方差概念及计算公式.docx
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方差概念及计算公式
方差概念及计算公式
方差概念及计算公式
一.方差的概念与计算公式
例1两人的5次测验成绩如下:
X:
50,100,100,60,50 E(X)=72;
Y:
73,70,75,72,70 E(Y)=72。
平均成绩相同,但X不稳定,对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是
消除符号影响
方差即偏离平方的均值,记为D(X):
直接计算公式分离散型和连续型,具体为:
这里
是一个数。
推导另一种计算公式
得到:
“方差等于平方的均值减去均值的平方”,即
,
其中
分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差,方差描述波动程度。
二.方差的性质
1.设C为常数,则D(C)=0(常数无波动);
2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);
证:
特别地 D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)(方差无负值)
3.若X、Y相互独立,则
证:
记
则
前面两项恰为D(X)和D(Y),第三项展开后为
当X、Y相互独立时,
,
故第三项为零。
特别地
独立前提的逐项求和,可推广到有限项。
三.常用分布的方差
1.两点分布
2.二项分布
X~B(n,p)
引入随机变量Xi(第i次试验中A出现的次数,服从两点分布)
,
3.泊松分布(推导略)
4.均匀分布
另一计算过程为
5.指数分布(推导略)
6.正态分布(推导略)
~
正态分布的后一参数反映它与均值
的偏离程度,即波动程度(随机波动),这与图形的特征是相符的。
例2求上节例2的方差。
解根据上节例2给出的分布律,计算得到
求均方差。
均方差的公式如下:
(xi为第i个元素)。
S=((x1-x的平均值)^2+(x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根
大数定律表表明:
事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p,这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。
就是说当n很大时,事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。
由实际推断原理,在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
用matlab或c语言编写求导程序
已知电容电压uc,电容值求电流i公式为i=c(duc/dt)怎样用matlab或c语言求解
SqlDataSourceID="right"runat="server"ConnectionString="<%$ConnectionStrings: conn2%>"SelectCommand="SELECTtop7[tjid],[title]FROM[rec]WHERE([pass]=@pass)ORDERBY[tuijian]DESC,[date_pass]DESC,[click]DESC"> ParameterDefaultValue="1"Name="pass"Type="Int32"/>
SqlDataSource>
函数的幂级数展开式
通过前面的学习我们看到,幂级数不仅形式简单,而且有一些与多项式类似的性质。
而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。
为此我们有了下面两个问题:
问题1:
函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数
;
问题2:
如果f(x)能表示成如上形式的幂级数,那末系数cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定?
下面我们就来学习这两个问题。
泰勒级数
我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成
这种形式的幂级数,其中a是事先给定某一常数,我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。
由于f(x)可以表示成幂级数,我们可根据幂级数的性质,在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。
得:
,
,
………………………………………………
,
………………………………………………
在f(x)幂级数式及其各阶导数中,令x=a分别得:
把这些所求的系数代入
得:
该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.
关于泰勒级数的问题
上式是在f(x)可以展成形如
的幂级数的假定下得出的.实际上,只要f(x)在x=a处任意阶可导,我们就可以写出函数的泰勒级数。
问题:
函数写成泰勒级数后是否收敛是否收敛于f(x)
函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差
是否随n→+∞而趋向于零.如果在某一区间I中有
那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。
此时,我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.
泰勒定理
设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导,则对于位于此邻区内的任一x,至少存在一点c,c在a与x之间,使得:
此公式也被称为泰勒公式。
(在此不加以证明)
在泰勒公式中,取a=0,此时泰勒公式变成:
其中c在0与x之间
此式子被称为麦克劳林公式。
函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时,我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.
即:
几种初等函数的麦克劳林的展开式
1.指数函数ex
2.正弦函数的展开式
3.函数(1+x)m的展开式
数学应用
1.解线性方程组
矩阵分解(A)[B,C]=返回
chol
lu
qr
svd
schur
求解方程AX=BXA=B
X=A\BX=B/A
恰定cramer公式,矩阵求逆,gaussian消去,lu法%主要就用A\B不要用inv(A)*B
超定求最小二乘解用A\B%基于奇异值分解;用pinv(A)*B%基于householder变换
欠定由qr分解求得
非负最小二乘解X=nnls(A,b,TOL)TOL指定误差,可缺省
零点法求解方程
fzero一元fsolve多元
x=fzero(fun,x0)
[x,fval,exitflag]=fzero(fun,x0,options,P1,P2,...)
注:
x0是猜测的起始点,可用plot先绘fun,用ginput来用鼠标获取零点猜测值
符号方程
X=linsolve(A,B)等于X=sym(A)\sym(B)%例X=linsolve(A,b);XX=X+'k'*null(A)
S=solve('eqn1','eqn2',...'eqnN')
solve('eqn1','eqn2',...'eqnN','var1','var2',...'varN')返回S是结构数组,引用
或返回给[x1,x2,...,xn]
矩阵的特征值和特征向量
D=eig(A)特征值
[V,D]=eig(A)V是特征向量A*V=V*D
[V,D]=eig(A,'nobalance')预先平衡
[V,D]=eig(A,B)广义特征值
符号矩阵同数值矩阵%例中vpa(A)
对角化
[P,D]=eig(A)inv(P)*A*P是对角阵
Jordan标准型
[V,J]=jordan(A)
其他常用
cdf2rdf(V,D)复转实
funm(A,'function')计算函数值
eig
hesshessenberg
expm指数
null奇异值分解零空间标准正交基
orth标准正交基
pinv广义逆
sqrtm平方根
cond条件数
rref阶梯阵
rsf2csf实转复
det行列式
subspace子空间夹角
rank秩
condeig特征值条件数
norm范数
2.多项式
P=poly(A)由给定的根A(根数组,或矩阵之特征值)创建多项式
符号多项式
ploy(A)返回中用x表示,ploy(A,v)中用v来表示
ploy2sym(C)向量转符号多项式
计算
conv(a,b)乘法a=[1321];b=[43910];c=conv(a,b)
[q,r]=deconv(a,b)除法
poly(A)用根构造
polyder(a)求导a=[1321];polyder(a);
polyder(a,b):
polyder(conv(a,b))
[q,d]=polyder(a,b):
b/a的倒数q分子d分母
polyfit(x,y,n)拟合
polyval(p,x)计算x处y=..
polyvalm(p,X)矩阵多项式得值X是方阵
[r,p,k]=residue(a,b)分式展开式r留数p极点k直项
[a,b]=residue(r,p,k)分式组合
roots(a)根
因式分解
factor(s)因式分解
collect(S)合并同类项缺省合并x
collect(S,v)合并v变量同类项
expand(s)表达式展开
简化
pretty将代数式转化为手写格式即改变表示幂、乘方*^的样式
simplify化简表达式,强如:
simplify(sin(x)^2+cos(x)^2)结果1
simple用simplifycollectfactorhorner等简化函数化简,并选取最短的结果
simple(s)化简,并显示中间过程
[R,How]=simples(s)结果给R,过程给How
simple所用的转化运算
combine(trig)三角运算
convert(exp)尽量指数化
convert(sincos)尽量三角式化
convert(tan)尽量tan化
horner多项式转为嵌套形式秦九韶算法
多项式提取
subexpr代换式中一些部分
[Y,s]=subexpr(t,'s')s是复杂式的代换符号,t是原表达式,Y是代换后的式子
subs(S,old,new)将new代入S中的old
3.曲线拟合
多项式拟合
[a,S]=polyfit(x,y,n)对数据(xi,yi)拟合n阶多项式a是系数S是Vandermonde矩阵进行Cholesky分解。
。
。
。
的结构矩阵
[ye,delta]=polyval(a,x,S)利用计算结果估计数据带yi+-deltay超过五阶不好
非线性最小二乘估计转为线性
4.插值和样条
interp1
interpft
interp2
interp3
interpn
griddata
meshgrid
ndgrid
spline
一维插值
yi=interp1(x,y,xi,method)由xy插值xi处,
method可选
linear线性
cubic三次
spline三次样条
nearst最近邻域
二维插值
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)
样条
finder对样条函数求导
fnint对样条函数积分
mkpp(pp)分解出样条各段的数据,依次返回[breaks断点位置,coef,pieces,order,dim]
ppval(pp,xx)由逐段多项式求值
spline
yy=spline(x,y,xx)三次样条xx处值
或pp=spline(x,y)获得多项式数据;yy=ppval(pp,xx)再由pp计算xx处值
unmkpp逐段多项式数据形式的重组
5.数值积分微分
一维数值积分
quadsimpson法,精度高
quad('fun',a,b,tol,trace,p1,p2,...)(被积函数,积分上限,积分下限,tol[相对误差,绝对误差],是否图形显示,参数,...)
quad88样条newton-cotes公式最常用
trapz梯形法定积分
cumtrapz梯形法区间积分
sum等宽矩阵法定积分
cumsum等宽矩阵法区间积分
fnint样条的不定积分
多重数值积分
dblquad('fun',inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method)定积分
积分限为函数时先求G(y)={x2(y),x1(y)}f(x,y)dx再求I={y2,y1}G(y)dy这里用{}表示豆芽符
数值微分
多项式求导polyder
差分算积分diff(X)
6.符号微积分
约定变量x系数a,b
极限
limit(f,x,a)求x->a时f值、
limit(f,x,a,'right')右极限limit(f,x,a,'left')左极限
导数
diff(f,a,n)对变量a求n阶积分,a,n均有默认
差分
Y=diff(F数组,n差分阶数,dim指定维数)
J=jacobian(f列向量,v行向量)雅可比矩阵可用simple化简
积分
int(s,v,a,b)(式,变量,下限,上限)
级数求和
symsum(s,v,a,b)
泰勒级数
taylor(f,n)指定项数(f,a)指定点(f,x)指定变量n,a,x可否连用,顺序
7.常微分方程%以下有待细看
ode23
ode45
ode113
ode23t
ode15s
ode23tb
...
odefile
odeset
odeget
...
odephas2
odephas3
odeprint
8.数据分析和傅立叶变换
9.稀疏矩阵
SM=sparse(A全元素)转为稀疏
FM=sparse(A稀疏)转为全元素
SM=sparse(i,j,s,m,n,nzmax)创建例:
SM=sparse([3124],[1234],[12324],4,4,4)
A=spdiags(B,d,m,n)创建带状矩阵\
S=spconvert(D)从外部导入
常用
issparse
nnz
nonzeroe
nzmax
spalloc
sprun
spones
colmmd
colperm
dmperm
randperm
symrcm
condest
normest
sprank
gplot
spy
etree
etreeplot
treelayout
treeplot
symmd
find
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- 关 键 词:
- 方差 概念 计算 公式