基本不等式教案习题.docx

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基本不等式教案习题

[备考方向要明了]

考什么

怎么考

1.了解基本不等式的证明过程．

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用，如比较大小、求最值等，如2012年福建T5，湖南T8等．

2.在实际问题中和函数建模综合起来，考查基本不等式在求函数最值中的应用，如2012年江苏T17等.

[归纳·知识整合]

1．基本不等式≤

（1）基本不等式成立的条件：

a>0，b>0.

（2）等号成立的条件：

当且仅当a＝b时取等号．

[探究]　1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？

提示：

①当a＝b时，≥取等号，即a＝b⇒＝

②仅当a＝b时，≥取等号，即＝⇒a＝b.

2．几个重要的不等式

a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；＋≥2（a，b同号）．

ab≤2（a，b∈R）；2≤（a，b∈R）

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：

两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：

积定和最小）．

（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是2（简记：

和定积最大）．

[探究]　2.当利用基本不等式求最大（小）值时，等号取不到时，如何处理？

提示：

当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y＝x＋在x≥2时的最小值，利用单调性，易知x＝2时ymin＝.

[自测·牛刀小试]

1．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为（　　）

A．18　　　　　　　　　　B．36

C．81D．243

解析：

选A　因为m>0，n>0，所以m＋n≥2＝2＝18.

2．若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取最小值，则a＝（　　）

A．1＋　　　B．1＋　　　

C．3　　　D．4

解析：

选C　f（x）＝x＋＝x－2＋＋2，

∵x>2　∴x－2>0

∴f（x）≥2＋2＝4

当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立，又f（x）在x＝a处取最小值，所以a＝3.

3．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0则的（　　）

A．最小值为8B．最大值为8

C．最小值为D．最大值为

解析：

选D　＝＝

＝≤.当且仅＝，即x＝2z时取等号．

4．函数y＝x＋的值域为________．

解析：

当x>0时，x＋≥2＝2；

当x<0时，－x>0，

－x＋≥2＝2，所以x＋≤－2.

综上，所求函数的值域为（－∞，－2]∪[2，＋∞）．

答案：

（－∞，－2]∪[2，＋∞）

5．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f（x）＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．

解析：

由题意知：

P，Q两点关于原点O对称，不妨设P（m，n）为第一象限中的点，则m>0，n>0，n＝，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4（m2＋n2）＝4≥16（当且仅当m2＝，即m＝时，取等号）．故线段PQ长的最小值为4.

答案：

4

利用基本不等式证明不等式

[例1]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，

求证：

≥9.

[自主解答]　法一：

∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋.

∴＝＝5＋2≥5＋4＝9，当且仅当＝，即a＝b时取“＝”．

∴≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立．

法二：

＝1＋＋＋

＝1＋＋＝1＋，

∵a，b为正数，a＋b＝1，

∴ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”．

于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”．

∴≥1＋8＝9，

当且仅当a＝b＝时等号成立．

保持例题条件不变，证明：

＋≤2.

证明：

∵a>0，b>0，且a＋b＝1，　　　　

∴＋＝＋

≤＋＝＝＝2.

当且仅当a＋＝1，b＋＝1，即a＝b＝时“＝”成立．

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利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：

拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

1．已知a>0，b>0，c>0，求证：

＋＋≥a＋b＋c.

证明：

∵a>0，b>0，c>0，

∴＋≥2＝2c，

＋≥2＝2b，

＋≥2＝2a.

以上三式相加得：

2≥2（a＋b＋c），

即＋＋≥a＋b＋c.

利用基本不等式求最值

[例2]　

（1）（2012·浙江高考）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（　　）

A.　　　　　　　　　　B.

C．5D．6

（2）已知a>0，b>0，a2＋＝1，则a的最大值为________．

[自主解答]　

（1）由x＋3y＝5xy，得＋＝5（x>0，y>0），

则3x＋4y＝（3x＋4y）

＝≥

＝（13＋12）＝5.

当且仅当＝，即x＝2y时，

“＝”成立，此时由解得

（2）∵a>0，

∴a＝＝

≤·＝，

当且仅当即时取等号．

∴a的最大值为.

[答案]　

（1）C　

（2）

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应用基本不等式求最值的条件

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

2．

（1）函数y＝a1－x（a>0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0（m，n>0）上，求＋的最小值；

（2）若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．

解：

（1）∵y＝a1－x（a>0，a≠1）的图象恒过定点A，

∴A（1,1）．又点A在直线mx＋ny－1＝0（m>0，n>0）上，∴m＋n＝1（m>0，n>0）．∴＋＝（m＋n）·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时，等号成立，∴＋的最小值为4.

（2）∵ab＝a＋b＋3，又a，b∈（0，＋∞），

∴ab≥2＋3.设＝t>0，

∴t2－2t－3≥0.∴t≥3或t≤－1（舍去）．

∴ab的取值范围是[9，＋∞）．

利用基本不等式解决实际问题

[例3]　为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x＝4－（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．

（1）将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（2）该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

[自主解答]　

（1）由题意有1＝4－，

得k＝3，故x＝4－.

故y＝1.5××x－（6＋12x）－t

＝3＋6x－t＝3＋6－t＝27－－t（t≥0）．

（2）由

（1）知：

y＝27－－t

＝27.5－.

基本不等式＋≥2＝6，

当且仅当＝t＋，即t＝2.5时等号成立．

故y＝27－－t＝27.5－

≤27.5－6＝21.5.

当且仅当＝t＋时，等号成立，即t＝2.5时，y有最大值21.5.

所以2014年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．

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解实际应用题时应注意的问题

（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；

（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求.

（4）有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.

3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2－600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：

当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？

并求出此时商品的每件定价．

解：

（1）设每件定价为x元，依题意，有x≥25×8，整理得x2－65x＋1000≤0，解得25≤x≤40.

∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高为40元．

（2）依题意，x>25时，

不等式ax≥25×8＋50＋（x2－600）＋x有解，

等价于x>25时，a≥＋x＋有解，

∵＋x≥2＝10（当且仅当x＝30时，等号成立），∴a≥10.2.

∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

1个技巧——公式的逆用

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥（a，b>0）逆用就是ab≤2（a，b>0）等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

2个变形——基本不等式的变形

（1）≥2≥ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）；

（2）≥≥≥（a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号）．

3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题

（1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

（2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

（3）连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.

创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用

1．考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．

2．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件．

[典例]　（2012·湖南高考）已知两条直线l1：

y＝m和l2：

y＝（m＞0），l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为（　　）

A．16　　　　　　　　B．8

C．8D．4

[解析]　数形结合可知A，C点的横坐标在区间（0,1），B，D点的横坐标在区间（1，＋∞），而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，

根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以

xA＝2－m.同理可得xC＝2，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.

[答案]　B

1．本题具有以下创新点

（1）本题是对数函数的图象问题，通过