届一轮复习北师大版垂直关系教案.docx
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届一轮复习北师大版垂直关系教案
第四节 垂直关系
[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
1.直线与平面垂直
(1)定义:
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.
(2)定理
2.二面角
(1)定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.
(2)二面角的度量——二面角的平面角:
以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫作直二面角.
3.平面与平面垂直
(1)定义:
两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)定理
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )
(3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.( )
(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且lα,mβ.( )
A.若l⊥β,则α⊥β
B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β
D.若α∥β,则l∥m
A [∵l⊥β,lα,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.]
3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥lD.m⊥n
C [∵α∩β=l,∴lβ.
∵n⊥β,∴n⊥l.]
4.如图741,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
图741
4 [∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,
则△PAB,△PAC为直角三角形.
由BC⊥AC,且AC∩PA=A,
∴BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC.
因此△ABC,△PBC也是直角三角形.]
5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为________.
【导学号:
66482336】
a [如图所示,取BD的中点O,连接A′O,CO,则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角.
即∠A′OC=90°,又A′O=CO=
a,
∴A′C=
=a,即折叠后AC的长(A′C)为a.]
线面垂直的判定与性质
如图742,在三棱锥ABCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.
图742
(1)求证:
CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥AMBC的体积.
[解]
(1)证明:
因为AB⊥平面BCD,CD平面BCD,
所以AB⊥CD.2分
又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,
AB平面ABD,BD平面ABD,
所以CD⊥平面ABD.5分
(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.
又AB=BD=1,所以S△ABD=
×12=
.8分
因为M是AD的中点,所以S△ABM=
S△ABD=
.
根据
(1)知,CD⊥平面ABD,
则三棱锥CABM的高h=CD=1,
故VAMBC=VCABM=
S△ABM·h=
.12分
[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法:
(1)判定定理;
(2)垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);
(3)面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
(4)面面垂直的性质.
2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
[变式训练1] 如图743所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=
DB,点C为圆O上一点,且BC=
AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.
图743
求证:
PA⊥CD.
[证明] 因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,在Rt△ABC中,由
AC=BC,得∠ABC=30°.3分
设AD=1,由3AD=DB,得DB=3,BC=2
,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos30°=3,
所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AO.8分
因为PD⊥平面ABC,CD平面ABC,
所以PD⊥CD,由PD∩AO=D,得CD⊥平面PAB,又PA平面PAB,所以PA⊥CD.12分
面面垂直的判定与性质
(2017·郑州调研)如图744,三棱台DEFABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
图744
(1)求证:
BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:
平面BCD⊥平面EGH.
[证明]
(1)如图所示,连接DG,CD,设CD∩GF=M,
连接MH.1分
在三棱台DEFABC中,
AB=2DE,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.3分
则M为CD的中点,
又H为BC的中点,
所以HM∥BD,
由于HM平面FGH,BD
平面FGH,
故BD∥平面FGH.5分
(2)连接HE,CE,CD.
因为G,H分别为AC,BC的中点,
所以GH∥AB.6分
由AB⊥BC,得GH⊥BC.
又H为BC的中点,
所以EF∥HC,EF=HC,
因此四边形EFCH是平行四边形,
所以CF∥HE.10分
由于CF⊥BC,所以HE⊥BC.
又HE,GH平面EGH,HE∩GH=H.
所以BC⊥平面EGH.
又BC平面BCD,
所以平面BCD⊥平面EGH.12分
[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路:
(1)用面面垂直的判定定理,即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;
(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.
2.垂直问题的转化关系:
[变式训练2] 如图745,在三棱锥PABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,M,N分别为AB,PA的中点.
图745
(1)求证:
PB∥平面MNC;
(2)若AC=BC,求证:
PA⊥平面MNC.
[证明]
(1)因为M,N分别为AB,PA的中点,所以MN∥PB,2分
又因为MN平面MNC,PB
平面MNC,
所以PB∥平面MNC.5分
(2)因为PA⊥PB,MN∥PB,所以PA⊥MN.
因为AC=BC,AM=BM,所以CM⊥AB.7分
因为平面PAB⊥平面ABC,
CM平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB.
所以CM⊥平面PAB.10分
因为PA平面PAB,所以CM⊥PA.
又MN∩CM=M,所以PA⊥平面MNC.12分
平行与垂直的综合问题
☞角度1 多面体中平行与垂直关系的证明
(2016·江苏高考)如图746,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
图746
求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明]
(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.3分
又因为DE
平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.5分
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.7分
又因为A1C1⊥A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.10分
又因为B1D⊥A1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.12分
[规律方法] 1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
☞角度2 平行垂直中探索开放问题
(2017·秦皇岛调研)如图747
(1)所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图747
(2)所示.
(1)
(2)
图747
(1)求证:
A1F⊥BE;
(2)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?
并说明理由.
【导学号:
66482337】
[证明]
(1)由已知,得AC⊥BC,且DE∥BC.
所以DE⊥AC,则DE⊥DC,DE⊥DA1,
因为DC∩DA1=D,
所以DE⊥平面A1DC.2分
由于A1F平面A1DC,所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD,CD∩DE=D,
所以A1F⊥平面BCDE,
又BE平面BCDE,
所以A1F⊥BE.5分
(2)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.6分
理由如下:
如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,连接PQ,则PQ∥BC.
又因为DE∥BC,则DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEQP.9分
由
(1)知,DE⊥平面A1DC,
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
所以A1C⊥DP.
又DP∩DE=D,
所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.12分
[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径:
(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.
2.平行(垂直)中点的位置探索性问题:
一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识建点.
线面角的求法与应用
(2016·浙江高考)如图748,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
图748
(1)求证:
BF⊥平面ACFD;
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
[解]
(1)证明:
延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.1分
因为平面BCFE⊥平面ABC,
且AC⊥BC,
所以AC⊥平面BCK,3分
因此,BF⊥AC.
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD.5分
(2)因为BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分
在Rt△BFD中,BF=
,DF=
,得cos∠BDF=
,所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为
.12分
[规律方法] 1.利用综合法求空间角的步骤:
(1)找:
根据图形找出相关的线面角或二面角.
(2)证:
证明找出的角即为所求的角.
(3)算:
根据题目中的数据,通过解三角形求出所求角.
2.线面角的求法:
找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.
[变式训练3] 如图749,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
图749
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)证明:
AE⊥平面PCD.
[解]
(1)在四棱锥PABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD,
故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,
从而AB⊥平面PAD,2分
故PB在平面PAD内的射影为PA,
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.
∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°.5分
(2)证明:
在四棱锥PABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,
故CD⊥PA.
由条件CD⊥AC,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.7分
又AE平面PAC,∴AE⊥CD.
由PA=AB=BC,
∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,
∴AE⊥PC.10分
又PC∩CD=C,
故AE⊥平面PCD.12分
[思想与方法]
1.证明线面垂直的方法:
(1)线面垂直的定义:
a与α内任一直线都垂直⇒a⊥α;
(2)判定定理1:
⇒l⊥α;
(3)判定定理2:
a∥b,a⊥α⇒b⊥α;
(4)面面垂直的性质:
α⊥β,α∩β=l,aα,a⊥l⇒a⊥β.
2.证明面面垂直的方法.
(1)利用定义:
两个平面相交,所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理:
aα,a⊥β⇒α⊥β.
3.转化思想:
垂直关系的转化
[易错与防范]
1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.
2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
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