7个苹果要平均分给12个小朋友,园长要求每个苹果最多分成5份.应该怎样分?
33.有一位老人,他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说:
“我已经写好了遗嘱,我把马留给你们,你们一定要按我的要求去分.”老人去世后,三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着:
“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得1/2,次子得1/3,给幼子1/9,不许流血,不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿!
”请你帮助他们分分马吧!
34. 8个金币中,有一个比真金币轻的假金币,你能用天平称两次就找出来吗(天平无砝码)?
35.9个金币中,有一个比真金币轻的假金币,你能用天平称两次就找出来吗(天平无砝码)?
36. 据说有一天,韩信骑马走在路上,看见两个人正在路边为分油发愁,这两个人有一只容量10斤的篓子,里面装满了油;还有一只空的罐和一只空的葫芦,罐可装7斤油,葫芦可装3斤油.要把这10斤油平分,每人5斤.但是谁也没有带秤,只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢?
37. 大桶能装5千克油,小桶能装4千克油,你能用这两只桶量出6千克油吗?
怎么量?
38. 有一个小朋友叫小满,他学会了韩信分油的方法,心里很是得意.一天,他遇到了两位农妇.两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子,还有一个5升和一个4升的小桶,她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满按照韩信分油的方法,略加变通,就将奶分好了!
你说说具体的做法!
39. 有大,中,小3个瓶子,最多分别可以装入水1000克,700克和300克.现在大瓶中装满水,希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线,问最少要倒几次水
40.老师在黑板上画了9个点,要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线(只许拐三个弯儿).你能办到吗?
41.如右图所示,将1~12顺次排成一圈.如果报出一个数a(在1~12之间),那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如a=3,就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置;a=11,就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置.问:
a是多少时,可以走到7的位置?
42. 对于任意一个自然数n,当n为奇数时,加上121;当n为偶数时,除以2,这算一次操作现在对231连续进行这种操作,在操作过程中是否可能出现100?
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- 46 第四 十六 染色 覆盖 问题