导数的应用 学案.docx
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导数的应用学案
教案标题
导数及其应用
教师姓名
于鹏
学生姓名
学科
数学
适用年级
高中
三年级
适用范围
全国
教学目标
知识
目标
能力
目标
1.掌握导数的几何意义,会求函数的切线方程;
2.掌握函数的单调性和极值的求法;
3.掌握函数最值的求法;
4.构造新函数求函数的最值;
情感
态度
价值观
函数思想的综合和利用函数与导数求函数的性质
知识点
函数的导数,函数的极值及单调性,函数的最值
重难点
重点:
函数的极值及单调性、函数的最值
难点:
构造新函数求函数的最值
课前预习
知识讲解
1.导数的几何意义
思考1:
“曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线”和“曲线y=f(x)过点P0(x0,y0)的切线”,两种说法有区别吗?
2.导数与函数的单调性
思考2:
若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则一定有f′(x)>0吗?
f′(x)>0是函数f(x)在区间(a,b)内单调递增的充要条件吗?
3.函数的极值与最值
思考3:
导数值为0的点,一定是函数的极值点吗?
它是函数在该点取得极值的什么条件?
例题讲解
类型一 导数的几何意义
【例1】(2012·辽宁)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( ).
A.1B.3C.-4D.-8
【变式训练1】(2012·新课标全国)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________.
类型二 利用导数研究函数的单调性
【例2】(2012·北京模拟)已知函数f(x)=alnx-2ax+3(a≠0).
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)函数y=f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为
,若函数g(x)=
x3+x2[f′(x)+m]在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围.
【变式训练2】(2011·广东改编)设0<a≤1,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.
类型三 利用导数求函数的极(最)值
【例3】已知函数f(x)=x3-mx2-m2x+
.
(1)求函数f(x)的极大值;
(2)若x∈
时,|f′(x)|≤4m恒成立,试确定m的取值范围.
【变式训练3】(2012·重庆)设f(x)=alnx+
+
x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
类型四 导数的综合应用
【例4】(2012·辽宁)设f(x)=lnx+
-1,证明:
(1)当x>1时,f(x)<
(x-1);
(2)当1<x<3时,f(x)<
.
【变式训练4】(2012·福建改编)已知函数f(x)=ax·sinx-
(a>0),且f(x)在区间
上的最大值为
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,π)内零点个数,并加以证明.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2012·陕西)设函数f(x)=
+lnx,则( ).
A.x=
为f(x)的极大值点
B.x=
为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
2.设函数f(x)=
ax3+bx(a≠0).若f(3)=3f′(x0),则x0=( ).
A.±1B.
C.±
D.2
3.(2011·山东)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ).
A.-9B.-3C.9D.15
4.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( ).
A.(-1,1)B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)
5.(2011·湖南)设直线x=t,与函数f(x)=x2、g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( ).
A.1B.
C.
D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2011·广东)函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值.
7.设f(x)=xlnx+1,若f′(x0)=2,则f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为________.
8.已知函数f(x)=
mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为________.
三、解答题(每小题12分,共36分)
9.(2012·安徽)设函数f(x)=aex+
+b(a>0).
(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;
(2)设曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y=
x,求a,b的值.
10.(2012·扬州质检)已知a是不为0的常数,函数f(x)=-ax+ax·lnx+2(e是自然对数的底数).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a=1时,直线y=t与曲线y=f(x),x∈
有公共点,求实数t的最大值与最小值.
11.(2012·山东)已知函数f(x)=
(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=xf′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数,证明:
对任意x>0,g(x)<1+e-2.
课后作业
函数与导数综合测评练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2012·安徽)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( ).
A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+1D.f(x)=-x
2.函数y=ax-
(a>0,且a≠1)的图象可能是( ).
3.设函数f(x)=
则f[f(3)]等于( ).
A.
B.3
C.
D.
4.(2012·天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ).
A.y=cos2x,x∈R
B.y=log2|x|,x∈R且x≠0
C.y=
,x∈R
D.y=x3+1,x∈R
5.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则y=f(x)的图象可能是( ).
6.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( ).
A.2B.3C.6D.9
7.(2012·洛阳联考)已知符号函数sgn(x)=
则函数f(x)=sgn(lnx)-ln2x的零点个数为( ).
A.1B.2C.3D.4
8.函数f(x)=2mcos2
+1的导函数的最大值等于1,则实数m的值等于( ).
A.±1B.1C.-1D.2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在题中的横线上)
9.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f
(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.
10.已知函数f(x)=
若f(x0)≥2,则x0的取值范围是________.
11.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=
(lgE-11.4),2011年3月11日,日本东海岸发生9.0级特大地震,而2008年5月12日,中国汶川发生了8.0级强震,那么2011年日本地震能量是2008年汶川地震能量的________倍.
12.设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:
①c=0时,y=f(x)是奇函数;
②b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根;
③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称;
④方程f(x)=0最多有两个实根.
其中正确的命题是________(写出序号).
三、解答题(本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(本小题满分12分)(2012·江苏改编)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
14.(本小题满分12分)设函数f(x)=
x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.
15.(本小题满分12分)(2012·北京)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值.
(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.
16.(本小题满分12分)(2012·大纲全国)已知函数f(x)=
x3+x2+ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.
17.(本小题满分12分)(2012·新课标全国)设函数f(x)=ex-ax-2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
错题分析
1、错题:
原因分析:
如何改正:
2、错题:
原因分析:
如何改正:
3、错题:
原因分析:
如何改正:
4、错题:
原因分析:
如何改正:
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