偏微分方程习题及答案.docx
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偏微分方程习题及答案
偏微分方程习题及答案
【篇一:
偏微分方程数值解法期末考试题答案】
题答案及评分标准
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使用教材:
教材作者:
出版社:
数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲(自编,2006)《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社
一、判断题(每小题1分,共10分)1、(o)2、(o)3、(x)4、(x)5、(o)6、(o)7、(o)8、(x)9、(x)10、(o)
二、选择题(每小题2分,共10分)11、(d)12、(a)13、(c)14、(b)15、(c)
三、填空题(每小题2分,共20分)
?
2?
2
16、2?
2?
?
x1?
x2?
2
?
217、a=[459;23517;11231]18、y=exp(-t/3)*sin(3*t)?
xn
19、help20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])
?
(s)?
1?
(s)?
c[?
?
(s)]2?
023、a[?
2(s)]2?
2b?
2
24
?
?
?
?
v(?
)ed?
25、
i?
x
u(xj,tn?
1)?
u(xj,tn)
?
四、计算题:
(每小题12分,共36分)
?
u?
u
?
0(x?
r,t?
0)的有限差分方程(两层显示26、写成对流方程?
a
?
t?
x
格式,用第n层计算第n+1层),并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式?
?
?
/h为网格比。
解:
在点(xj,tn)处,差分方程为
?
1un?
unjj
?
?
a
n
unj?
1?
uj
h
?
0(j?
0,?
1,?
2,
,n?
0,1,2,
)(8分)
便于计算的形式为
?
1nnn
?
?
?
/h(4分)un?
u?
a?
(u?
ujjj?
1j),
?
u?
2u
?
a2的有限差分方程(中心差分格式,用第n层27、写出扩散方程?
t?
x
计算第n+1层),并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式,?
?
?
/h2为网格比。
解所给对流扩散方程的近似差分方程为
?
1nnun?
ununjjj?
1?
2uj?
uj?
1
?
a?
0(j?
0,?
1,?
2,,n?
0,1,2,)(8分)?
h2
便于迭代计算的格式为
?
1nnnn2
,(4分)?
?
?
/hun?
u?
a?
(u?
2u?
u)jjj?
1jj?
1
?
1nn
28、计算差分格式un(其中?
?
?
/h,a?
0)的增长?
unjj?
a?
(uj?
1?
uj),
因子,并根据vonneumann条件给出差分格式稳定性条件。
nnijkhn?
1nnn
解令uj?
ve,代入uj?
uj?
a?
(uj?
1?
uj),得到
vn?
1eijkh?
vneijkh?
a?
vn(1?
e?
ikh)eijkh
消去公因子有
vn?
1?
[1?
a?
(1?
e?
ikh)]vn(6分)
增长因子为
g(?
k)?
1?
a?
(1?
e?
ikh)?
1?
a?
(1?
coskh)?
a?
isinkh
所以有
kh2
如果a?
?
1,则有|g(?
k)|?
1,根据vonneumann条件,格式是稳定的。
(6分)
|g(?
k)|2?
[1?
a?
(1?
coskh)]2?
[a?
isinkh]2?
1?
4a?
(1?
a?
)sin2
五、证明题(12分)
29、把下列richardson格式改写为与其等价的二层差分格式,利用求增长矩阵的特征值的方法证明该格式破坏了vonneumann条件,从而证明此格式不稳定。
2?
1?
1nn
un?
un?
2a?
(unjjj?
1?
2uj?
uj?
1),?
?
?
/h证明把已知的三层格式化为二层差分方程组
n?
1nnnn?
?
uj?
vj?
2a?
(uj?
1?
2uj?
uj?
1)
?
n?
1n
?
?
vj?
uj
nnt
令unj?
[uj,vj],则以上方程组可以改写为
n?
1nnn
?
?
?
?
?
?
?
?
uuuu?
2a?
0?
4a?
02a?
0?
?
?
?
?
?
jj?
1jj?
1n?
1
uj?
?
n?
1?
?
?
?
?
n?
?
?
10?
?
n?
?
?
00?
?
n?
(4分)00?
?
?
?
?
?
?
?
vj?
?
?
?
vj?
1?
?
?
?
vj?
?
?
?
vj?
1?
?
或
?
2a?
0?
n?
?
4a?
0?
n?
2a?
0?
n
u?
?
?
uj?
1?
?
10?
uj?
?
00?
uj?
100?
?
?
?
?
?
nikjh
令un,代入上式消去公因子eikjh,得到j?
vje
n?
1
j
?
2a?
0?
ni(j?
1)kh?
?
4a?
0?
nijkh?
2a?
0?
ni(j?
1)kh
ve?
?
?
?
?
vje?
vje?
?
00?
vje0010?
?
?
?
?
?
?
?
2a?
0?
ikh?
?
4a?
0?
?
2a?
0?
?
ikh?
nijkh?
?
?
e?
?
?
?
e?
vje(4分)?
?
?
?
10?
?
00?
?
?
00?
?
化简系数矩阵得到
?
?
2kh?
8a?
sin1?
vnvn?
1?
?
2?
?
10?
?
其特征值为
kh?
1,2?
?
4a?
sin22取正的为?
1,则有
kh
|?
1|?
1?
4a?
sin2
2
由此不满足vonneumann条件,所有richardson格式是不稳定的。
(4分)
n?
1ijkh
j
六、编程题(12分):
30、用matlab的m文件的形式(function函数)写出以下迭代格式的计算程序。
?
1nn
?
?
?
/hun?
unjj?
a?
(uj?
1?
uj),初始条件为u(x,0)?
sin?
x,0?
x?
1,u(0,t)?
u(1,t)?
0,t?
0。
解设a为方程中的系数a,tao为时间步长?
,h为空间步长,n,m分别为时间和空间的最大计算步数。
function函数如下function[u]=jch(a,tao,h,n,m)%u=1;t=0.5;x=1;
lamda=tao/h;forj=1:
n
x(j+1)=x(j)+tao;forn=1:
m
t(n+1)=t(n)+h;ifj==1
u(j,n)=sin(pi*x(j));else
ifn==1
u(j,n)=0;else
u(j,n)=(1-a*lamda)*u(j,n-1)+a*lamda*u(j-1,n-1);%u(j,n)=0;endendendendend
【篇二:
《常微分方程》答案习题5.2】
2—0202412—03
?
t2
1.试验证?
?
t?
=?
?
2t
t?
?
1?
1?
?
x?
2?
x,x=?
1?
?
x2?
t?
?
是方程组x
?
0
=?
?
2
2?
?
t
,在任何不包含原点的区间a?
t?
b上
的基解矩阵。
?
t2?
?
解:
令?
?
t?
的第一列为?
1(t)=?
?
2t?
?
?
?
2t?
这时?
(t)=?
?
2?
?
?
?
1
?
0=?
?
2?
2?
t1?
2?
?
t?
?
1(t)故
?
1?
?
0?
?
1(t)是一个解。
同样如果以?
2(t)表示?
?
t?
第二列,我们有?
2(t)=?
?
?
?
?
0?
2?
?
2?
t
1?
2?
?
2?
t?
=
(t)这样?
2(t)也是一个解。
因此?
?
t?
是解矩阵。
又因为
det?
?
t?
=-t2故?
?
t?
是基解矩阵。
2.考虑方程组x=a(t)x(5.15)其中a(t)是区间a?
t?
b上的连续n?
n矩阵,它的元素为a(t),i,j=1,2,…,n
ij
a)如果x1(t),x2(t),…,xn(t)是(5.15)的任意n个解,那么它们的伏朗斯基行列式w[x1(t),x2(t),…,xn(t)]?
w(t)满足下面的一阶线性微分方程w=[a11(t)+a22(t)+…+ann(t)]w
b)解上面的一阶线性微分方程,证明下面公式:
w(t)=w(t0)e
x11
?
t[a11(s)?
a22(s)?
...ann(s)]ds
0t
t0,t?
[a,b]
x12x22.xn2
x12x22.xn2
..........
x1nx2n.xnn
x11
..........
x1nx2n.xnn
x11x12x22.?
2xn
..........
x1nx2n.?
xnn
解:
w(t)=
x21.xn1
+
x21.xn1
+…+
x21.?
1xn
=
a11x11?
a12x21?
..a1nxn1
x21.xn1
x11
a11x12?
a12x22?
...?
a1nxn2
x22.xn2
x12x22.
an1x21?
..?
annxn2
x11
x12x22.annxn2
..........
....................
a11x1n?
a12x2n?
...?
a1nxnn
x2n.xnn
x1nx2n.
an1xnn?
...?
annxnnx1nx2n.
+…+
x21.
an1x11?
...?
annxn1
=
a11x11x21.xn1
a11x12x22.xn2
..........
a11x1nx2n.xnnx11
x12x22.xn2
..........
+…+
x21.annxn1x1nx2n.xnn
整理后原式变为
annxnn
(a11+…+ann)
x21.xn1
=(a11+…+ann)w(t)
=(a11(t)+…+ann(t))w(t)
b)由于w(t)=[a11(t)+…+ann(t)]w(t),即两边从t0到t积分lnw(t)=w(t0)e
?
t0[a11(s)?
...?
ann(s)]ds
t
dw(t)w(t)
w(t0)
=[a11(t)+…+ann(t)]dt=?
t
t
w(t)
-ln
[a11(s)?
...?
ann(s)]ds
即
t?
[a,b]
3.设a(t)为区间a?
t?
b上的连续n?
n实矩阵,?
?
t?
为方程x=a(t)x的基解矩阵,而x=?
(t)为其一解,试证:
a)对于方程y=-at(t)y的任一解y=?
(t)必有?
t(t)
?
(t)=常数;
b)?
(t)为方程y=-at(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵c,使?
t(t)解a)[
?
t
?
(t)=c.
?
t
(t)
?
(t)]=
?
?
?
(t)+
?
t
t
?
(t)=
?
t
?
(t)+
?
t
(t)a(t)?
又因为?
=-at(t)[
?
t
(t),所以?
t
=-?
t(t)a(t)
?
t
(t)
?
(t)]=-(t)
?
(t)a(t)+(t)a(t)
?
(t)=0,
所以对于方程y=-at(t)y的任一解y=?
(t)必有?
t(t)b)“?
”假设为方程y=-at(t)y的基解矩阵,则[
?
?
t
?
(t)=常数
(t)
?
(t)]=[?
?
t
(t)]?
?
t?
+?
t
(t)
?
?
t
(t)=[-at(t)
?
(t)]?
?
t?
+
t
(t)at(t))?
?
t?
+
t
t
(t)[a(t)
?
(t)]=-(t)at(t)?
?
t?
+?
(t)at(t)
?
?
t?
=0,故?
(t)
?
(t)=c
?
“?
”若存在非奇异常数矩阵c,detc?
0,使?
t(t)则[
?
?
?
t
(t)=c,
t
(t)
?
?
t
(t)]=
?
t
t
?
(t)+
?
t
?
(t)=0,故?
t
(t)?
(t)=-
?
?
t
(t)
(t)a(t)
t
(t)=-
?
(t)a(t)所以?
(t)=-
?
t
(t)a(t),(t)=-
(t)at(t)即?
(t)为方程y=-at(t)y的基解矩阵
4.设?
?
t?
为方程x=ax(a为n?
n常数矩阵)的标准基解矩阵(即?
(0)=e),证明:
?
?
t?
?
?
1
(t0)=?
(t-t0)其中t0为某一值.
证明:
(1)?
?
t?
?
(t-t0)是基解矩阵。
(2)由于?
?
t?
为方程x=ax的解矩阵,所以?
?
t?
?
?
1(t0)也是x=ax的解矩阵,而当t=t0时,?
(t0)?
?
1(t0)=e,
?
(t-t0)=?
(0)
=e.故由解的存在唯一性定理,得?
?
t?
?
?
1(t0)=?
(t-t0)
5.设a(t),f(t)分别为在区间a?
t?
b上连续的n?
n矩阵和n维列向量,证明方程组x=a(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。
证明:
设x1,x2,…xn是x=a(t)x的n个线性无关解,
x
是
x=a(t)x+f(t)的一个解,则x1+x,x2+x,…,xn+x,x都是非齐线性方程的解,下面来证明它们线性无关,假设存在不全为零的常数ci,(i=1,2,…,n)使得?
ci(xi
i?
1n
?
x)
+cn?
1
x
=0,从而x1+x,x2+x,…,
xn+x,x在a?
t?
b上线性相关,此与已知矛盾,因此x1+x,x2+x,…,xn+x,x线性无关,所以方程组x=a(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。
6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理:
x?
a(t)x?
f1(t)
x?
a(t)x?
f2(t)
的解,则x1(t)?
x2(t)是方程组
x?
a(t)x?
f1(t)?
f2(t)
的解。
证明:
x
?
a(t)x?
f1(t)
(1)
x?
a(t)x?
f2(t)
(2)
分别将x1(t),x2(t)代入
(1)和
(2)则x则x
1
?
a(t)x1?
f1(t)
x2?
a(t)x?
f2(t)
1
?
x2?
a(t)[x1(t)?
x2(t)]?
f1(t)?
f2(t)
[x1(t)?
x2(t)]?
a(t)[x1(t)?
x2(t)]?
f1(t)?
f2(t)
令x?
x1(t)?
x2(t)
x?
a(t)x?
f1(t)?
f2(t)
即证
7.考虑方程组x
?
2a?
?
?
0
1?
?
2?
?
ax?
f(t),其中
?
x1?
x?
?
?
?
x2?
2t2t
?
sint?
f(t)?
?
?
?
cost?
a)试验证
?
e2t
?
(t)?
?
?
0
tee
?
?
?
是x
?
ax
的基解矩阵;
?
1?
?
的解?
(t)。
?
1?
?
b)试求x?
ax?
f(t)的满足初始条件?
(0)?
?
证明:
a)首先验证它是基解矩阵
以?
1(t)表示?
(t)的第一列
?
2e2t
则?
1(t)?
?
?
0?
?
e2t
?
1(t)?
?
?
0?
?
?
?
?
?
?
2?
?
?
?
?
0?
?
1?
?
e2t?
?
?
2?
?
?
0
?
?
2
?
?
?
?
?
0?
?
1?
?
?
1(t)2?
?
故?
1(t)是方程的解
如果以?
2(t)表示?
(t)的第二列
?
e2t?
2te2t
我们有?
2(t)?
?
2t?
2e?
?
te2t
?
2(t)?
?
?
e2t?
?
?
2?
?
?
?
?
0?
?
?
?
?
?
1?
?
?
2(t)2?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
0?
?
1?
?
te2t
?
?
?
2t2?
?
e?
故?
2(t)也是方程的解从而?
(t)是方程的解矩阵又det?
(t)?
故?
(t)是x
e
2t
tee
2t2t
?
ax
?
e
4t
?
0
的基解矩阵;
的解
?
1?
b)由常数变易公式可知,方程满足初始条件?
(0)?
?
?
?
?
1?
?
(t)?
?
(t)?
?
1`
(0)?
?
?
(t)?
?
t
?
1
f(s)ds
而?
?
1
(t)?
?
e2t?
?
0?
e
?
tee
4t
2t
2t
?
?
?
?
?
1?
?
?
0?
2t
?
t?
?
2t
?
e1?
?
2t2t
?
(1?
t)e
?
?
(t)?
?
?
?
e2t?
2t
?
?
e?
?
?
?
?
0?
?
tee
?
t?
e?
?
?
?
0?
0?
?
?
2s
?
see
?
2s
?
2s
11?
1?
2t
(?
15t?
27)e?
cost?
sint?
?
?
?
sins?
252525?
?
?
?
ds?
?
?
?
coss?
3212t?
?
?
?
?
?
e?
cost?
sint?
?
555?
?
8、试求x
?
2
a?
?
?
0
?
ax?
f(t),其中1?
?
2?
?
x1?
x?
?
?
?
x2?
?
0?
f(t)?
?
2t?
?
e?
满足初始条件
【篇三:
偏微分方程数值解习题解答案】
章第三章第四章第五章第六章
第二章第三章第四章第五章第六章
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