011空间几何体及其表面积和体积讲义.docx

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011空间几何体及其表面积和体积讲义

011

第七章立体几何

7.1空间几何体及其表面积和体积

一、必备基础知识

1、多面体的结构特征

多面体

结构特征

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的交线都是平行且相等

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台

棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台。

2、旋转体的结构特征

旋转体都可以由平面图形旋转得到，下面画出了旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴

3、三视图

（1）三视图的特点：

①正、俯视图等长；

②正、侧视图等高；

③俯、侧视图等宽，前后对应。

（2）绘制简单组合体的三视图要注意以下几点：

①若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出。

②确定正视、俯视、侧视的方向时，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同。

③看清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置。

4、空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

（1）在已知图形中取相互垂直的

轴，

轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的

轴，

轴，两轴相交于点

，且使

（或

）

（2）已知图形中平行于

轴，

轴的线段，在直观图中平行于

轴，

轴。

（3）已知图形中平行于

轴的线段，在直观图中长度不变，平行于

轴的线段，长度变为原来的

（4）在已知图形中过

点作

轴垂直于

平面，在直观图中对应的

轴也垂直于

平面，已知图形中平行于

轴的线段，在直观图中仍平行于

轴且长度不变。

5、平行投影与中心投影

（1）平行投影的投影线平行，而中心投影的投影线交于一点。

（2）从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形。

6、多面体的表面积

（1）正棱柱的侧面积

，即正棱柱的侧面积等于其底面周长和高的乘积。

（2）正棱锥的侧面积

，即正棱锥的侧面积等于其底面周长和斜高乘积的一半。

（3）正棱台的侧面积

（4）棱柱、棱台、棱锥的表面积或全面积等于其侧面积与底面积之和。

7、旋转体的表面积

名称

图形

表面积

圆柱

圆锥

圆台

球

8、几何体的体积公式

（1）柱体的体积公式

（其中

为底面面积，

为高）

（2）椎体的体积公式（其中为底面面积，为高）

（3）台体的体积公式（其中分别为上、下底面面积，为高）

（4）球的体积公式（其中为球半径）

二、高考题

（一）几何体的结构特征与三视图

1、（12、新课标、7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

A、6B、9C、12D、18

2、（12、湖南、文4）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

3、（12、陕西、文8）将正方体截去两个三棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图为（）

4、（11、新课标、文8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的俯视图可以为（）

5、（11、山东、11）右图是长和宽分别相等两个矩形，给定下列三个命题：

①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图，其中真命题的个数是（）

A、3

B、2

C、1

D、0

6、（11、浙江、文7）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）

7、（11、辽宁、文8）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（）

A、4B、C、D、

8、（11、江西、文9）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）

9、（11、全国、文12）已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆N。

若该球面的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为（）

A、B、C、D、

10、（10、广东、文9）如图所示，为正三角形，，平面，且，则多面体的正视图（也称主视图）是（）

11、（10、福建、文3）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（）

A、B、2C、D、6

12、（10、北京、文5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（）

13、（08、广东、文7）将正三棱柱截去三个角（如图所示，分别是三边的中点）得到几何体如图所示，则该几何体按图2所示方向的侧视图（左视图）为（）

14、（12、安徽、文15）若四面体的三组对棱分别相等，即，则____________（写出所有正确结论的编号）

①四面体每组对棱互相垂直

②四面体每个面的面积相等

③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于

④连接四面体每组对棱中点的线段互相垂直平分

⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

15、（12、辽宁、文16）已知点是球表面上的点，平面，四边形是边长为的正方形。

若，则的面积为_______

16、（11、福建、文15）如图，正方体中，，

点为的中点，点在上。

若平面，则线段的长度等于____________

17、（10、新课标。

文15）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_____________（填入所有可能的几何体前的编号）

①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱

18、（10、辽宁、文16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其

上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱

的长为____________

（二）几何体的表面积和体积

1、（12、新课标、文）平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为（）

A、B、C、D、

2、（12、广东、文7）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）

A、B、48C、D、24

3、（12、浙江、文3）已知某三棱柱的三视图（单位：

cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）

A、

B、

C、

D、

4、（12、北京、7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

A、B、

C、D、

5、（12、江西、文7）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）

A、B、

C、D、4

6、（11、广东、文9）如图，某几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）

A、

B、

C、

D、

7、（11、安徽、文8）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、

B、

C、

D、

8、（11、辽宁、文10）已知球的直径是该球球面上的两点，，则棱锥的体积为（）

A、B、C、D、

9、（11、北京、文5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）

A、32

B、

C、

D、

10、（11、湖南、文4）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、

B、

C、

D、

11、（10、浙江、文8）若某几何体的三视图（单位;cm）如图所示，则此几何体的体积是（）

A、

B、

C、

D、

12、（10、安徽、文9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（）

A、

B、

C、

D、

13、（10、辽宁、文1）已知是球表面上的点，平面，则球的表面积等于（）

A、B、C、D、

14、（10、陕西、文8）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、

B、

C、1

D、2

15、（09、陕西、文11）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）

A、B、C、D、

16、（08、山东、6）下面是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）

A、B、C、D、

17、（12、山东、文13）如图，正方体的棱长为

1，为线段上的一点，则三棱锥的体积为_____________

18、（12、安徽、文12）某几何体的三视图如图所示，则该几

何体的体积等于__________

19、（12、天津、文10）一个几何体的三视图如图所示（单位：

m），则该几何体的体积为________

20/、（12、辽宁、文13）一个几何体的三视

图如图所示，则该几何体的体积为_________

21、（12、湖北、文15）已知某几何体的三视图

如图所示，则该几何体的体积为__________

22、（12、上海、文5）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为________

23、（11、新课标、文16）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点与底面的圆周都在一个球面上。

若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为___________

24、（11、天津、文10）一个几何体的三视图如图所示（单位：

m），则该几何体的体积为______

25、（10、江西、文16）长方体的顶点均在同一

球面上，，则两点间的球面距离

为____________

26、（09、辽宁、文16）设某几何体的三视图

如下（尺寸的长度单位为m），则该几何

体的体积为_________

27、（09、上海、文8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_____________

28、（08、浙江、文15）如图，已知球的面上四点

平面，则球的体积等于___________

29、（12、辽宁、文18）如图，直三棱柱

点分别为和的中点。

（1）证明：

平面

（2）求三棱锥的体积

锥公式，其中为底面面积，为高）

30、（12、福建、文19）如图，在四棱锥中，平

面，底面是等腰梯形，

（1）证明：

（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积

31、（11、福建、文20）如图，四棱锥中，平

面，，点在线段上，且

（1）求证：

平面

（2）若，求四棱锥的体积。

32、（11、辽宁、文18）如图，四边形为正方形，

平面，

（1）证明：

平面；

（2）求棱锥的体积与棱锥的体积的比值；

33、（10、山东、文20）在如图所示的几何体中

四边形是正方形，平面分别为的中点，

且

（1）求证：

平面平面

（2）求三棱锥与四棱锥的体积之比

34、（10、陕西、文18）如图，在四棱锥中，底

面是矩形，平面

分别是的中点

（1）证明：

平面

（2）求三棱锥的体积

35、（09、福建、文20）如图，平行四边形中，，，将沿折起到的位置，使平面平面

36、（08、山东、文19）如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，

已知

（1）设是上的一点，证明：

平面平面

（2）求四棱锥的体积