5.7-5.8 二重积分 经济应用0 ..ppt
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2022年10月14日星期五,1,5.7二重积分,一、概念,与一元定积分的情况类似,我们讨论曲顶柱体的体积的计算。
所谓曲顶柱体,是指以曲面z=f(x,y)为顶、以区域D为底、以D的边界为准线、以平行于z轴的直线为母线所构成的柱体。
思路仍是“化整为零”,“以平代曲”、“积零为整”。
一元函数的定积分应用到多元函数中即得到多重积分。
Newton在讨论万有引力时包含了多重积分的计算,当时他用了几何论述。
为了直观起见,下面从几何中引入二重积分的定义。
2022年10月14日星期五,2,曲顶柱体,2022年10月14日星期五,3,问题曲顶柱体的体积的计算。
解决曲顶柱体的体积的计算步骤:
分割:
把曲顶柱体用分成若干个非常“细”的小曲顶柱体;近似求和:
小曲顶柱体很细小时,把每个小曲顶柱体近似地看作小普通柱体计算体积,把所有的结果加在一起;取极限:
让小曲顶柱体的个数无限增多(这时每个小曲顶柱体也无限地“细”)取极限,所得的结果认为曲顶柱体的体积。
下面详细地讨论计算过程。
分割在中取n个小区域D1、D1、Dn满足:
D1D1Dn=DDiDj=(ij)称之为D上的一个分划。
2022年10月14日星期五,4,记Di的面积为i,i=1,2,n。
以Di为底、z轴为母线、Di的边界为准线作曲顶柱体,记其体积为Vi,则所求曲顶柱体的体积,近似求和对每个Di,称其中任意两点间的距离的最大值为Di的直径,记为di,即di=max|AB|:
A、BDi并记当d充分小(这时每个di都很小)时,每个Di所对应的小曲顶柱体的“顶”可近似看作是“平”的。
2022年10月14日星期五,5,在每个Di中任取一点(i,i),以f(i,i)作为平顶柱体,的高,则第i个小曲顶柱体的体积可近似表示为,原曲顶柱体的体积可近似表示为,取极限,令d0取极限,得到曲顶柱体的计算公式:
2022年10月14日星期五,6,我们把最后的极限式定义为二重积分。
定义设f(x,y)在有界闭区域D上有定义。
将D分为n个小区域1,2,n,第i个小区域的面积为i,直径为di,d=maxd1,d2,dn。
若对,存在,则称f(x,y)在区域D上可积,此极限称为f(x,y)在区域D上的二重积分,记为,其中f(x,y)为被积函数,x、y为积分变量,d为面积元素,D为积分区域。
2022年10月14日星期五,7,注和定积分一样,二重积分的结果为常数,只和函数f(x,y)、区域D有关,和分划方法、(i,i)的取法无关(因此在实际计算重积分时常采用特殊的分划和选点方法),也与变量无关:
关于可积性条件有以下结果:
f(x,y)在D上可积,则f(x,y)在D上有界;f(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D上可积(条件可减弱,如只有有限个间断点的有界函数在有界闭区域内可积)。
2022年10月14日星期五,8,二、性质,性质2(线性性质),性质1,推论,2022年10月14日星期五,9,性质3(区域可加性),性质4,推论1,推论2,2022年10月14日星期五,10,性质5(积分中值定理),2022年10月14日星期五,11,三、计算,根据定义,如果二重积分存在,则其数值只与积分区域和被积函数有关,而与区域的分化方法以及点(i,i)的取法无关。
因此,在实际计算中,为了方便,常根据具体情况采用特殊的分割和选点方法。
下面对直角坐标系和极坐标的情况分别进行讨论。
1、直角坐标系,2022年10月14日星期五,12,在直角坐标系下常采用两组平行于x轴和y轴的直线划分积分区域。
为方便起见,我们首先在x-型区域上讨论二重积分的计算方法。
定义区域D=(x,y)|axb,1(x)y2(x)称为x-型区域。
2022年10月14日星期五,13,引理设一空间立体位于垂直于x轴的两平面x=a与x=b之间,若用垂直于x轴的平面截该立体所得的截面面积可写成x的函数A(x)(axb),则该立体的体积为,由此可知,要计算某立体的体积,先设定一个数轴(记为x轴);把此立体投影到x轴上,得区间a,b;任取xa,b,固定x,过x作与x轴垂直的的平面,和立体相交得一截面;计算这个截面的面积(用A(x)表示),最后立体的体积的计算就是一元定积分的计算。
利用这种方法计算体积的详细过程在5.8里进行讨论。
2022年10月14日星期五,14,2022年10月14日星期五,15,下面计算x型区域D=(x,y)|axb,1(x)y2(x)上f(x,y)的积分。
它表示以D为底、曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。
最后可得曲顶柱体的体积即所求积分为,此曲顶柱体在x轴上的投影为a,b,任取xa,b,过x作与x轴垂直的的平面,它截曲顶柱体而的截面为(这里暂把x当作常数)由z=f(x,y)、y轴、y=1(x)和y=2(x)围成的曲边梯形。
其面积为,2022年10月14日星期五,16,2022年10月14日星期五,16,定理函数z=f(x,y)在D=(x,y)|axb,1(x)y2(x)连续,则,一般地,记,称之为累次积分或二次积分。
一般在直角坐标系下记d=dxdy,称为面积元素。
利用累次积分计算二重积分,关键是上、下限的确定,一般要画出区域D的图形,用“投影穿线法”确定积分限。
2022年10月14日星期五,17,所谓“投影穿线法”,即投影确定外积分限:
将积分区域向x轴投影得区间a,b,则外层上、下限分别为b、a;穿线确定内积分限,过a,b内任意一点作x轴的垂线与积分区域的边界相交,由上至下交点分别为2(x)、1(x),它们就是内层上、下限。
2022年10月14日星期五,18,与x-型区域相对应的还有y-型区域:
定义区域(x,y)|cyd,1(y)x2(y)称为y-型区域。
对积分区域为y-型区域的二重积分的计算与x-型区域对应的方法类似:
定理函数z=f(x,y)在D=(x,y)|cyd,1(y)x2(y)连续,则,确定积分限同样用“投影穿线法”。
注意外层积分限是数值,而内层积分限为y的函数。
计算时,注意在当前计算过程中哪一个为变量,哪一个需要看作常数。
2022年10月14日星期五,19,例区域D由y=0.5x、x=y2+1和y=0所围成,计算,解积分区域如右图:
2022年10月14日星期五,20,2022年10月14日星期五,21,计算二重积分时,首先根据积分区域的形状确定是x-型区域还是y-型区域(若不是标准区域,则把积分区域分割成几个标准区域)。
有时积分区域即可以看作x-型区域也可以看作y-型区域,但用两种区域计算的计算量是不一样的,甚至用一种区域无法计算而只能用另外一种区域计算,这时需选择合适的区域类型进行计算。
例区域D由y=x、x=0和y=1所围成,计算,2022年10月14日星期五,22,解:
积分区域D由y=x、x=0和y=1所围成。
它即是x-型区域又是y-型区域。
若按x-型区域计算:
这个内层的积分无法积出,即按x-型区域无法计算。
下面选择按y-型区域计算:
2022年10月14日星期五,23,解,例5计算累次积分,有时在计算累次积分,用给定类型的区域无法计算,这时需要转化为另一种类型的区域进行计算(这个过程称为交换积分顺序)。
2022年10月14日星期五,24,2022年10月14日星期五,25,练习计算下列二重积分:
答案,2022年10月14日星期五,26,答案,作业:
2022年10月14日星期五,27,2、极坐标系18世纪后叶,Lagrange在关于旋转椭球的引力的著作中用三重积分表示引力,并开始了多重积分变换的研究。
人们通过不断的探索,得到多重积分变换公式。
二重积分换元公式如下:
定理函数f(x,y)在有界闭区域D连续,x=x(u,v),y=y(u,v)在D上有连续的偏导数,记D=(u,v)|(x(u,v),y(u,v)D,则,称为Jacobi行列式。
2022年10月14日星期五,28,在坐标变换下,区域的形状不变。
注:
当积分区域或被积函数中含有x2+y2时,一般考虑用极坐标计算。
1.极坐标系,2.极坐标与直角坐标系下的点之间的关系,(同一点),2022年10月14日星期五,29,例1区域D=(x,y)|x2+y2a2,计算解,2022年10月14日星期五,30,例2区域D=(x,y)|1x2+y22x,y0,计算,解题过程,解画出积分区域D=(x,y)|1x2+y22x,y0,,2022年10月14日星期五,31,2022年10月14日星期五,32,例3区域D=(x,y)|x2+y2x+y,计算,解题过程,解画出积分区域D=(x,y)|x2+y2x+y,,2022年10月14日星期五,33,练习:
2022年10月14日星期五,34,2022年10月14日星期五,35,2022年10月14日星期五,36,2022年10月14日星期五,37,2022年10月14日星期五,37,作业:
计算下列二重积分:
答案,2022年10月14日星期五,38,y,x,o,2022年10月14日星期五,39,可以证明,若f(x,y)在D上连续,只要按某种特殊的扩展方,式极限,存在,则广义积分,收,敛。
因此,在计算广义二重积分时,一般选择有利于计算的特殊区域(如圆、矩形等)扩展方式,讨论相应极限的存在性。
例对广义积分,取圆Da:
x2+y2a2,则,显然a+时DaR2,因此有,2022年10月14日星期五,40,取,Dl:
|x|l,|y|l,则,显然当l+时有DlR2,因此有,由此得到,称之为Poisson积分。
与x无关,可提到对x积分的积分号外面去,与y无关,可提到对y积分的积分号外面去,2022年10月14日星期五,41,5.8经济运用模型,一、平面图形的面积,由定积分的定义可知,当f(x)0时,由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b(ab)与x轴所围图形D的面积为,积分(尤其是定积分)在几何、物理、经济等很多方面有广泛的的应用。
下面分几何和经济两方面作简要介绍。
当f(x)0,这时图形D的面积为,对一般的函数,有以下结果。
2022年10月14日星期五,42,对一般的图形,常先分割成几个标准区域(x-型区域或y-型区域),再分别计算。
1、x-型区域利用上面引理的结果或二重积分很容易得到公式:
定理由曲线y=f(x)、y=g(x)及直线x=a、x=b所围成的图形的面积为,2、y-型区域定理由曲线x=(y)、x=(y)及直线y=c、y=d所围成的图形的面积为,2022年10月14日星期五,43,求面积的步骤:
(1)作出草图;作出图形是求面积的先决条件。
必要时先求交点。
(2)选择积分变量;可找出封闭图形边界上横坐标最小、最大的点,若上下两段边界的方程统一,则可选x作积分变量,否则,选x作积分变量必须将图形分块,这时可找出边界上纵坐标最小、最大的点,若左右两段边界的方程统一,则可选y作积分变量。
(3)列积分式、计算。
一定要注意被积函数是上边曲线的方程减去下边曲线的方程(x为积分变量)或右边曲线的方程减去左边曲线的方程(y为积分变量)。
2022年10月14日星期五,44,另:
由曲线y=f(x),y=g(x)(0f(x)g(x),直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成的曲边带形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为,类似地,若x=g(y)在c,d上连续,由曲线x=g(y)、直线y=c、y=d、x=0(y轴)所围成的图形绕y轴旋转而得到的旋转体的体积为,2022年10月14日星期五,45,另:
由连续曲线x=,直线y=c,y=d,所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得立体的,注:
在两条曲线围成的平面图形旋转的体积公式中,若不满足条件0f(x)g(x)或,(cd)及y轴,体积为,则两个公式一般不能用。
如下图中,曲边带形绕x轴旋转所得旋转体的体积为,2022年10月14日星期五,46,解绕x轴旋转,绕y轴旋转,2022年10月14日星期五,47,例求由圆(x-R)2+
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