中考真题九年级数学上册二次函数与一元二次方程同步练习新版新人教版.docx
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中考真题九年级数学上册二次函数与一元二次方程同步练习新版新人教版
22.2二次函数与一元二次方程
一.选择题(共16小题)
1.(2018•杭州)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
2.(2018•大庆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;
③若y2>y1,则x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
3.(2018•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(﹣1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:
①抛物线经过点(1,0);
②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;
③﹣3<a+b<3
其中,正确结论的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
4.(2018•莱芜)函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是( )
A.x<﹣4或x>2B.﹣4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2
5.(2018•陕西)对于抛物线y=ax2+(2a﹣1)x+a﹣3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.(2017•广安)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(﹣1,3),与x轴的交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,以下结论:
①b2﹣4ac=0;②a+b+c>0;③2a﹣b=0;④c﹣a=3
其中正确的有( )个.
A.1B.2C.3D.4
7.(2017•随州)对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3,下列结论错误的是( )
A.它的图象与x轴有两个交点
B.方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C.它的图象的对称轴在y轴的右侧
D.x<m时,y随x的增大而减小
8.(2017•恩施州)如图,在平面直角坐标系中2条直线为l1:
y=﹣3x+3,l2:
y=﹣3x+9,直线l1交x轴于点A,交y轴于点B,直线l2交x轴于点D,过点B作x轴的平行线交l2于点C,点A、E关于y轴对称,抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点,下列判断中:
①a﹣b+c=0;②2a+b+c=5;③抛物线关于直线x=1对称;④抛物线过点(b,c);⑤S四边形ABCD=5,
其中正确的个数有( )
A.5B.4C.3D.2
9.(2017•盘锦)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标(1,n),与y轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),则下列结论:
①abc>0;②3a+b<0;③﹣
≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm(m为任意实数);⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根,其中正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
10.(2017•枣庄)已知函数y=ax2﹣2ax﹣1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )
A.当a=1时,函数图象经过点(﹣1,1)
B.当a=﹣2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方
D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大
11.(2017•徐州)若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是( )
A.b<1且b≠0B.b>1C.0<b<1D.b<1
12.(2017•苏州)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(﹣2,0),则关于x的方程a(x﹣2)2+1=0的实数根为( )
A.x1=0,x2=4B.x1=﹣2,x2=6C.x1=
,x2=
D.x1=﹣4,x2=0
13.(2017•朝阳)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+
m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为( )
A.﹣2或3B.﹣2或﹣3C.1或﹣2或3D.1或﹣2或﹣3
14.(2016•永州)抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是( )
A.m<2B.m>2C.0<m≤2D.m<﹣2
15.(2016•宿迁)若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1,0),则方程ax2﹣2ax+c=0的解为( )
A.x1=﹣3,x2=﹣1B.x1=1,x2=3C.x1=﹣1,x2=3D.x1=﹣3,x2=1
16.(2016•贵阳)若m、n(n<m)是关于x的一元二次方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两个根,且b<a,则m,n,b,a的大小关系是
( )
A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.b<n<m<aD.n<b<a<m
二.填空题(共8小题)
17.(2018•自贡)若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为 .
18.(2018•湖州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是 .
19.(2018•孝感)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 .
20.(2017•乐山)对于函数y=xn+xm,我们定义y'=nxn﹣1+mxm﹣1(m、n为常数).
例如y=x4+x2,则y'=4x3+2x.
已知:
y=
x3+(m﹣1)x2+m2x.
(1)若方程y′=0有两个相等实数根,则m的值为 ;
(2)若方程y′=m﹣
有两个正数根,则m的取值范围为 .
21.(2017•青岛)若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是 .
22.(2017•武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2﹣1)x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a的取值范围是 .
23.(2016•大连)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B(m+2,0)与y轴相交于点C,点D在该抛物线上,坐标为(m,c),则点A的坐标是 .
24.(2016•荆州)若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为 .
三.解答题(共8小题)
25.(2018•乐山)已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣5m)x﹣5=0(m≠0).
(1)求证:
无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5=0与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且|x1﹣x2|=6,求m的值;
(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在
(2)中的抛物线上(点P、Q不重合),求代数式4a2﹣n2+8n的值.
26.(2018•云南)已知二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象经过A(0,3),B(﹣4,﹣
)两点.
(1)求b,c的值.
(2)二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?
若有,求公共点的坐标;若没有,请说明情况.
27.(2018•杭州)设二次函数y=ax2+bx﹣(a+b)(a,b是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由.
(2)若该二次函数图象经过A(﹣1,4),B(0,﹣1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:
a>0.
28.(2017•兴安盟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为A(1,﹣4),且与x轴交于B、C两点,点B的坐标为(3,0).
(1)写出C点的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)观察图象直接写出函数值为正数时,自变量的取值范围.
29.(2017•温州)如图,过抛物线y=
x2﹣2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为﹣2.
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;
(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;
①连结BD,求BD的最小值;
②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.
30.(2017•荆州)已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0,其中k为常数.
(1)求证:
无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)已知函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;
(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.
31.(2016•牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点(﹣1,8)并与x轴交于点A,B两点,且点B坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线与y轴交于点C,顶点为点P,求△CPB的面积.
注:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣
,
)
32.(2016•淄博)如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.
(1)求这条抛物线对应的函数解析式;
(2)求直线AB对应的函数解析式.
参考答案
一.选择题(共16小题)
1.B.2.B.3.C.4.A.5.C.6.B.7.C.8.C.9.B.10.D.
11.A.12.A.13.C.14.A.15.C.16.D.
二.填空题(共8小题)
17.﹣1.
18.﹣2.
19.x1=﹣2,x2=1.
20.
且
.
21.m>9.
22.
<a<
或﹣3<a<﹣2.
23.(﹣2,0).
24.﹣1或2或1.
三.解答题(共8小题)
25.
(1)证明:
由题意可得:
△=(1﹣5m)2﹣4m×(﹣5)
=1+25m2﹣10m+20m
=25m2+10m+1
=(5m+1)2≥0,
故无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)解:
mx2+(1﹣5m)x﹣5=0,
解得:
x1=﹣
,x2=5,
由|x1﹣x2|=6,
得|﹣
﹣5|=6,
解得:
m=1或m=﹣
;
(3)解:
由
(2)得,当m>0时,m=1,
此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5,其对称轴为:
x=2,
由题已知,P,Q关于x=2对称,
∴
=2,即2a=4﹣n,
∴4a2﹣n2+8n=(4﹣n)2﹣n2+8n=16.
26.解:
(1)把A(0,3),B(﹣4,﹣
)分别代入y=﹣
x2+bx+c,得
,
解得
;
(2)由
(1)可得,该抛物线解析式为:
y=﹣
x2+
x+3.
△=(
)2﹣4×(﹣
)×3=
>0,
所以二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象与x轴有公共点.
∵﹣
x2+
x+3=0的解为:
x1=﹣2,x2=8
∴公共点的坐标是(﹣2,0)或(8,0).
27.解:
(1)
由题意△=b2﹣4•a[﹣(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个
(2)当x=1时,y=a+b﹣(a+b)=0
∴抛物线不经过点C
把点A(﹣1,4),B(0,﹣1)分别代入得
解得
∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1
(3)当x=2时
m=4a+2b﹣(a+b)=3a+b>0①
∵a+b<0
∴﹣a﹣b>0②
①②相加得:
2a>0
∴a>0
28.解:
(1)∵顶点为A(1,﹣4),且与x轴交于B、C两点,点B的坐标为(3,0),
∴点C的坐标为(﹣1,0),
设抛物线的解析式为y=a(x﹣3)(x+1),
把A(1,﹣4)代入,可得
﹣4=a(1﹣3)(1+1),
解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x﹣3)(x+1),
即y=x2﹣2x﹣3;
(2)由图可得,当函数值为正数时,自变量的取值范围是x<﹣1或x>3.
29.解:
(1)由题意A(﹣2,5),对称轴x=﹣
=4,
∵A、B关于对称轴对称,
∴B(10,5).
(2)①如图1中,
由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上,
∴当O、D、B共线时,BD的最小值=OB﹣OD=
﹣5=5
﹣5.
②如图2中,
图2
当点D在对称轴上时,在Rt△ODE中,OD=OC=5,OE=4,
∴DE=
=
=3,
∴点D的坐标为(4,3).
设PC=PD=x,在Rt△PDK中,x2=(4﹣x)2+22,
∴x=
,
∴P(
,5),
∴直线PD的解析式为y=﹣
x+
.
30.
(1)证明:
∵△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=k2﹣6k+21=(k﹣3)2+12>0,
∴无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)解:
∵二次函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,
∵二次项系数a=1,
∴抛物线开口方向向上,
∵△=(k﹣3)2+12>0,
∴抛物线与x轴有两个交点,
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,
∴x1+x2=5﹣k>0,x1•x2=1﹣k≥0,
解得k≤1,
即k的取值范围是k≤1;
(3)解:
设方程的两个根分别是x1,x2,
根据题意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,
即x1•x2﹣3(x1+x2)+9<0,
又x1+x2=5﹣k,x1•x2=1﹣k,
代入得,1﹣k﹣3(5﹣k)+9<0,
解得k<
.
则k的最大整数值为2.
31.解:
(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点(﹣1,8)与点B(3,0),
∴
解得:
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣4x+3
(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴P(2,﹣1)
过点P作PH⊥Y轴于点H,过点B作BM∥y轴交直线PH于点M,过点C作CN⊥y轴叫直线BM于点N,如下图所示:
S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB
=3×4﹣
×2×4﹣
﹣
=3
即:
△CPB的面积为3
32.解:
(1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,
∴△=4a2﹣4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1,
∴抛物线解析式为y=x2+2x+1;
(2)∵y=(x+1)2,
∴顶点A的坐标为(﹣1,0),
∵点C是线段AB的中点,
即点A与点B关于C点对称,
∴B点的横坐标为1,
当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则B(1,4),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A(﹣1,0),B(1,4)代入得
,解得
,
∴直线AB的解析式为y=2x+2.
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