初一数学动点问题例题集.docx
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初一数学动点问题例题集
初一数学动点问题集锦
1、如图,已知
中,厘米,厘米,点为的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?
解:
(1)①∵秒,
∴厘米,
∵厘米,点为的中点,
∴厘米.
又∵厘米,
∴厘米,
∴.
又∵,
∴,
∴.(4分)
②∵,∴,
又∵,,则,
∴点,点运动的时间秒,
∴厘米/秒.(7分)
(2)设经过秒后点与点第一次相遇,
由题意,得,
解得秒.
∴点共运动了厘米.
∵,
∴点、点在边上相遇,
∴经过秒点与点第一次在边上相遇.(12分)
2、直线与坐标轴分别交于两点,动点同时从点出发,同时到达点,运动停止.点沿线段运动,速度为每秒1个单位长度,点沿路线→→运动.
(1)直接写出两点的坐标;
(2)设点的运动时间为秒,的面积为,求出与之间的函数关系式;
(3)当时,求出点的坐标,并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.
解
(1)A(8,0)B(0,6)1分
(2)
点由到的时间是(秒)
点的速度是(单位/秒)1分
当在线段上运动(或0)时,
1分
当在线段上运动(或)时,,
如图,作于点,由,得,1分
1分
(自变量取值范围写对给1分,否则不给分.)
(3)1分
3分
3如图,在平面直角坐标系中,直线l:
y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.
(1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
解:
(1)⊙P与x轴相切.
∵直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0),
与y轴交于B(0,-8),
∴OA=4,OB=8.
由题意,OP=-k,
∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,
∴k=-3,∴OP等于⊙P的半径,
∴⊙P与x轴相切.
(2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形,∴DE=CD=,PD=3,
∴PE=.
∵∠AOB=∠PEB=90°,∠ABO=∠PBE,
∴△AOB∽△PEB,
∴,
∴
∴,
∴,
∴.
当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,--8),
∴k=--8,
∴当k=-8或k=--8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
4(09哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
解:
5在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t=2时,AP=,点Q到AC的距离是;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?
若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值.
解:
(1)1,;
(2)作QF⊥AC于点F,如图3,AQ=CP=t,∴.
由△AQF∽△ABC,,
得.∴.
∴,
即.
(3)能.
①当DE∥QB时,如图4.
∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.
此时∠AQP=90°.
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
由△APQ ∽△ABC,得,
即.解得.
②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形.
此时∠APQ=90°.
由△AQP ∽△ABC,得,
即.解得.
(4)或.
①点P由C向A运动,DE经过点C.
连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6.
,.
由,得,解得.
②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7.
,】
6如图,在中,,.点是的中点,过点的直线从与重合的位置开始,绕点作逆时针旋转,交
O
E
C
B
D
A
l
O
C
B
A
(备用图)
边于点.过点作交直线于点,设直线的旋转角为.
(1)①当度时,四边形是等腰梯形,此时的长为;
②当度时,四边形是直角梯形,此时的长为;
(2)当时,判断四边形是否为菱形,并说明理由.
解
(1)①30,1;②60,;……………………4分
(2)当∠α=900时,四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900,∴BC∵CE……………………6分
在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2,
∴∠A=300.
∴AB=4,AC=2.
∴AO==.……………………8分
在Rt△AOD中,∠A=300,∴AD=2.
∴BD=2.
∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形,
∴四边形EDBC是菱形……………………10分
A
D
C
B
M
N
7如图,在梯形中,动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动.设运动的时间为秒.
(1)求的长.
(2)当时,求的值.
(3)试探究:
为何值时,为等腰三角形.
解:
(1)如图①,过、分别作于,于,则四边形是矩形
∴1分
在中,
2分
在中,由勾股定理得,
∴3分
(2)如图②,过作交于点,则四边形是平行四边形
∵
∴
∴
∴4分
由题意知,当、运动到秒时,
∵
∴
又
∴
∴5分
即
解得,6分
(3)分三种情况讨论:
①当时,如图③,即
∴7分
②当时,如图④,过作于
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
在中,
又在中,
∴
解得8分
解法二:
∵
∴
∴
即
∴8分
③当时,如图⑤,过作于点.
解法一:
(方法同②中解法一)
解得
解法二:
∵
∴
∴
即
∴
综上所述,当、或时,为等腰三角形9分
8如图1,在等腰梯形中,,是的中点,过点作交于点.,.
(1)求点到的距离;
(2)点为线段上的一个动点,过作交于点,过作交折线于点,连结,设.
①当点在线段上时(如图2),的形状是否发生改变?
若不变,求出的周长;若改变,请说明理由;
②当点在线段上时(如图3),是否存在点,使为等腰三角形?
若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.
解
(1)如图1,过点作于点1分
∵为的中点,
∴
在中,∴2分
∴
即点到的距离为3分
(2)①当点在线段上运动时,的形状不发生改变.
∵∴
∵∴,
同理4分
如图2,过点作于,∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴
∴
∴
则
在中,
∴的周长=6分
②当点在线段上运动时,的形状发生改变,但恒为等边三角形.
当时,如图3,作于,则
类似①,
∴7分
∵是等边三角形,∴
此时,8分
当时,如图4,这时
此时,
当时,如图5,
则又
∴
因此点与重合,为直角三角形.
∴
此时,
综上所述,当或4或时,为等腰三角形.10分
9如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),
点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,
设运动的时间为t秒.
(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;
(2)求正方形边长及顶点C的坐标;
(3)在
(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标;
(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.
解:
(1)(1,0)1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度.2分
(2)过点作BF⊥y轴于点,⊥轴于点,则=8,.
∴.
在Rt△AFB中,3分
过点作⊥轴于点,与的延长线交于点.
∵∴△ABF≌△BCH.
∴.
∴.
∴所求C点的坐标为(14,12).4分
(3)过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥轴于点N,
则△APM∽△ABF.
∴..
∴.∴.
设△OPQ的面积为(平方单位)
∴(0≤≤10)5分
说明:
未注明自变量的取值范围不扣分.
∵<0∴当时,△OPQ的面积最大.6分
此时P的坐标为(,).7分
(4)当或时,OP与PQ相等.9分
10数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.,且EF交正方形外角的平行线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证,所以.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
解:
(1)正确.(1分)
证明:
在上取一点,使,连接.(2分)
.,.
是外角平分线,
,
.
.
,,
.
(ASA).(5分)
.(6分)
(2)正确.(7分)
证明:
在的延长线上取一点.
使,连接.(8分)
.
.
四边形是正方形,
.
.
.
(ASA).(10分)
.(11分)
11已知一个直角三角形纸片,其中.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边交于点,与边交于点.
(Ⅰ)若折叠后使点与点重合,求点的坐标;
(Ⅱ)若折叠后点落在边上的点为,设,,试写出关于的函数解析式,并确定的取值范围;
(Ⅲ)若折叠后点落在边上的点为,且使,求此时点的坐标.
解(Ⅰ)如图①,折叠后点与点重合,
则.
设点的坐标为.
则.
于是.
在中,由勾股定理,得,
即,解得.
点的坐标为.4分
(Ⅱ)如图②,折叠后点落在边上的点为,
则.
由题设,
则,
在中,由勾股定理,得.
,
即6分
由点在边上,有,
解析式为所求.
当时,随的增大而减小,
的取值范围为.7分
(Ⅲ)如图③,折叠后点落在边上的点为,且.
则.
又,有.
.
有,得.9分
在中,
设,则.
由(Ⅱ)的结论,得,
解得.
点的坐标为.10分
12问题解决
如图
(1),将正方形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点,重合),压平后得到折痕.当时,求的值.
类比归纳
在图
(1)中,若则的值等于;若则的值等于;若(为整数),则的值等于.(用含的式子表示)
联系拓广
如图
(2),将矩形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点重合),压平后得到折痕设则的值等于.(用含的式子表示)
解:
方法一:
如图(1-1),连接.
由题设,得四边形和四边形关于直线对称.
∴垂直平分.∴1分
∵四边形是正方形,∴
∵设则
在中,.
∴解得,即3分
在和在中,
,
,
5分
设则∴
解得即6分
∴7分
方法二:
同方法一,3分
如图(1-2),过点做交于点,连接
∵∴四边形是平行四边形.
∴
同理,四边形也是平行四边形.∴
∵
在与中
∴5分
∵6分
∴7分
类比归纳
(或);;10分
联系拓广
12分
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