线段和差最值问题.docx
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线段和差最值问题
实用标准文案
专题一.线段和(差)的最值问题
【知识依据】
1.线段公理——两点之间,线段最短;
2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等;②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线;
3.三角形两边之和大于第三边;
4.三角形两边之差小于第三边;
5、垂直线段最短。
一、已知两个定点:
1、在一条直线 m 上,求一点 P,使 PA+PB 最小;
(1)点 A、B 在直线 m 两侧:
A
A
m
P
m
B
B
(2)点 A、B 在直线同侧:
A
B
B
m
P
m
A、A’ 是关于直线 m 的对称点。
A'
2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q,使 PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:
m
A
m
P'
P
n
Q'
Q
n
B
B
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(2)一个点在内侧,一个点在外侧:
A
m
m
B
P
B
n
Q
n
B'
(3)两个点都在内侧:
A
m
A'
A
m
P
B
n
B
Q
n
B'
(4)、台球两次碰壁模型
变式一:
已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧,在直线 n、m 分别上求点 D、E 点,使得围成的四边形 ADEB 周长最短.
n
n
A
B
A'
A
B
D
m
E
m
B'
变式二:
已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短.
n
n
A'
A
A
Q
m
P
m
A"
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二、一个动点,一个定点:
(一)动点在直线上运动:
点 B 在直线 n 上运动,在直线 m 上找一点 P,使 PA+PB 最小(在图中画出点 P 和点 B)
1、两点在直线两侧:
n
B
n
A
m
P
A
m
2、两点在直线同侧:
n
n
B
A
A
m
P
m
A'
(二)动点在圆上运动:
点 B 在⊙O 上运动,在直线 m 上找一点 P,使 PA+PB 最小(在图中画出点 P 和点 B)
1、点与圆在直线两侧:
O
O B'
B
m
P
P'
m
A
2、点与圆在直线同侧:
O
A
O
B
A
A
P
m
m
A'
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三、已知 A、B 是两个定点,P、Q 是直线 m 上的两个动点,P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两
点,使得 PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)
(1)点 A、B 在直线 m 两侧:
A
P
Q
m
A
P
C
Q
m
B
B
过 A 点作 AC∥m,且 AC 长等于 PQ 长,连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左移动 PQ 长,即为 P 点,此时 P、Q 即为所求的点。
(2)点 A、B 在直线 m 同侧:
A
E
A
B
P
Q
B
m
P
Q
B'
m
四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)
1、在一条直线 m 上,求一点 P,使 PA 与 PB 的差最大;
(1)点 A、B 在直线 m 同侧:
A
A
B
B
m
P
P'
m
(2)点 A、B 在直线 m 异侧:
A
A
B'
m
P'
P
m
B
B
过 B 作关于直线 m 的对称点 B’,连接 AB’交点直线 m 于 P,此时 PB=PB’,PA-PB 最大值为 AB’
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Ⅰ.专题精讲
最值问题是一类综合性较强的问题,而线段和(差)问题,要归归于几何模型:
(1)归于“两点之间的连线中,线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型.
(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型.
Ⅱ.典型例题剖析
B
一.归入“两点之间的连线中,线段最短”
Ⅰ.“饮马”几何模型:
A
条件:
如下左图,A、B 是直线 l 同旁的两个定点.
问题:
在直线 l 上确定一点 P,使 PA+PB 的值最小.
l
模型应用:
1.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点,P 是 AC 上一动点.则 PB+PE 的最小值是.
2.如图,⊙O 的半径为 2,点 A、B、C 在⊙O 上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P 是 OB 上一动点,则 PA+PC 的最小值是
.
.如图,在锐角ABC 中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则
BM+MN 的最小值是.
第 1 题第 2 题第 3 题第 4 题
4.如图,在直角梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点 P 是 AB 上一个动点,当 PC+PD 的
和最小时,PB 的长为__________.
5.如图,等腰梯形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P 是上底,下底中点 EF 直线上的一点,则 PA+PB 的最小
值为.
6.如图,MN 是半径为 1 的⊙O 的直径,点 A 在⊙O 上,∠AMN=30°,B 为 AN 弧的中点,P 是直径 MN 上一动点,则
PA+PB 的最小值为.
第 5 题第 6 题第 7 题
7.已知 A(-2,3),B(3,1),P 点在 x 轴上,若 PA+PB 长度最小,则最小值为.若 PA—PB 长度最大,
则最大值为.
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8.已知:
如图所示,抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A(1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点 P 在该抛物线上滑动,且满足条件
PAB=1 的点 P 有几个?
并求出所有点 P 的坐标;
(3)设抛物线交 y 轴于点 C,问该抛物线对称轴上是否存在点
,使得MAC 的周长最小?
若存在,求出点 M 的坐标;
若不存在,请说明理由.
Ⅱ.台球两次碰壁模型
已知点 A 位于直线 m,n 的内侧,在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点,使 PA+PQ+QA 周长最短.
变式:
已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧,在直线 m、n 分别上求点 D、E 点,使得围成的四边形 ADEB 周长最短.
模型应用:
1.如图,∠AOB=45°,P 是∠AOB 内一点,PO=10,Q、R 分别是 OA、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值.
2.如图,已知平面直角坐标系,A,B 两点的坐标分别为 A(2,-3),B(4,-1)
设 M,N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点,请问:
是否存在这样的点 M(m,0),N(0,n),使四边形 ABMN 的周长最短?
若存
在,请求出 m=______,n = ______(不必写解答过程);若不存在,请说明理由.
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中考赏析:
1.著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧,AB=50km、B 到直线 X
的距离分别为 10km 和 40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P,向 A、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,
图
(1)是方案一的示意图(AP 与直线 X 垂直,垂足为 P),P 到 A、B 的距离之和 S1=PA+PB,图
(2)是方案二的示
意图(点 A 关于直线 X 的对称点是 A',连接 BA'交直线 X 于点 P),P 到 A、B 的距离之和 S2=PA+PB.
(1)求 S1、S2,并比较它们的大小;
(2)请你说明 S2=PA+PB 的值为最小;
(3)拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B 到直线 Y 的距离为
30km,请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q,使 P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
3
18
2.如图,抛物线 y=5x 2- 5 x+3 和 y 轴的交点为 A,M 为 OA 的中点,若有一动点 P,自 M 点处出发,沿直线运动到
x 轴上的某点(设为点 E),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点 F),最后又沿直线运动到点 A,求使点
P 运动的总路程最短的点 E,点 F 的坐标,并求出这个最短路程的长.
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Ⅲ.已知 A、B 是两个定点,P、Q 是直线 m 上的两个动点,P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两
点,使得 PA+PQ+QB 的值最小.(原理用平移知识解)
(1)点 A、B 在直线 m 两侧:
(2)点 A、B 在直线 m 同侧:
模型应用:
1
1. 如图,抛物线 y=-4x 2-xError!
No bookmark name given.+2 的顶点为 A,与 y 轴交于点 B.
(1)求点 A、点 B 的坐标;
(2)若点 P 是 x 轴上任意一点,求证:
PA-PB≤AB;
(3)当 PA-PB 最大时,求点 P 的坐标.
2. 如图,已知直线 y=
1
2
x+1 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 D,
抛物线 y= x +bx+c 与直线交于 A、E 两点,与 x 轴交于 B、C 两点,且 B 点坐标为(1,0).
2
(1)求该抛物线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上找一点 M,使|AM-MC|的值最大,求出点 M 的坐标.
y
E
A
DO
y
B
C
x
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3. 如图,直线 y=-3x+2 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 B,点 A 为 y 轴正半轴上的一点,⊙A 经过点 B 和点 O,
直线 BC 交⊙A 于点 D.
(1)求点 D 的坐标;
(2)过 O,C,D 三点作抛物线,在抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使线段 PO 与 PD 之差的值最大?
若存在,请求
出这个最大值和点 P 的坐标.若不存在,请说明理由.
4. 已知:
如图,把矩形 OCBA 放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取 AB 的中点 M,连接
,把MBC 沿 x 轴的负方
向平移 OC 的长度后得到△DAO.
(1)试直接写出点 D 的坐标;
(2)已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物线上,点 P 在第一象限内的该抛物线上移动,过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q,连接
OP.若以 O、P、Q 为顶点的三角形与△DAO 相似,试求出点 P 的坐标;
(3)试问在
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点 T,使得|TO-TB|的值最大?
若存在,则求出点 T 点的坐标;若不
存在,则说明理由.
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1.归入“三角形两边之差小于第三边”
1.直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1)、B(3,4)的距离之差最大,则 P 点的坐标是.
2.已知 A、B 两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车(看成点 P)在 x 轴上行驶.试确定下列情况下汽车
(点 P)的位置:
(1)求直线 AB 的解析式,且确定汽车行驶到什么点时到 A、B 两村距离之差最大?
(2)汽车行驶到什么点时,到 A、B 两村距离相等?
好题赏析:
原型:
已知:
P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点,求 PA+PB+PC 的最小值.
例题:
如图,四边形 ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意
一点,将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN,连接 EN、AM、CM.
(
)求证:
AMB≌△ENB;
(2)①当 M 点在何处时,AM+CM 的值最小;
②当 M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由;
(3)当 AM+BM+CM 的最小值为3+1 时,求正方形的边长.
变式:
如图四边形 ABCD 是菱形,且∠ABC=
,ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意一点,将 BM
绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN,连接 EN、AM、CM,则下列五个结论中正确的是( )
①若菱形 ABCD 的边长为 1,则 AM+CM 的最小值 1;
②△AMB≌△ENB;
③S 四边形 AMBE=S 四边形 ADCM;④连接 AN,则 AN⊥BE;
⑤当 AM+BM+CM 的最小值为 2
3时,菱形 ABCD 的边长为 2.
A.①②③B.②④⑤C.①②⑤D.②③⑤
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