几何图形的基本模型.docx
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几何图形的基本模型
几何图形的基本模型
【典型例题】模型一:
双子型(手拉手模型)一一全等
(1)
等边三角形
3/AEB=600④0E平分/AED⑤点E在AOAB的外接
结论:
①AOACBAOBD②AC=BD③/AEB=900④OE平分/AED⑤点E在AOAB的外接
圆上
(3)任意等腰三角形
O
JAL
AH
条件:
AOAB,AOCD均为等腰三角形。
结论:
①AOACBAOBD②AC=BD③/AEB=/A0B④OE平分/AED(或/AED的外角)
⑤点E在AOAB的外接圆上
例题:
(1)如图①,△ABC中,AB=AC,在厶ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰三角形
ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M、N、G,连接GM、GN,线段GM与GN数量关系是
位置关系是
(2)如图②,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,AB>AC,其中,其它条件不变,上述结论还成立吗?
请说明理由。
(3)如图③,在
(2)的基础上,又作了进一步的探究,向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE,其它条件不变,试判断厶GMN的形状,并给与证明。
模型二:
双子型(手拉手模型)一一相似
(1)一般情况
条件:
CD//AB(AOCDs&OAB),将厶OCD旋转至右图位置
结论:
右图中①AOCDsaOAB?
AOAC^AOBD②延长AC交BD于点E,必有/AEB=/AOB③点E在AOAB的外接圆上。
(2)特殊情况
条件:
CD//AB(AOCDsaOAB),/AOB=/COD=9OO将AOCD旋转至右图位置结论:
右图中①AOCDsAOAB?
AOACsAOBD②延长AC交BD于点E,必有/AEB=900(BD丄AC)
1odob
③连接AD,BC,则Sabcd=?
ACXBD④oc=O^=tan/OCD⑤点E在AOAB的外接圆上(A,O,E,B四点共圆)⑥必有AD2+BC2=AB2+CD2
例题:
以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中/ABO=
/DCO=300
(1)
FM
EM
点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.
①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,
②如图2,将图1中厶AOB的绕点O沿顺时针方向旋转a角(0°VaV60°),其他条件不变,判断
需的值是否发生变化,并对你的结论进行证明
(3)如图3,若B0=3v3,点N在线段OD上,且NO=2.点P是线段AB上的一个动点,在将AOAB绕点0旋转过程中,线段PN长度的最小值为,最大值为
模型三:
对角互补模型
⑴全等型-900
'f:
—卜%Xi■5
条件:
①/AOB=/DCE=900②OC平分/AOB
结论:
①CD=CE②OD+OE=V2OC③
★
⑵全等型-1200
条件:
①/A0B=2/DCE=120°②OC平分/AOB
结论:
①CD=CE
②OD+OE=OC
7少4^1
例题1如图,D为等边AABC外一点,若/BDC=1200,求证:
AD平分/BDC
(典型例题:
等边三角形+对角互补,求证角平分线)
(典型例题:
等边三角形+角平分线,求证对角互补)
例题3如图,D为等边△ABC外一点(BDVCD),若/BAC=600,,若/BDC=120
AD平分/BDC,求证:
AB=AC
(典型例题:
对角互补+角平分线,求证等边三角形)
模型四:
角含半角模型90°
(1)角含半角模型90°-1
也可以这样:
条件:
①正方形ABCD②EF=DF+BE
结论:
①/EAF=450
(2)角含半角模型90°-2
条件:
①正方形ABCD;②/EAF=450
结论:
①EF=DF-BE
(3)角含半角模型900-3
BDECBDEC
F■
条件:
①等腰直角△ABC②/DAE=45°
结论:
bd2+ce2=de2
(4)
bd2+ce2=de2仍然成立
若/DAE旋转到△ABC外部时,结论角含半角模型90°-变形
条件:
①正方形ABCD;②/EAF=45
结论:
①厶AHE为等腰直角三角形②A、B、E、H四点共圆③G、E、F、H四点共圆
例题1已知,正方形ABCD中,/MAN=45°绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们
的延长线)于点M,N
⑴当/MAN绕点A旋转到如图1的位置时,求证:
BM+DN=MN
⑵当/MAN绕点A旋转到BM丰DN时(如图2),则线段BM,DN和MN之间的数量关系是
(3)当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时,猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样数量关系呢?
并对你的猜想加以说明。
例题2如图,抛物线y=ax2+bx+4过A(2,0),B(4,0)两点,交轴于y轴点C,过点C作x轴的平行线与抛物线的另一交点为D,连接AC,BC。
点P是抛物线上的一动点,设点P的横坐标为m(m>4)。
(1)求抛物线的函数解析式和的/ACB正切值。
(2)若/ACP=450,求m的值
模型五:
倍长中线模型
(1)倍长中线类模型-1
倍长中线类模型-2
条件:
①平行四边形ABCD②BC=2AB③AM=DM
结论:
/EMD=3/MEA
例1已知:
如图,△ABC中,AB=4,AC=6,AD为BC边上的中线,则线段AD的取值范围是
例2如图:
已知△ABC中,AD是中线,AE是BD的中线,BA=BD,求证:
AC=AE
模型六:
(2)
相似三角形模型一一反A型
(2)相似三角形模型一一直角母子型(射影定理)
条件:
AC丄BC,CD丄AB
结论:
①AC2=AD'AB②BC2=BD,AB③CD2=AD'BD
(3)相似三角形模型一一一线三等角型(K型相似)
条件:
/B=/ACE=/D
结论:
①AABCsACDE②AB'DE=BCCD(一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关
系式)
特别地,当C为DB中点时,AABCSACDE^AACE
(4)相似三角形模型一一圆幕定理型
如图2,切割线定理:
PA2=PB,PC如图3,割线定理:
PA'PB=PCPD
例题1如图,AABC和ADEC均为直角三角形。
/ACB=/DCE=90°,AC=J21,BC=V7,CD=v3
CE=1.将ADEC绕点C在平面内顺时针旋转,设旋转角为/BCD为a(0°aV360°),作直线BD,
连接AD,当点B,D,E在同一直线上时,画出图形,并求线段AD的长
例题2在△ABC和△ADE中,BA=BC,DA=DE,且/ACE=/ADE,点E在△ABC的内部,连接EC,EB和BD,设EC=k'DB(k工0).
(1)当/ACE=/ADE=600时,如图1,请求出k值,并给予证明
(2)当/ACE=/ADE=900时,
1如图2,
(1)中的k值是否发生变化,如无变化,请给予证明;如有变化,请求出
k值,并说明理由。
2如图3,当D,E,C三点共线,且E为DC中点时,请求出tan/EAC的值
mQan
模型七:
十字架模型
(i)正方形内的十字架型
条件:
①正方形ABCD②BF丄AE(EF丄GH)
结论:
AE=BF(EF=GH)
(3)
矩形内的十字架型
例题1如图,在正方形ABCD上,H在BC上,EF丄AH于点G,交AB于点E交DC于点F。
若
AB=3,BH=1求EF的长
例题2将边长为12cm的正方形ABCD折叠,使得点A落在边CD上的E点,然后压平得折痕FG,若GF的长为13cm,则线段CE的长为
例题3如图,若BA=BC=6,DA=DC=8,/BAD=90°,DE丄CF,请求出DE:
FC的值
模型八:
“定边对定角”模型
“定边对定角”动点成“隐圆
条件:
AB为定值,点P为动点,且/APB=a(a为定角)结论:
①点P在以AB为弦的圆弧上运动
②心在AB中垂线上,圆心角为2a(a为锐角)或360°-2a(a为钝角)
例题1如图,AC=3,BC=5,且/BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为()
3
A..132
4B...132
5C.5
6D.16
9
⑦
例题2如图,RtABC中,AB丄BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足/PAB=/PBC,则线段CP长的最小值为?
例题3如图,在边长为2v3的等边△ABC中,AE=CD,连接BE,AD相较于点P,则CP的最小值为
模型九:
“12345”模型
第十四页共十五页
若用符号“2”表示正切值为2是锐角,其余类似,则有如下结论:
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23
(3)“2~=45*+*1",料”=』彗+1■丄'
例题1如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上若,且CE=3v5,且ZECF=45°,则CF的长为
例题2如图在平面直角坐标系中,一次函数的图像y=2x-1分别交x、y轴于点A、B,将直线AB绕点
B顺时针旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是
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- 几何图形 基本 模型