高中数学第七章75正态分布.docx
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高中数学第七章75正态分布
§7.5 正态分布
学习目标
1.利用实际问题的频率分布直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.
知识点一 正态曲线与正态分布
1.我们称f(x)=
,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,为正态密度函数,称其图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
2.若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
3.若X~N(μ,σ2),如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
思考1 正态曲线f(x)=
,x∈R中的参数μ,σ有何意义?
答案 μ可取任意实数,表示平均水平的特征数,E(X)=μ;σ>0表示标准差,D(X)=σ2.一个正态密度函数由μ,σ唯一确定,π和e为常数,x为自变量,x∈R.
思考2 若随机变量X~N(μ,σ2),则X是离散型随机变量吗?
答案 若X~N(μ,σ2),则X不是离散型随机变量,由正态分布的定义:
P(a 知识点二 正态曲线的特点 1.对∀x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方. 2.曲线与x轴之间的面积为1. 3.曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 4.曲线在x=μ处达到峰值 . 5.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. 6.当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①. 7.当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ较小时曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;σ较大时,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②. 知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827; P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545; P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 尽管正态变量的取值范围是(-∞,+∞),但在一次试验中,X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则. 1.正态曲线中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.( × ) 2.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.( × ) 3.正态曲线可以关于y轴对称.( √ ) 4.若X~N(μ,σ2),则P(X<μ)= .( √ ) 一、正态曲线 例1 (1)已知随机变量服从正态分布,其正态曲线如图所示,则总体的均值μ=,方差σ2=. (2)(多选)一次教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示,下列说法中不正确的是( ) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小,比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 答案 (1)20 2 (2)BCD 解析 (1)从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是 ,所以μ=20, = ,解得σ= ,因此总体的均值μ=20,方差σ2=( )2=2. (2)由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态分布密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 反思感悟 利用正态曲线的特点求参数μ,σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值 ,由此特点结合图象可求出σ. 跟踪训练1 (多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中,正确的有( ) A.曲线在x轴上方,且与x轴不相交 B.当x>μ时,曲线下降,当x<μ时,曲线上升 C.当μ一定时,σ越小,总体分布越分散,σ越大,总体分布越集中 D.曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,位于最高点 答案 ABD 解析 只有C错误,因为当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散. 二、利用正态分布求概率 例2 设ξ~N(1,22),试求: (1)P(-1≤ξ≤3); (2)P(3≤ξ≤5). 解 ∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2, (1)P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2) =P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827; (2)∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤-1), ∴P(3≤ξ≤5)= [P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)] = [P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)] = [P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)] ≈ (0.9545-0.6827)=0.1359. 延伸探究 若本例条件不变,求P(ξ>5). 解 P(ξ>5)=P(ξ<-3)= [1-P(-3≤ξ≤5)] = [1-P(1-4≤ξ≤1+4)] = [1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)] ≈ (1-0.9545)=0.02275. 反思感悟 利用正态分布的对称性求概率 由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等. 跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( ) A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2 答案 C 解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2), ∴μ=2,对称轴是ξ=2. ∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=0.6, ∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C. 三、正态分布的应用 例3 有一种精密零件,其尺寸X(单位: mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5000个,试求: (1)这批零件中尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比; (2)若规定尺寸在24~26mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个? 解 (1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,∴μ-σ=18, μ+σ=22, 于是尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. (2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24, ∴尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是 =2.14%. ∴尺寸在24~26mm间的零件大约有5000×2.14%=107(个). 反思感悟 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值. (2)将待求问题向[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]这三个区间进行转化. (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果. 跟踪训练3 在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现在已知该班同学中成绩在80~85分的有17人,该班成绩在90分以上的同学有多少人? 解 ∵成绩服从正态分布N(80,52), ∴μ=80,σ=5,则μ-σ=75,μ+σ=85. ∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.27%,成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.135%. 设该班有x名同学,则x×34.135%=17,解得x≈50. ∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90, ∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.45%,成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%. 即有50×2.275%≈1(人),即成绩在90分以上的仅有1人. 根据对称性求正态曲线在某个区间内取值的概率 典例 已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)等于( ) A.0.477B.0.954C.0.628D.0.977 答案 B 解析 画出正态曲线如图所示,结合图象知,P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954. [素养提升] 借助图象较直观的分析出P(ξ>2)与P(-2≤ξ≤2)概率的关系,提升了学生的直观想象素养. 1.设有一正态总体,它的正态曲线是函数f(x)的图象,且f(x)= ,则这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A.10与8B.10与2 C.8与10D.2与10 答案 B 解析 由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2. 2.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为( ) A.P1=P2B.P1 答案 A 解析 根据正态曲线的特点,图象关于x=0对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P1,P2相等. 3.已知某批零件的长度误差(单位: 毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附: 若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈95.45%) A.4.56%B.13.59% C.27.18%D.31.74% 答案 B 解析 P(3<ξ<6)= [P(-6<ξ<6)-P(-3<ξ<3)]≈ (95.45%-68.27%)=13.59%.故选B. 4.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ 答案 2 解析 ∵ξ~N(2,9), 又P(ξ>c+1)=P(ξ ∴ =2,∴c=2. 5.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为. 答案 0.8 解析 如图,易得P(0 故P(0 1.知识清单: (1)正态曲线及其特点. (2)正态分布. (3)正态分布的应用,3σ原则. 2.方法归纳: 转化化归、数形结合. 3.常见误区: 概率区间转化不等价. 1.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是( ) A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C.随机变量落在[-3σ,3σ]之外是一个小概率事件 D.随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件 答案 D 解析 ∵P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973,∴P(X>μ+3σ或X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈1-0.9973=0.0027,∴随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件. 2.(多选)已知三个正态密度函数φi(x)= (x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.σ1=σ2B.μ1>μ2 C.μ1=μ2D.σ2<σ3 答案 AD 解析 由图可知μ2=μ3>μ1,σ1=σ2<σ3,故AD正确. 3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),P(ξ<4)=0.84,则P(ξ≤0)等于( ) A.0.16B.0.32 C.0.68D.0.84 答案 A 解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2, ∵P(ξ<4)=0.84, ∴P(ξ≥4)=1-0.84=0.16, ∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16. 4.若随机变量X服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是 ,则该随机变量的方差等于( ) A.10B.100C. D. 答案 C 解析 由正态分布密度曲线上的最高点为 知 = ,∴D(X)=σ2= . 5.如图所示是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( ) A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3 C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3 答案 D 解析 当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)= 在x=0处取最大值 ,故σ2=1.由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,反之越“矮胖”.故选D. 6.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X≤1)=0.5,则实数a的值为. 答案 1 解析 ∵X服从正态分布N(a,4), ∴正态曲线关于直线x=a对称, 又P(X≤1)=0.5,故a=1. 7.已知随机变量X~N(2,σ2),如图所示,若P(X 答案 0.36 解析 ∵随机变量X~N(2,σ2),∴μ=2,由正态分布图象的对称性可得曲线关于直线x=2对称,∴P(X>4-a)=P(X4-a)=1-2P(X 8.已知X~N(4,σ2),且P(2 答案 2 0.84 解析 ∵X~N(4,σ2),∴μ=4. ∵P(2 ∴ ∴σ=2. ∴P(|X-2|<4)=P(-2 =P(-2 = [P(-2 = P(-2 P(2 9.已知随机变量X~N(3,σ2),且P(2≤X≤4)=0.68,求P(X>4)的值. 解 ∵随机变量X~N(3,σ2), ∴正态曲线关于直线x=3对称, 又P(2≤X≤4)=0.68,可得P(X>4)= ×[1-P(2≤X≤4)]= ×(1-0.68)=0.16. 10.一投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12),投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案? 解 对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ=8,σ=3,P(X>5)= +P(5 ≈0.84135; 对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ=7,σ=1, P(X>5)= ≈0.97725, 显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案. 11.在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中,学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9455人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第( ) A.1500名B.1700名C.4500名D.8000名 答案 A 解析 因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X>108)= [1-P(88≤X≤108)]= [1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈ ×(1-0.6827)=0.15865.所以0.15865×9455≈1500. 12.一批电阻的电阻值X(单位: Ω)服从正态分布N(1000,52),现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻,测得电阻值分别为1011Ω和982Ω,可以认为( ) A.甲、乙两箱电阻均可出厂 B.甲、乙两箱电阻均不可出厂 C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂 D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂 答案 C 解析 ∵X~N(1000,52),∴μ=1000,σ=5, ∴μ-3σ=1000-3×5=985, μ+3σ=1000+3×5=1015. ∵1011∈(985,1015),982∉(985,1015), ∴甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂. 13.某工厂生产一种螺栓,在正常情况下,螺栓的直径X(单位: mm)服从正态分布X~N(100,1).现加工10个螺栓的尺寸(单位: mm)如下: 101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X~N(μ,σ2),有P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.根据行业标准,概率低于0.003视为小概率事件,工人随机将其中的8个交与质检员检验,则质检员认为设备需检修的概率为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 10个螺栓的尺寸,只有103.2不在区间[97,103]内,∴工人随机将其中的8个交与质检员检验,质检员认为设备需检修的概率为 = ,故选B. 14.已知随机变量X~N(2,22),且aX+b(a>0)服从标准正态分布N(0,1),则a=,b=. 答案 -1 解析 ∵随机变量X~N(2,22), ∴E(X)=2,D(X)=22=4. ∴E(aX+b)=aE(X)+b=2a+b=0, D(aX+b)=a2D(X)=4a2=1, 又a>0,∴a= ,b=-1. 15.(多选)设X~N(μ1,σ ),Y~N(μ2,σ ),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中错误的是( ) A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t,P(X≤t)>P(Y≤t) D.对任意正数t,P(X>t)>P(Y>t) 答案 ABD 解析 由题图可知μ1<0<μ2,σ1<σ2, ∴P(Y≥μ2) P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错; 当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t), 而P(X≤t)=1-P(X>t),P(Y≤t)=1-P(Y>t), ∴P(X>t) t),故C正确,D错. 16.十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加,为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图: (1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入 (单位: 千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示); (2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入 ,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92,利用该正态分布,求: ①在扶贫攻坚工作中,若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元? ②为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立,记这1000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ,求E(ξ). 附参考数据: ≈2.63, 若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 解 =12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40(千元), 故估计50位农民的年平均收入 为17.40千元. (2)由题意知X~N(17.40,6.92), ①P(X>μ-σ)=0.5+ ≈0.8414, 所以μ-σ=17.40-2.63=14.77时,满足题意, 即最低年收入大约为14.77千元. ②由P(X>12.14)=P(X>μ-2σ)=0.5+ ≈0.9773, 每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.9773, 则ξ~B(1000,p),其中p=0.9773, 所以E(ξ)=1000×0.9773=977.3. 高考数学: 试卷答题攻略 一、“六先六后”,因人因卷制宜。 考生可依自己的解题习惯和基本功,选择执行“六先六后”的战术原则。 1.先易后难。 2.先熟后生。 3.先同后异。 先做同科同类型的题目。 4.先小后大。 先做信息量少、运算量小的题目,为解决大题赢得时间。 5.先点后面。 高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”,解答时不必一气审到底,应走一步解决一步,步步为营,由点到面。 6.先高后低。 即在考试的后半段时间,如估计两题都会做,则先做高分题;估计两题都不易,则先就高分题实施“分段得分”。 二、一慢一快,相得益彰,规范书写,确保准确,力争对全。 审题要慢,解答要快。 在以快为上的前提下,要稳扎稳打,步步准确。 假如速度与准确不可兼得的话,就只好舍快求对了。 三、面对难题,以退求进,立足特殊,发散一般,讲究策略,争取得分。 对于一个较一般的问题,若一时不能取得一般思路,可以采取化一般为特殊,化抽象为具体。 对不能全面完成的题目有两种常用方法: 1.缺步解答。 将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤,每进行一步就可得到一步的分数。 2.跳步解答。 若题目有两问,第一问做不上,可以第一问为“已知”,完成第二问。 四、执果索因,逆向思考,正难则反,回避结论的肯定与否定。 对一个问题正面思考受阻时,就逆推,直接证有困难就反证。 对探索性问题,不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”,可以一开始,就综合所有条件,进行严格的推理与讨论,则步骤所至,结论自明。 理综求准求稳求规范 第一: 认真审题。 审题要仔细,关键字眼不可疏忽。 不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过,要注意“陈题”中可能有“新意”。 也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃,要知道“难题”也可能只难在一点,“新题”只新在一处。 第二: 先易后难。 试卷到手后,迅速浏览一遍所有试题,本着“先易后难”的原则,确定科学的答题顺序,尽量减少答题过程中的学科转换次数。 高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列,建议大家由前向后顺序答题,遇难题千万不要纠缠。 第三: 选择题求稳定。 做选择题时要心态平和,速度不能太快。 生物、化学选择题只有一个选项,不要选多个答案;对于没有把握的题,先确定该题所考查的内容,联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择,也应猜测一个答案,不要空题。 物理题为不定项选择,在没有把握的情况下,确定一个答案后,就不要再猜其他答案,否则一个正确,一个错误,结果还是零分。 选择题做完后,建议大家立即涂卡,以免留下后患。 第四: 客观题求规范。 ①用学科专业术语表达。 物理、化学和生物都有各自的学科语言,要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案,不能用自造的词语来组织答案。 ②叙述过程中思路要清晰,逻辑关系要严密,表述要准确,努力达到言简意赅,切中要点和关键。 ③既要规范书写又要做到文笔流畅,不写病句和错别字,特别是专业名词和概念。 ④遇到难题,先放下,等做完容易的题后,再解
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