全国各地中考数学压轴题专集答案之8圆.docx
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全国各地中考数学压轴题专集答案之8圆
2011年全国各地中考数学压轴题专集答案
八、圆
1.
(1)证明:
连接OC
∵点C在⊙O上,OA=OC,∴∠OCA=∠OAC
∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°,∴∠DCA+∠DAC=90°
∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠OAC
∴∠DCO=∠DCA+∠OCA=∠DCA+∠OAC=∠DCA+∠DAC=90°
又∵点C在⊙O上,OC为⊙O的半径
∴CD为⊙O的切线5分
(2)解:
过O作OF⊥AB,垂足为F,则∠OCD=∠CDF=∠DFO=90°
F
∴四边形OCDF为矩形,∴OC=DF,OF=CD
∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6-x
∵⊙O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2
即(5-x)2+(6-x)2=25,解得:
x1=2,x2=9
由AD<DF,知0<x<5,∴x=2
即AD=2,AF=5-2=3
∵OF⊥AB,∴AB=2AF=612分
2.
(1)证明:
∵BT切⊙O于点B,∴∠EBP=∠C
∵EF∥BC,∴∠AFP=∠C,∴∠AFP=∠EBP
又∵∠APF=∠EPB,∴△PFA∽△PBE
T
∴=,∴PA·PB=PE·PF
(2)解:
当点P在BA延长线上时,
(1)中的结论仍然成立
∵BT切⊙O于点B,∴∠PBE=∠C
∵EF∥BC,∴∠PFA=∠C,∴∠PFA=∠PBE
又∵∠FPA=∠BPE,∴△PFA∽△PBE
∴=,∴PA·PB=PE·PF
(3)解法一:
作直径AH,连接BH,则∠ABH=90°
H
∵BT切⊙O于点B,∴∠EBA=∠AHB
∵cos∠EBA=,∴cos∠AHB=
∵sin2∠AHB+cos2∠AHB=1,又∠AHB为锐角
∴sin∠AHB=
在Rt△ABH中,∵sin∠AHB=,AB=4
∴AH==6
∴⊙O的半径为3
H
解法二:
作直径BH,连接AH,则∠BAH=90°
∵BT切⊙O于点B,∴∠EBH=90°
∵cos∠EBA=,∴sin∠ABH==
设AH=x,则BH=3x
在Rt△ABH中,AB2+AH2=BH2
∴(4)2+x2=(3x)2,解得x1=2,x2=-2(舍去)
∴BH=6
∴⊙O的半径为3
3.解:
(1)作CG⊥AB于G
则CG2=AC2-AG2=BC2-BG2
∴36-AG2=49-(5-AG)2,解得AG=
H
∴CG===
∴sinA==2分
作AH⊥BC于H
则AH2=AB2-BH2=AC2-CH2
∴25-BH2=36-(7-BH)2,解得BH=
∴AH===
∴sinC==4分
(2)设⊙D分别与边AB、BC相切于点E、F,连接DE、DF
则DE⊥AB,DF⊥BC
设⊙D的半径为r
则AD==r,CD==r
由AD+CD=AC得:
r+r=6
∴r=,即⊙D的半径为8分
4.解:
(1)连接BO并延长交AE于点H
∵AB是小圆的切线,C是切点,∴OC⊥AB
∴C是AB的中点
∵AD是大圆的直径,∴O是AD的中点
H
∴OC是△ABD的中位线
∴BD=2OC=102分
(2)连接OC,在Rt△OCB中
∵OB=13,OC=5,∴BC=12
由
(2)知∠OBG=∠OBC=∠OAC
又∠BGO=∠AGB,∴△BGO∽△AGB
∴==6分
5.
(1)解:
过D作DH⊥BC于点H,如图1
H
∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴AD和BC为⊙O的切线
又CD为⊙O的切线,∴DE=DA=x,CE=CB=y
而DH=AB=8,FC=y-x
在Rt△DHC中,DC2=DH2+CH2
∴(x+y)2=82+(x-y)2
∴y=
图2
(2)证明:
连接AE,如图2
∵AB为直径,∴∠AEB=90°
∵DA=DE,∴∠DAE=∠DEA
∵∠DAE+∠F=∠DEA+∠DEF=90°,∴∠F=∠DEF
∴DE=DF,∴DA=DF
∴AD=AF
N
(3)解:
①当0<t≤2时
显然∠QDM为锐角
若∠DQM=90°,则P、M、Q三点在一条直线上
∵DQ=BP=t,∴t+t=2
∴t=1
若∠QMD=90°,延长PM交AD于点N,如图3
H
则PM=BP·tan∠MBP=BP·tan∠ADB=t·=t·=4t
∴MN=8-4t,而DN=2-t,QN=t-(2-t)=2t-2
∵∠QMN=90°-∠DMN=∠ADB
∴tan∠QMN=tan∠ADB=4,又tan∠QMN=
∴QN=4MN,即2t-2=4(8-4t),解得t=
②当2<t≤10时
G
若∠QDM=90°,延长PM交AD的延长线于点N,如图4
则∠ADQ+∠MDN=90°,∠ADQ+∠AQD=90°
又∠MDN=∠C,∴∠AQD=∠C
∴AD=AQ·tan∠AQD=AQ·tan∠C
而AD=2,AQ=t-2,tan∠C===
∴2=(t-2)×,∴t=
G
若∠QMD=90°,过M作MG⊥AB于点G,如图5
则AD+AQ>DQ>MQ>MG,即t>t,矛盾
∴这种情况不存在
若∠DQM=90°,过M作MG⊥AB于点G,如图6
则MG=t,AQ=t-2,PM=(8-t)
∴QG=8-(t-2)-(8-t)=(t-2)
∵Rt△AQD∽Rt△GMQ,∴=,即=
整理得t2-10t+4=0,解得t=5±(均不合题意,舍去)
综上所述,当t=1或t=或t=时,以D、M、Q为顶点的三角形为直角三角形
6.解:
(1)∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC=5
∵⊙A与⊙B外切于点D,并分别与BC、AC边交于点E、F
∴AD=AF,BD=BE,∴AF+AB+BE=2AB=6
∴CE+CF=(AB+BC+CA)-(AF+AB+BE)=6,即x+y=6
F
∴y=6-x(2<x<5)
(2)若△FEC∽△ABC,则=
∴=,∴x=
∴BD=BE=5-=,AD=AB-BD=3-=
∴=
若△EFC∽△ABC,则=
∴=,∴x=
F
∴BD=BE=5-=,AD=AB-BD=3-=
∴=
(3)①若⊙C与⊙A、⊙B都外切,则CE=CF
∵CE=x,CF=6-x,∴x=6-x,∴x=3
∴BD=BE=5-3=2,AD=AB-BD=3-2=1
∴=
②⊙C与⊙A、⊙B都内切,则CA+AF=CB+BE
∵CA=4,AF=AC-CF=4-(6-x)=x-2,CB=5,BE=BC-CE=5-x
∴4+x-2=5+5-x,∴x=4
∴BD=BE=5-4=1,AD=AB-BD=3-1=2
∴=2
7.解:
(1)∵直线l是⊙O的切线.∴∠BCE=90°
l
又∵BC是直径,∴∠BFC=∠CFE=90°
又∵∠FEC=∠CEB,∴△CEF∽△BEC2分
∴=,∴EF===4分
(2)证明:
①∵∠FCB+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°
∴∠FCB=∠ABF
同理∠AFB=∠CFD,∴△CDF∽△BAF5分
②∵△CDF∽△BAF,∴=
又∵△CEF∽△BCF,∴=
l
∴=
又∵AB=BC,∴CD=CE8分
(3)∵CD=CE,∴BC=CD=CE
在Rt△BCE中,tan∠CBE==
∴∠CBE=30°10分
故为60°,∴F在⊙O的下半圆上,且=
8.解:
(1)∵y轴和直线l都是⊙C的切线
∴OA⊥AD,BD⊥AD
又∵OA⊥OB,∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°
∴四边形OADB是矩形
∵⊙C的半径为2,∴AD=OB=41分
∵点P在直线l上,∴点P的坐标为(4,p)2分
又∵点P也在直线AP上,∴p=4k+33分
(2)连接DN
∵AD是⊙C的直径,∴∠AND=90°
∵∠ADN=90°-∠DAN,∠ABD=90°-∠DAN
∴∠ADN=∠ABD
∵∠ADN=∠AMN,∴∠ABD=∠AMN4分
又∵∠MAN=∠BAP5分
∴△AMN∽△ABP6分
(3)存在7分
理由:
把x=0代入y=kx+3得y=3,即OA=BD=3
N
在Rt△ABD中,由勾股定理得
AB===5
∵S△POQ=AB·DN=AD·BD
∴DN===
∴AN2=AD2-DN2=42-()2=
∵△AMN∽△ABP,∴=()2
即S△AMN=()2·S△ABP=8分
当点P在B点上方时
∵AP2=AD2+PD2=AD2+(PB-BD)2=42+(4k+3-3)2=16(k2+1)
或AP2=AD2+PD2=AD2+(BD-PB)2=42+(3-4k-3)2=16(k2+1)
S△ABP=PB·AD=(4k+3)×4=2(4k+3)
∴S△AMN====
整理得k2-4k-2=0,解得k=2±9分
当点P在B点下方时
∵AP2=AD2+PD2=42+(3-4k-3)2=16(k2+1)
S△ABP=PB·AD=[-(4k+3)]×4=-2(4k+3)
∴S△AMN====
整理得k2+4k+4=0,解得k=-2
故当k=2±或k=-2时,△AMN的面积等于10分
9.
(1)证明:
如图1,连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ
Q
∵FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°,∴∠QFD+∠Q=90°
∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°
∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P
∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF
∴=,∴OE·OP=OF2=r2
(2)解:
(1)中的结论成立
理由:
如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交⊙O于M,连接CM.
M
∵FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°
∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°
∵∠M=∠D,∴∠E=∠CFM
∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF
∴=,∴OE·OP=OF2=r2
10.解:
(1)证明:
如图1,连接OE,则OB=OE1分
图1
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°
∴△OBE是等边三角形,∴∠OEB=∠C=60°
∴OE∥AC3分
∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°
∴∠OEF=∠EFC=90°
∴EF是⊙O的切线5分
(2)解:
如图2,连接DF
∵DF是⊙O的切线,∴∠ADF=90°6分
图2
设⊙O的半径是r,则BE=r,EC=4-r,AD=4-2r
在Rt△ADF中,∵∠A=60°,∴AF=2AD=8-4r
7分
∴FC=4-(8-4r)=4r-4
在Rt△CEF中,∵∠C=60°,∴EC=2FC
∴4-r=2(4r-4),解得r=8分
∴⊙O的半径是9分
P
11.解:
(1)连结OE
∵DE垂直平分半径OA
∴OC=OA=OE,CE=DE=2分
∴∠OEC=30°,∴OE==3分
(2)由
(1)知:
∠AOE=60°,=
∴∠B=∠AOE=30°,∴∠BDE=60°4分
∵BD∥ME,∴∠MED=∠BDE=60°5分
∴∠MEO=90°
∴EM是⊙O的切线6分
(3)连结OF
∵∠APD=45º,∴∠EDF=45º
∴∠EOF=2∠EDF=90°7分
∴S阴影=S扇形EOF-S△EOF
=-××=π-10分
12.
(1)证明:
∵AB为直径,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC
又OE⊥BC,∴OE∥AC,∴∠BAC=∠FOB
∵BN是半圆的切线,∴∠ACB=∠OBF=90°
∴△ABC∽△OFB3分
(2)解:
由△ABC∽△OFB得,∠OFB=∠DBA,∠DAB=∠OBF=90°
∴△ABD∽△BFO
当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO4分
∴AD=1
又∵DP是半圆O的切线,∴OP=1,且OP⊥DP
∴DQ∥AB,∴BQ=AD=16分
(3)由
(2)知,△ABD∽△BFO
∴=,∴BF=7分
∵DP是半圆O的切线,∴DA=DP,QB=QP9分
K
过Q点作QK⊥AM于K
在Rt△DKQ中,DQ2=DK2+KQ2
∴(AD+BQ)2=22+(AD-BQ)2
∴BQ=,∴BQ=BF
∴点Q始终是线段BF的中点11分
D
13.解:
(1)直线AB与⊙P相切1分
如图,过P作PD⊥AB,垂足为D
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm
∴AB==10cm
∵P为BC中点,∴PB=4cm
Q
∵∠PDB=∠ACB=90°,∠PBD=∠ABC
∴△PBD∽△ABC,∴=
即=,∴PD=2.4(cm)
当t=1.2时,PQ=2t=2.4(cm)
∴PD=PQ,即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径
∴直线AB与⊙P相切4分
Q
(2)∵∠ACB=90°,∴AB为△ABC的外接圆的直径
∴OB=AB=10cm
连接OP,∵P为BC中点,∴OP=AC=3cm
∵点P在⊙O内部,∴⊙P与⊙O只能内切
∴5-2t=3或2t-5=3,∴t=1或4
∴⊙P与⊙O相切时,t的值为1或48分
14.解:
(1)2
(2)解法一:
∵∠BOD是△BOC的外角,∠BCO是△ACD的外角
∴∠BOD=∠B+∠BCO,∠BCO=∠A+∠D
D
∴∠BOD=∠B+∠A+∠D
又∵∠BOD=2∠A,∠B=30°,∠D=20°
∴2∠A=30°+∠A+20°,∴∠A=50°
∴∠BOD=2∠A=100°
解法二:
如图,连接OA
∵OA=OB,OA=OD,∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D
又∵∠B=30°,∠D=20°,∴∠DAB=50°
∴∠BOD=2∠DAB=100°
(3)∵∠BCO=∠A+∠D,∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D
∴要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°
此时∠BOC=60,∠BOD=120°,∴∠DAC=60°
∴△DAC∽△BOC
∵∠BCO=90°,即OC⊥AB,∴AC=AB=
15.
(1)证明:
连接ME、MF、EF
∵∠EAF=90°,∴EF为⊙O的直径,∴∠EMF=90°
又∠AMD=90°,∴∠EMD=∠FMA
M
∵DM=AM,∠EDM=∠FAM=45°
∴△DEM≌△AFM,∴DE=AF
(2)解:
∵DE=AF,∴AE+AF=AD=+1
∵⊙O的半径为,∴EF=
又AE2+AF2=EF2=3,即(AE+AF)2-2AE·AF=3
∴(+1)2-2AE·AF=3,∴AE·AF=
∴AE、AF是方程x2-(+1)x+=0的两个根
解得AE=,AF=1或AE=1,AF=
∴=或
16.解:
(1)点N是线段BC的中点,理由如下:
M
∵AD与小圆相切于点M,∴ON⊥AD
又∵AD∥BC,∴ON⊥BC
∴点N是线段BC的中点
(2)连接OB,设小圆的半径为r
则ON=r+5,OB=r+6,且BN=BC=5
在Rt△OBN中,52+(r+5)2=(r+6)2
解得:
r=7cm
即小圆的半径为7cm
17.
(1)证明:
取PB的中点E,连接QE
∵Q是PC的中点,E是PB的中点
R
∴QE为△PBC的中位线,QE∥BC
∵AT为经过A点的切线,AB为直径
∴AT⊥AB
∵CD⊥AB,∴AT∥CD,∠TAO=∠QPE=90°
∴△BPQ∽△BAT,∴=
∵PB=2PE,AB=2AO,∴=
∴△TAO∽△QPE,∴∠AOT=∠PEQ
∴OT∥QE
∵QE∥BC,∴BC∥OT4分
(2)解:
∵CD⊥AB,AB为直径,CD=8
∴CP=PD=4
连接OC
在Rt△OCP中,∵PC=4,OC=AB=5
∴OP=3,∴PB=OB-OP=2
BC∥OT,∴△TAO∽△CPB,∴==2
∵AO=AB=5
∴AT=107分
(3)解:
在Rt△TAO中,OT==5
∵AT∥CR,∴△AOT∽△POR
∴=,∴OR===3
∴TR=OT+OR=810分
18.
(1)证明:
连接DE,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O的直径1分
F
∴∠ADE=90°,∴DE⊥AC2分
又∵D是AC的中点,∴DE是AC的垂直平分线
∴AE=CE3分
(2)解:
∵D是AC的中点,∴AD=CD
又∵CF=CD=2,∴AD=2,AD=6
EF是⊙O的切线,∴∠AEF=90°
在△ADE和△EFA中
∵∠ADE=∠AEF=90°,∠DAE=∠EAF
∴△ADE∽△EFA4分
∴=,∴=,AE=25分
∴⊙O的半径为6分
∵∠ADE=∠EDF=90°,∠DAE=∠DEF=90°-∠DEA
∴△ADE∽△EDF,∴=7分
设AD=a(a>0),则DF=2a
∴=,∴DE2=2a28分
在Rt△CDE中,CE===a9分
∵∠CAB=∠DEC
∴sin∠CAB=sin∠DEC==10分
(3)sin∠CAB=(k>0)12分
解答过程如下(本人添加,仅供参考)
∵CF=k·CD(k>0),AD=CD,∴DF=(k+1)CD
∵△ADE∽△EDF,∴=
∴=,∴DE2=(k+1)CD2
在Rt△CDE中,CE==CD
∵∠CAB=∠DEC,∴sin∠CAB=sin∠DEC===
19.解:
(1)Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4
∴BC===3
∵∠A=∠A,∠AQP=∠ACB=90°
G
∴△APQ∽△ABC,∴=
∴=
∴y=-x+(0<x<4)
(2)设内切圆I的半径为r
则S△ABC=AB·r+AC·r+BC·r=AC·BC
∴r===1
设⊙I与AB、AC、BC、直线PQ分别相切于点D、E、F、G
E
连接ID、IE、IF、IG,可知四边形DIGQ为正方形
则有PG=PE,QG=ID=1
∴PC=PQ,即x=y
又y=-x+(0<x<4)
∴x=-x+,解得x=
∴当x=时,直线PQ与内切圆I相切
(3)假设⊙P与⊙I能相内切
根据勾股定理得:
PI2=IE2+PE2
即(y-1)2=12+(1-x)2
将y=-x+(0<x<4)代入得
(-x+-1)2=12+(1-x)2,解得x1=x2=
∴当x=时,⊙P与⊙I能相内切
F
20.
(1)证明:
∵AB是直径,∴∠ACB=90°
∵∠DCE=90°,∴∠ACB+∠DCE=180°
∴B、C、E三点共线
(2)证明:
连接ON、AE、BD,延长BD交AE于点F
∵∠ABC=45°,∠ACB=90°,∴BC=AC
又∠ACB=∠DCE=90°,DC=EC
∴△BCD≌△ACE
∴BD=AE,∠DBC=∠EAC
F
∴∠DBC+∠AEC=∠EAC+∠AEC=90°
∴BF⊥AE
∵AO=OB,AN=ND,∴ON=BD,ON∥BD
∵AO=OB,EM=MB,∴OM=AE,OM∥AE
∴OM=ON,OM⊥ON
∴∠OMN=45°,又cos∠OMN=
∴MN=OM
(3)M1N1=OM1成立,证明同
(2)
图1
21.解:
(1)∵AB=4,P是OA的中点,∴PB=3
∵CE是⊙O的切线,∴PB⊥CE
又∵PE⊥PC,∴PB2=BC·BE
即32=2BE,∴BE=
∴PE===4分
(2)∵∠C+∠BPC=90°,∠BPE+∠BPC=90°,∠BPE+∠E=90°,∠PDF=∠E
∴∠PDF=∠BPC,∠PFD=∠BPE,△PDF∽△PEC
∴PG=DG=FG,即PG是Rt△PDF斜边DF上的中线
(P)
∴DF是⊙O的直径或垂直于直径AB的弦
①如图2,若DF是⊙O的直径
则点P与点A重合,DF=4,PB=AB=4
由PB2=BC·BE,得42=2BE,∴BE=8
∴CE=BC+BE=2+8=10
而=()2=()2=,S△PCE=CE·PB=×10×4=20
∴S△PDF=×20=7分
(P)
②如图3,若DF是垂直于直径AB的弦,则DF∥CE
且PB垂直平分DF,∴PD=PF
又∠DPF=90°,∴∠PDF=45°
∴∠C=∠PDF=45°,∴PB=BC=2
又OB=2,∴点P与点O重合
∴PD=PF=2
∴S△PDF=PD·PF=×2×2=210分
22.
(1)证明:
连接OC
G
∵DE⊥BC,∴=
∴∠BOE=∠COE=∠BOC
∵∠BAC=∠BOC,∴∠BOE=∠BAC
∴∠BOF=∠GAF2分
又∵∠BFO=∠GFA,∴∠OBF=∠G3分
(2)解:
连接OA,则∠OAF=∠OBF4分
∵∠OBF=∠G,∴∠OAF=∠G
又∵∠AOF=∠GOA,∴△OAF∽△OGA
∴=,∴=
∴OA=2,即⊙O的半径为27分
(3)当是劣弧时,∠BAC是锐角,则∠GAF是钝角,故△AFG的外心在△AFG的外部
8分
当是半圆时,∠BAC是直角,则∠GAF是直角,故△AFG的外心在△AFG的GF边上
9分
当是优弧时,∠BAC是钝角,则∠GAF是锐角,故△AFG的外心在△AFG的内部
10分
E
23.
(1)证明:
连接AB、BC
∵点C为劣弧AB的中点,∴=
∴AC=BC,∴∠ABC=∠BAC1分
又∵CD=CA,∴CD=BC
∴∠CDB=∠CBD2分
∵∠ABC+∠BAC+∠CBD+∠CDB=180°
∴∠ABC+∠CBD=90°3分
E
即∠ABD=90°
∴∠ABE=90°4分
∴AE是⊙O的直径5分
(注:
由CD=BC=AC直接得∠ABD=90°也可得分)
(2)解:
∵AE是⊙O的直径,∴∠ACE=90°
∵⊙O的半径为5,∴AE=10
∵AC=4,∴EC==26分
∴S阴影部分=×52×π-×4×2=-48分
h
24.证明:
(1)连结OD1分
∵DE是⊙O的切线,∴OD⊥DE
又∵DE∥BC,∴OD⊥BC
∴=2分
∴∠BAD=∠DAE
∵DE∥BC,∴∠DEA=∠BCA
∵∠BDA=∠BCA,∴∠BDA=∠DEA
∴△ABD∽△ADE5分
(2)由
(1)得
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