高中数学公式大全完整版.docx
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高中数学公式大全完整版
高中数学常用公式及常用结论
1.包含关系
ABAABBABCUBCUA
ACBCUABR
U
2.集合
n个;真子集有2n–1个;非空子集有2n–1个;非空的真子集有2n–2
{a,a,,an}的子集个数共有2
12
个.
3.充要条件
(1)充分条件:
若pq,则p是q充分条件.
(2)必要条件:
若qp,则p是q必要条件.
(3)充要条件:
若pq,且qp,则p是q充要条件.
注:
如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
4.函数的单调性
(1)设
x1xa,b,xx那么
212
f(x)f(x)
12在上是增函数;(xx)f(x)f(x)00f(x)a,b
1212
xx
12
f(x)f(x)
12在上是减函数.
(xx)f(x)f(x)00f(x)a,b
1212
xx
12
(2)设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0,则f(x)为减函
数.
5.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数
yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.
6.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么
这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
7.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数
ab
x;两个函
2
数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线
8.几个函数方程的周期(约定a>0)
ab
x对称.
2
(1)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=a;
1
(2),(()0)
f(xa)fx,或
f(x)
9.分数指数幂
f(xa)
1
f(x)
(f(x)0),则f(x)的周期T=2a;
m
n
1
nm
a
(a0,m,nN,且n1).
(2)
a
m
n
1
m
n
a
a(a0,m,nN,且n1).
(1)
10.根式的性质
(1)()nana.
(2)当n为奇数时,
nana.
(2)当n为奇数时,
11.有理指数幂的运算性质
nana;当n为偶数时,
nnaa
0
a|a|
a,a0
.
rsrsrsrsrrr
(1)(0,,)
aaaarsQ.
(2)(a)a(a0,r,sQ).(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).
12.指数式与对数式的互化式log
b
aNbaN(a0,a1,N0)
.
①.负数和零没有对数,②.1的对数等于0:
loga10,③.底的对数等于1:
logaa1,
M
④.积的对数:
MNMN
loga()loglog,商的对数:
logalogMlogN,
aaaa
N
nnn
幂的对数:
MnM
logalog;b
logamblogaa
m
13.对数的换底公式
logN
a
log
log
m
m
N
a
(a0,且a1,m0,且m1,N0).
n
n
推论loglog
ma
bb
a
m
(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).
15.
a
n
s,n1
1
ss,n2
nn1
(数列{}
a的前n项的和为sna1a2an).
n
16.等差数列的通项公式
*
aa1(n1)ddna1d(nN);
n
n(aa)n(n1)
其前n项和公式为1
n
sna1d
n
22
d1
2
n(ad)n.
1
22
17.等比数列的通项公式
a
n11n*
aa1qq(nN)
n
q
;
其前n项的和公式为
n
a(1q)
1
s1q
n
q1
或
s
n
aaq
1n
1q
q1
.
na,q1
1
na,q1
1
18.同角三角函数的基本关系式
22
sincos1,tan=
sin
cos
19正弦、余弦的诱导公式
n
n
sin()
2
2
(1)sin,
n1
2
(1)cos,
(n为偶数)
(n为奇数)
20和角与差角公式sin()sincoscossin;
cos()coscossinsin;
tan()
tantan
1tantan
.
asinbcos=
22sin()
ab(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan
b
a
).
21、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin22sincos.
⑵
2222
cos2cossin2cos112sin(
21cos2
2
cos
,
sin
21cos2
2
).
⑶tan2
2tan
2
1tan
.
22.三角函数的周期公式
函数ysin(x),x∈R及函数ycos(x),x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期
2
T;
函数ytan(x),xk,kZ(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期T.
223.正弦定理
abc
sinAsinBsinC
24.余弦定理
2R
.
2222cos
abcbcA;
2222cos
bcacaB;
2222cos
cababC.
25.面积定理1sin1sin1sin
SabCbcAcaB
(2).
22226.三角形内角和定理
在△ABC中,有ABCC(AB)
27.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
CAB
222
2C22(AB).
(1)结合律:
λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:
(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律:
λ(a+b)=λa+λb.
28.向量的数量积的运算律:
(1)a·b=b·a(交换律);
(2)(a)·b=(a·b)=a·b=a·(b);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
30.向量平行的坐标表示
设a=(x,y),b=(x2,y2),且b0,则ab(b0)x1y2x2y10.
11
31.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ.
32.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
33.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x,y),b=(x2,y2),则a+b=(x1x2,y1y2).
11
(2)设a=
(x,y),b=(x2,y2),则a-b=(x1x2,y1y2).
11
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).
(4)设a=(x,y),R,则a=(x,y).
(5)设a=
(x,y),b=(x2,y2),则a·b=(x1x2y1y2).
11
xxyy
34.两向量的夹角公式1212
cos
2222
xyxy
1122
(a=
(x,y),b=(x2,y2)).
11
35.平面两点间的距离公式dA,B=|AB|ABAB
22
(xx)(yy)(A(x1,y1),B(x2,y2)).
2121
36.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则
A||bb=λax1y2x2y10.
ab(a0)a·b=0
x1x2y1y20.
37.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
xxxyyy
123123
G(,).
33
设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则
(1)O为ABC的外心
222
OAOBOC.
(2)O为ABC的重心OAOBOC0.
(3)O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.38.常用不等式:
(1)a,bR
222
abab(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)a,bR
ab
2
ab(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)ababab.
39已知x,y都是正数,则有
(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2p;
(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值
1
4
2
s.
40.含有绝对值的不等式当a>0时,有
2
2
xaxaaxa.
22
xaxaxa或xa.
41.斜率公式
k
yy
21
xx
21
(
P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).
42.直线的五种方程
(1)点斜式
yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).
(2)斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).
yyxx
(3)两点式11
yyxx
2121
(
yy)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).
12
xy
(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0)
ab
(5)一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).
43.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:
yk1xb1,l2:
yk2xb2①
llkkbb;②
1||212,12llkkbb;②
l1l2k1k21.
(2)若l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,
ABC
①111
l||l
12
ABC
222
;②
llAABB;
1212120
(l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20,
A1A2B1B20).
直线
ll时,直线l1与l2的夹角是
12
2
.
45.点到直线的距离
d
|AxByC|
00
22
AB
(点P(x0,y0),直线l:
AxByC0).
46.圆的四种方程
(1)圆的标准方程
222
(xa)(yb)r.
(2)圆的一般方程
220
xyDxEyF(
224
DEF>0).
47.直线与圆的位置关系
直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:
dr0;dr相切0;
相离
dr0.其中
相交
AaBbC
d.
2B2
A
48.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,OOd
12
dr1r条公切线;dr1r2外切3条公切线;
外离42
r1rdrr相交2;dr1r2内切1条公切线;
条公切线
212
0drr内含.
无公切线12
49.圆的切线方程
(1)已知圆
220
xyDxEyF.
(2)已知圆
222
xyr.
①过圆上的
P0(x0,y0)点的切线方程为
2
xxyyr;
00
50.椭圆
22
xy
221(ab0)
ab
的参数方程是
xa
yb
cos
sin
.
51.椭圆
22
xy
221(ab0)
ab
22
aa
焦半径公式PFe(x),PF2e(x).
1c
c
52.椭圆的的内外部
(1)点
P(x,y)在椭圆
00
22
xy
221(ab0)
ab
的内部
22
xy
00
221
.
ab
(2)点
P(x,y)在椭圆
00
22
xy
221(ab0)
ab
的外部
22
xy
00
221
.
ab
22
xy
53.双曲线221(0,0)
ab
ab
54.双曲线的方程与渐近线方程的关系
的焦半径公式
2
a
PF1|e(x)|
c
,
2
a
PF2|e(x)|
c
.
2222
xyxy
(1)若双曲线方程为1
渐近线方程:
22
220
abab
2
2
xyx
b
(2)若渐近线方程为yx0
双曲线可设为
aaba
b
yx.
a
2
y
.
2
b
22
xy
(3)若双曲线与1
有公共渐近线,可设为
的焦半径公式
22
ab
2
55.抛物线y2px
2
x
2
a
y
b
2
2
(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上).
抛物线
p
22(0)
ypxp焦半径CFx0.
2
pp
过焦点弦长xxp
CDx1x212
22
.
56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
22
AB(xx)(yy)或
1212
2222
AB(1k)(xx)|xx|1tan|yy|1cot(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),由方
211212
程
y
F(
kx
x,y)
b
0
消去y得到ax2bxc0,0,为直线AB的倾斜角,k为直线的斜率).
57
(1)加法交换律:
a+b=b+a.
(2)加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).(3)数乘分配律:
λ(a+b)=λa+λb.
59共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b存在实数λ使a=λb.
P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.
60.向量的直角坐标运算
设a=
(a,a,a),b=(b1,b2,b3)则
123
(1)a+b=
(ab,ab,ab);
(2)a-b=(a1b1,a2b2,a3b3);(3)λa=(a1,a2,a3)(λ∈R);
112233
(4)a·b=
ababab;
112233
61.设A
(x,y,z),B(x2,y2,z2),则ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).
111
62.空间的线线平行或垂直
rr
设a(x,y,z),bxyz
(,,)
111222
63.夹角公式
rr
,则ab
rr
ab
0x1x2y1y2z1z20.
ababab
112233
设a=(a,a,a),b=(b1,b2,b3),则cos〈a,b〉=
.
123
222222
aaabbb
123123
rr
rr
|ab||xxyyzz|
121212
64.异面直线所成角cos|cosa,b|rr
=
222222
|a||b|xyzxyz
111222
rr
oo
(其中(090)为异面直线a,b所成角,a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)
65.直线AB与平面所成角
arcsin
ABm
|AB||m|
(m为平面的法向量).
mnmn
66.二面角l的平面角arccos或arccos
|m||n||m||n|
(m,n为平面,的法向量).
134.空间两点间的距离公式
若A(x,y,z),B(x2,y2,z2),则dA,B=|AB|ABAB
111
222
(xx)(yy)(zz).
212121
67.球的半径是R,则
4
32
其体积VR,其表面积S4R.
3
(3)球与正四面体的组合体:
棱长为a的正四面体的内切球的半径为
6
12
a,外接球的半径为
6
4
a.
1
68
Sh
.
VSh
3
69.分类计数原理(加法原理)Nm1m2mn.
1
Sh
.
VSh
3
70.排列数公式
m
A=n(n1)(nm1)=
n
n!
*,且mn).注:
规定0!
1.
.(n,m∈N
(nm)
!
71.组合数公式
m
C=
n
m
A
n
m
A
m
=
n(n
1
1
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