浙江专用版学年高中数学第一章三角函数13三角函数的诱导公式一学案新人教A版必修2.docx

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浙江专用版学年高中数学第一章三角函数13三角函数的诱导公式一学案新人教A版必修2

§1.3　三角函数的诱导公式

（一）

学习目标

　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．

设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为（cosα，sinα）．

知识点一　诱导公式二

思考　角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？

角π＋α的终边与单位圆的交点P1（cos（π＋α），sin（π＋α））与点P（cosα，sinα）呢？

它们的三角函数之间有什么关系？

答案　角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：

诱导公式二

sinπ＋α＝－sinα，

cosπ＋α＝－cosα，

tanπ＋α＝tanα.

知识点二　诱导公式三

思考　角－α的终边与角α的终边有什么关系？

角－α的终边与单位圆的交点P2（cos（－α），sin（－α））与点P（cosα，sinα）有怎样的关系？

它们的三角函数之间有什么关系？

答案　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：

诱导公式三

sin－α＝－sinα，

cos－α＝cosα，

tan－α＝－tanα.

知识点三　诱导公式四

思考　角π－α的终边与角α的终边有什么关系？

角π－α的终边与单位圆的交点P3（cos（π－α），sin（π－α））与点P（cosα，sinα）有怎样的关系？

它们的三角函数之间有什么关系？

答案　角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：

诱导公式四

sin（π－α）＝sinα，

cos（π－α）＝－cosα，

tan（π－α）＝－tanα.

梳理　公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：

2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．

1．诱导公式中角α是任意角．（　×　）

提示　正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．

2．sin（α－π）＝sinα.（　×　）

提示　sin（α－π）＝sin[－（π－α）]＝－sin（π－α）＝－sinα.

3．cos

π＝－

.（　√　）

提示　cos

＝cos

＝－cos

＝－

.

4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．（　×　）

提示　在角度制和弧度制下，公式都成立．

类型一　利用诱导公式求值

命题角度1　给角求值问题

例1　求下列各三角函数式的值：

（1）cos210°；

（2）sin

；（3）sin

；（4）cos（－1920°）．

考点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

题点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

解　

（1）cos210°＝cos（180°＋30°）

＝－cos30°＝－

.

（2）sin

＝sin

＝sin

＝sin

＝sin

＝

.

（3）sin

＝－sin

＝－sin

＝－sin

＝sin

＝

.

（4）cos（－1920°）＝cos1920°

＝cos（5×360°＋120°）

＝cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－

.

反思与感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

（1）“负化正”：

用公式一或三来转化．

（2）“大化小”：

用公式一将角化为0°到360°间的角．

（3）“角化锐”：

用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．

（4）“锐求值”：

得到锐角的三角函数后求值．

跟踪训练1　求下列各三角函数式的值：

（1）sin1320°；

（2）cos

；（3）tan（－945°）．

考点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

题点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

解　

（1）方法一　sin1320°＝sin（3×360°＋240°）

＝sin240°＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－

.

方法二　sin1320°＝sin（4×360°－120°）＝sin（－120°）

＝－sin（180°－60°）＝－sin60°＝－

.

（2）方法一　cos

＝cos

＝cos

＝cos

＝－cos

＝－

.

方法二　cos

＝cos

＝cos

＝－cos

＝－

.

（3）tan（－945°）＝－tan945°＝－tan（225°＋2×360°）

＝－tan225°＝－tan（180°＋45°）＝－tan45°＝－1.

命题角度2　给值求值或给值求角问题

例2　

（1）已知sin（π＋θ）＝－

cos（2π－θ），|θ|<

，则θ等于（　　）

A．－

B．－

C.

D.

考点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

题点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

答案　D

解析　由sin（π＋θ）＝－

cos（2π－θ），|θ|<

，

可得－sinθ＝－

cosθ，|θ|<

，

即tanθ＝

，|θ|<

，∴θ＝

.

（2）已知cos

＝

，求cos

－sin2

的值．

考点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

题点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

解　因为cos

＝cos

＝－cos

＝－

，

sin2

＝sin2

＝1－cos2

＝1－

2＝

，

所以cos

－sin2

＝－

－

＝－

.

反思与感悟　

（1）解决条件求值问题的策略

①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

（2）对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．

跟踪训练2　（2017·大同检测）已知sinβ＝

，cos（α＋β）＝－1，则sin（α＋2β）的值为（　　）

A．1B．－1C.

D．－

考点　诱导公式二、三、四

题点　诱导公式二

答案　D

解析　由cos（α＋β）＝－1，得α＋β＝2kπ＋π（k∈Z），

则α＋2β＝（α＋β）＋β＝2kπ＋π＋β（k∈Z），

sin（α＋2β）＝sin（2kπ＋π＋β）＝sin（π＋β）

＝－sinβ＝－

.

类型二　利用诱导公式化简

例3　化简下列各式：

（1）

；

（2）

.

考点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

题点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

解　

（1）原式＝

＝

＝－

＝－tanα.

（2）原式＝

＝

＝

＝

＝－1.

引申探究

若本例

（1）改为：

（n∈Z），请化简．

解　当n＝2k时，

原式＝

＝－tanα；

当n＝2k＋1时，

原式＝

＝－tanα.

反思与感悟　三角函数式的化简方法

（1）利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．

（2）常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．

（3）注意“1”的变式应用：

如1＝sin2α＋cos2α＝tan

.

跟踪训练3　化简下列各式：

（1）

；

（2）

.

考点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

题点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

解　

（1）原式＝

＝

＝1.

（2）原式＝

＝

＝

＝

.

1．已知tanα＝4，则tan（π－α）等于（　　）

A．π－4B．4C．－4D．4－π

考点　公式二、三、四

题点　公式四

答案　C

解析　tan（π－α）＝－tanα＝－4.

2．sin585°的值为（　　）

A．－

B.

C．－

D.

考点　公式二、三、四

题点　公式二

答案　A

解析　sin585°＝sin（360°＋225°）＝sin（180°＋45°）

＝－sin45°＝－

.

3．（2018·牌头中学月考）利用诱导公式化简：

sin（π－x）＝________，sin（π＋x）＝________.

考点　公式二、三、四

题点　公式四

答案　sinx　－sinx

4．已知600°角的终边上有一点P（a，－3），则a的值为______．

考点　公式二、三、四

题点　公式二

答案　－

解析　tan600°＝tan（360°＋240°）＝tan（180°＋60°）

＝tan60°＝－

＝

，即a＝－

.

5．化简：

·sin（α－2π）·cos（2π－α）．

考点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

题点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

解　原式＝

·[－sin（2π－α）]·cos（2π－α）

＝

·sinα·cosα＝cos2α.

1．明确各诱导公式的作用

诱导公式

作用

公式一

将角转化为0～2π之间的角求值

公式二

将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值

公式三

将负角转化为正角求值

公式四

将角转化为0～

之间的角求值

2.诱导公式的记忆

这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．

3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．

一、选择题

1．（2017·绍兴期末）cos（π＋x）等于（　　）

A．cosxB．－cosx

C．sinxD．－sinx

考点　公式二、三、四

题点　公式二

答案　B

解析　由诱导公式得cos（π＋x）＝－cosx.

2．（2017·绵阳检测）已知sin

＝

，则sin

的值为（　　）

A.

B．－

C.

D．－

考点　公式二、三、四

题点　公式四

答案　C

解析　sin

＝sin

＝sin

＝

.

3．已知sin（π＋α）＝

，且α是第四象限角，则cos（α－2π）的值是（　　）

A．－

B.

C．－

D.

考点　公式二、三、四

题点　公式二

答案　B

解析　因为sin（π＋α）＝

，且sin（π＋α）＝－sinα，

所以sinα＝－

，

又因为α是第四象限角，

所以cos（α－2π）＝cosα＝

＝

＝

.

4．（2017·天津一中期末）化简sin2（π＋α）－cos（π＋α）·cos（－α）＋1的值为（　　）

A．1B．2sin2αC．0D．2

考点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

题点　同名诱导公式（二、三、四）的综合应用

答案　D

解析　原式＝（－sinα）2－（－cosα）·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.

5．记cos（－80°）＝k，那么tan100°等于（　　）

A.

B．－

C.

D．－

考点　公式二、三、四

题点　公式三

答案　B

解析　∵cos（－80°）＝k，∴cos80°＝k，

∴sin80°＝