研究生数学建模竞赛优秀论文选《多波次导弹发射中的规划问题》530.docx

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研究生数学建模竞赛优秀论文选《多波次导弹发射中的规划问题》530

"华为杯"第十四届中国研究生数学建模竞赛

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“华为杯”第十四届中国研究生数学建模竞赛

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1.

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2.

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“华为杯”第十四届中国研究生数学建模竞赛

题目多波次导弹发射中的规划问题

摘要：

高技术条件下的现代化战争，机动路线制定的好坏直接决定着导弹暴露时间长短。

要实现机动快、暴露时间短,就必须要有合理的机动方案,其中机动路线如何选择是机动作战决策的一个重要课题[1-3]。

本文利用Excel，Matlab[4]和Python对数据进行处理，并利用Lingo软件对整数规划模型进行求解，主要研究了多波次导弹发射中的规划问题，包括具体的机动路线规划以及发射点的选择，同时为不同类型的发射装置分配合理的转载地域，以达到整体暴露时间最短的目标。

对于问题一，本文认为第一波次齐射的重要性要远大于第二波次，因为只有在第一阶段快速的向敌方发射导弹，达到攻其不备的效果，才能占得先机，实现齐射效果最大化，为接下来的转载作业以及第二波次的发射赢得更多的时间，所以本文将本问题分为两阶段求解，并在优化第一波次时不考虑第二波次。

本文首先构建相连两点间的邻接距离矩阵J’，计算A、B、C三种发射装置的时间矩阵

Ti（i=a,b,c），其次利用Dijkstra算法，根据Ti依次求出三种发射装置分别从D1

和D2出发到达各个发射点F的最短时间以及最短时间路径。

在该问题的两波次齐射任务中，以全部车辆行驶时间总和最小为目标构建整数规划模型，其中24

条路径中的最长时间路径为关键路径，以此为基准调整24台车载发射装置的出发时间，完成第一波次齐射任务具体发射点位分配及机动路线方案的制定。

同样

的，求出从6个转载地域到各个发射点F的最短时间以及最短时间路径，以第一波次发射点到6个转载地域的时间加上6个转载地域到第二波次发射点的时间总和最小为目标，建立整数规划模型。

以第一波次发射点到第二波次发射点的最长时间路径为关键路径，同时将其定为从第一波次发射时刻开始计时的第二波次的齐射时刻，以此为基准调整24台车载发射装置从第一波次发射点的出发时间，完成第二波次齐射任务具体发射点位分配及机动路线方案的制定。

最后，将两个波次的具体发射点位分配和制定的机动路线方案进行合并，即可求出完整的机动路线方案。

对于问题二，由于第一波次发射不受转载地域的影响，其计算结果和问题一相同，对于第二阶段，按照A、B、C三种速度分别计算增设的5个备选转载地域到60个发射点F的最短时间和最短时间路径。

以第一波次发射点到8个转载地域的时间加上8个转载地域到第二波次发射点的时间总和最小为目标，建立整数规划模型，最终确定临时增设的2个转载地域为J25和J34。

对于问题三，首先计算出第一波次的24个发射点和6个备选隐蔽待机点到

其余36个发射点的最短时间和最短时间路径，最后以第一波次发射时刻开始到第二波次发射结束所经过的时间最小为目标，建立整数规划模型。

计算结果表明应选择J14和J15作为隐蔽待机点，其中J14容纳2台C类发射装置，J15容纳一台C类发射装置。

对于问题四，为了找到道路交通网络中的重要节点，保障发射任务的完成，本文提出了基于度和集聚系数的节点重要性度量方法，将该方法应用于道路交通网络，并以本文为例评估该区域道路交通网络的节点重要性。

结果表明：

道路交通网络中的节点重要度与通过该节点的度，集聚系数有关，最后使用该方法得到了道路交通网络节点重要度的排序，求解的结果更贴近实际情况。

对于问题五，在保证整体暴露时间尽可能短的情况下，必须考虑适当分散我方车载装置，同时，还要尽量缩短单台发射装置的最长暴露时间。

我们在问题一第二波次求解的模型基础上增加了一个对转载地域的约束，即在完成两个波次齐射任务的过程中允许在该点进行转载作业的发射装置的最大数量，通过求解得到该数值为5时可得到最优结果。

最后得到24台车载发射装置对应的转载地域和第二波次的发射点，以及整体暴露时长和单台发射装置的暴露时长。

关键词：

多波次导弹发射规划时间矩阵整数规划集聚系数分散策略

1.问题重述

1.1问题背景

随着导弹武器系统的不断发展，导弹在未来作战中将发挥越来越重要的作用，导弹作战将是未来战场的主要作战样式之一。

为了提高导弹部队的生存能力和机动能力，常规导弹大都使用车载发射装置，平时在待机地域隐蔽待机，在接受发射任务后，各车载发射装置从待机地域携带导弹沿道路机动到各自指定发射点位实施发射。

每台发射装置只能载弹一枚，实施多波次发射时，完成了上一波次发射任务的车载发射装置需要立即机动到转载地域（用于将导弹吊装到发射装置的专门区域）装弹，完成装弹的发射装置再机动至下一波次指定的发射点位实施发射。

连续两波次发射时，每个发射点位使用不超过一次。

某部参与作战行动的车载发射装置共有24台，依据发射装置的不同大致分为A、B、C三类，其中A、B、C三类发射装置的数量分别为6台、6台、12台，执行任务前平均部署在2个待机地域（D1，D2）。

所属作战区域内有6个转载地域（Z01~Z06）、60个发射点位（F01~F60），每一发射点位只能容纳1台发射装置。

各转载地域最多容纳2台发射装置，但不能同时作业，单台转载作业

需时10分钟。

各转载地域弹种类型和数量满足需求。

相关道路情况如图1所示

（道路节点J01~J62），相关要素的坐标数据如附件1所示。

图1中主干道路（图中红线）是双车道，可以双车通行；其他道路（图中蓝线）均是单车道，只能在各道路节点处会车。

A、B、C三类发射装置在主干道路上的平均行驶速度分别是70公里/小时、60公里/小时、50公里/小时，在其他道路上的平均行驶速度分别是45公里/小时、35公里/小时、30公里/小时。

部队接受发射任务后，需要为每台车载发射装置规划每个波次的发射点位及机动路线，要求整体暴露时间（所有发射装置的暴露时间之和）最短。

本问题中的“暴露时间”是指各车载发射装置从待机地域出发时刻至第二波次发射时刻为止的时间，其中发射装置位于转载地域内的时间不计入暴露时间内。

暂不考虑发射装置在发射点位必要的技术准备时间和发射后发射装置的撤收时间。

F09

F07

F08

J23

F06

J22

F02

J12

F01

D2

F12

J21

J13

J01

J32

F13

J24

F05

F11

J02

F44

F04

F24

F14

J26

F03

J03

F15

F10J25

J15

F16

F17

Z06

J14

F27

J34

J35

F25J33

J47

J48

F26

F45

J27

F31

F28

J04

F46

J05

F18

J28

F19

F20

F33

F29

F47

J16

J37

F32

Z01

J36

J49

F21

J39

Z04

F34

J50

F50

J29

J17

F30

J30

F37

J38

J06

J51

F48

F36J40

J07

F49

F22

F35

Z02

F51

F52

F53

J31

J18F38

J53

J52

J56

F23

J54J55

J41

J08

F40F39J42

F54

F55

J19Z05

J09

Z03

J57

J60

F56

J20

J43

J45

J59

J44

J58

J10

F59

F41

F60

F57

F58

J62

F42

J46

J61

D1

F43J11

150

100

50

0

050100150200250

图1作战区域道路示意图

1.2需要解决的问题

围绕多波次导弹发射中的任务规划，本文依次解决如下问题：

（1）为24台车载发射装置设计规划出完成两个波次的齐射任务（齐射是指同一波次的导弹同一时刻发射）所需要的具体发射点位分配及机动路线方案，使得完成两个波次发射任务的整体暴露时间最短。

（2）在道路节点J25、J34、J36、J42、J49附近临时增设2个转载地域（坐标就取相应节点的坐标）的基础上，以完成问题一中的两个波次发射任务的整体暴露时间最短为目标，求解出可以增设的2个临时转载地域。

（3）在转载地域仍为事先布设的6个的前提下，新增3台C类发射装置用于第二波次的发射，以完成问题一中的两个波次发射任务的整体暴露时间最短为目标，为这3台发射装置从节点J04、J06、J08、J13、J14、J15中选出最优的隐蔽待机点。

（4）结合图1路网特点，考虑攻防双方的对抗博弈，建立合理的评价指标，

量化分析该路网最可能受到敌方攻击破坏的3个道路节点。

（5）在机动方案的拟制中，既要考虑整体暴露时间尽可能短，也要规避敌方的侦察和打击，采用适当分散机动的策略，同时还要缩短单台发射装置的最长暴露时间。

综合考虑这些因素，重新讨论问题

（1）。

2.基本假设

由于需要确定车载发射装置的行驶路径和经过各个节点的时刻，在整个求解过程中，假设：

假设1第一波次齐射的重要性要远大于第二波次；

假设2在待机区域同时出发的车辆，若为相同型号，则默认一前一后同时出发且不考虑两车之间的安全距离；若为不同型号，则认为速度大的车辆优先出发；假设3在道路节点处允许超车；

假设4车辆可多次进入转载地域，装弹或隐蔽；

假设5不考虑发射装置在发射点位必要的技术准备时间和发射后发射装置的撤收时间；

问题三中，进一步做出以下假设：

假设6车载发射装置可在隐蔽节点停留隐蔽，只要满足到达发射点的时刻是第二波次的齐射时刻即可。

3.符号说明

符号

意义

s

待机区域，s∈D1,D2

c

车载发射装置，c=1,2,3分别表示A、B、C三类

f

发射点，f∈F01,F02,…,F60

xscf

若发射装置c从第s个待机地域前往发射点f，值为1，否则为0

ttcf

表示发射装置c从第s个待机地域前往发射点f的最短时间

i

第一波次发射点位，i=1,2,…,24

j

转载地域，j∈Z01,Z02,…,Z06

j

问题二：

已布设的转载地域和备选转载地域（8个）

k

第二波次备选发射点，k=1…36分别表示第二波次发射点的可选位置

fzij

第i个发射点到转载地域j的最短时间

azfjk

A类发射装置经过转载地域j前往发射点k的最短时间

bzfjk

B类发射装置经过转载地域j前往发射点k的最短时间

czfjk

C类发射装置经过转载地域j前往发射点k的最短时间

xijk

若从第i个发射点经过转载地域j前往发射点k，值为1，否则为0

yi

问题二：

若选择道路节点i为转载地域，值为1，否则为0

m

问题三：

新增的3台发射装置

n

问题三：

备选隐蔽待机点

ifnk

C类车从第j个节点到发射点k的最短时间

ymnk

若m发射装置在n节点隐蔽待机并前往发射点k，值为1，否则为0

N

问题五：

转载地域在完成两个波次齐射任务的过程中允许在该点进行转载作业的发射装置的最大数量

4.问题一

4.1问题分析

问题一要求实施两个波次的齐射任务，每个波次各发射24枚导弹。

给出具体发射点位分配及机动路线方案，使得完成两个波次发射任务的整体暴露时间最短。

题目中作战区域共130个节点且各点坐标已给出，则通过两点间距离公式可求出任意两节点间的距离，但最终目标要以时间为衡量单位，因此本文利用所给三种发射装置的速度，将距离矩阵转换成时间矩阵，用作接下来的规划计算。

在实际作战中，导弹发射系统应该兼顾攻防两种情况，既可以快速准确的完成发射任务，也能够起到良好的防御作用。

在该问题的两个波次的齐射任务中，本文认为第一波次的发射对整体暴露时间的影响程度要大于第二波次，因为只有在第一阶段快速的向敌方发射导弹，达到攻其不备的效果，才能占得先机，为接下来的转载作业以及第二波次的发射赢得更多的时间，所以本文在选择第一波次的发射点时，优先考虑的是与待机区域D1、D2的距离，进一步地，选择与第一波次发射点相近的转载地域进行转载作业，最后第二波次发射点的选择也是基于与转载地域之间的距离。

另外，本文在最后调整24台车载发射装置的出发时刻以及经过各个道路节点的到达时刻和离开时刻时考虑了实际情况中有可能在非主干道路上会发生的会车问题和追击问题，通过调整时间避免两车相撞的情况发生。

比如，C车和A车都会经过J54—J55连通的道路（单车道），根据Lingo求解出的结果，C车会比A车从J54较早出发，到达J55点的时刻却晚于A车，这说明在C车行驶过程中会被A车超车，但是单车道限制了超车情况的发生，此时需要调整A车和C车在J54、J55的到达时刻和离开时刻。

若驶离J55节点后，A车和C车仍将在相同路径上行驶，调整的方法是控制二者到达J55点的时间相同，即C车将以A车的到达时刻到达J55，进而调整C车从J54出发的时间，并依次向前调整C车的时间；若驶离J55节点后，A车和C车将在不同路径上行驶，调整的方法是控制二者驶离J54点的时间相同，即A车将以C车的离开时刻驶离J54，进而调整A车从J55出发的时间，并依次向后调整A车的时间。

4.2模型建立及问题求解

本文将问题一分成两个阶段进行分析，具体求解过程如下：

1.第一波次发射点的确定

步骤1：

根据坐标计算出作战区域任意两点之间的距离得到距离矩阵J，并根据任意两点间是否相连构建0-1邻接矩阵M，其中0表示两点间无线段（道路）连接，1表示两点间有线段相连，不考虑通过多点相连的情况。

J与M相乘得到图中相连两点间的距离矩阵J’=J*M。

步骤2：

根据A、B、C三类发射装置的行驶速度以及距离矩阵J’，得到A、B和C三类发射装置时间矩阵Ta，Tb和Tc。

注意三类装置在双车道及单车道上的行驶速度不同，计算时间时需按照道路类型选择相应的行驶速度。

步骤3：

利用Dijkstra算法，根据Ta，Tb和Tc依次求出A、B、C三种发射装置分别从D1和D2出发到达各个发射点F的最短时间以及最短时间路径，此时共有360条最短时间路径

步骤4：

以全部车辆行驶时间和最小为目标构建整数规划模型，求解最优的路径选择及发射装置分配方案。

整数规划模型[5]构建如下：

minT=xscfttcf

∑

⎧60

⎪

⎪f=1

⎪60

xscf

=3,

c=1,2,∀s

（1）

⎨f=1

s.t.⎪∑xscf=6,

⎪23

k=3,∀s

（2）

⎪

⎪∑∑xscf

s=1c=1

≤1,∀f

（3）

⎪x=0or1（4）

⎩scf

其中，s表示待机地域D1、D2；c=1表示A类车载发射装置，c=2表示B

类车载发射装置，c=3表示C类车载发射装置；f表示作战地域中的60个发射点；

xscf

=1表示发射装置c从第s个待机地域前往发射点f，否则为0；ttcf表示发射

装置c从第s个待机地域前往发射点f的最短时间。

目标函数表示从0时刻开始到完成第一波次齐射任务所需的总时间最短；约束条件

（1）确保了从每个待机地域出发的A类和B类车载发射装置的数量均为3；约束条件

（2）确保了从每个待机地域出发的C类车载发射装置的数量为6；约束条件（3）确保了每一发射点位只能容纳1台发射装置；约束条件（4）将变量xscf设置为0-1变量。

将该数学模型利用Lingo软件[6]进行求解，找到以下24个发射点，以及对应的发射装置类型：

表一第一波次的发射点（问题一）

发射车编号

待机区域编号

发射点

A01

D1

F31

A02

D1

F32

A03

D1

F33

A04

D2

F01

A05

D2

F26

A06

D2

F48

B01

D1

F29

B02

D1

F30

B03

D1

F35

B04

D2

F02

B05

D2

F03

B06

D2

F49

C01

D1

F34

C02

D1

F41

C03

D1

F42

C04

D1

F43

C05

D1

F57

C06

D1

F58

C07

D2

F24

C08

D2

F25

C09

D2

F44

C10

D2

F45

C11

D2

F46

C12

D2

F47

步骤5：

为了确保该阶段所有装置的整体暴露时间最小，以步骤4中模型求解得到的24条路径中的最长时间路径为关键路径，同时将该最长时间定为从0

时刻开始计时的第一波次的齐射时刻，以此为基准调整24台车载发射装置的出发时间，并根据时间矩阵Ti（i=a,b,c）求出每条路径所经过节点的到达时刻和离

开时刻，完成第一波次齐射任务具体发射点位分配及机动路线方案的制定。

2.第二波次发射点的确定

同第一阶段类似，首先依据时间矩阵Ti（i=a,b,c），利用Dijkstra算法依次求

出三种速度情况下从6个转载地域到各个发射点F的最短时间以及最短时间路径。

由于第一波次的24个发射点以及对应的车辆类型已经确定，在第二阶段的

问题求解时可以以第一波次发射点到6个转载地域的时间加上6个转载地域到第二波次发射点的时间总和最小为目标，建立整数规划模型并通过Lingo软件进行求解。

具体模型如下：

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

66361263624636

minT=（fzij+azfjk）xijk+（fzij+bzfjk）xijk+（fzij+czfjk）xijk

i=1

j=1k=1

i=7

j=1k=1

i=13j=1k=1

∑

∑

⎧636

⎪

xijk

=1,∀i

（1）

⎪j=1k=1

∑∑

⎪2436

⎪xijk≥2,∀j

⎪i=1k=1

（2）

⎨∑∑

s.t.⎪246

xijk

≤1,∀k

（3）

⎪i=1j=1

⎪24636

⎪∑∑∑xijk=24（4）

⎪i=1

⎪x

j=1k=1

=0or1（5）

⎪ijk

⎩⎪

其中，i表示第一波次发射点位；j表示6个转载地域；k表示除去第一波次的24个发射点后，剩余的36个可供第二波次选择的发射点；fzij表示第i个发射点到转载地域j的最短时间；azfjk表示A类发射装置经过转载地域j前往发射点k的最短时间，bzfjk表示B类发射装置经过转载地域j前往发射点k的最短时间，

czfjk表示C类发射装置经过转载地域j前往发射点k的最短时间，xijk=1表示从

第i个发射点经过转载地域j前往发射点k，否则为0。

目标函数表示3类车在第二阶段所需要的总时间最短；约束条件

（1）确保了

实施第二波次齐射任务时，选择的24个发射点位中的每一个发射点位只能容纳

1台发射装置；约束条件

（2）确保了每个转载地域都至少有两台车载发射装置前往进行转载作业；约束条件（3）确保了实施两个波次齐射任务时每个发射点位使用不超过一次；约束条件（4）确定了实施第二波次齐射任务的行动方案；约束条件（5）将变量xijk设置为0-1变量。

通过该计算结果可以确定24辆车载发射装置对应的转载地域和第二波次的发射点，具体路径见下表：

表二转载地域和第二波次的发射点（问题一）

发射车编号

待机区域编号

第一波次发射点

转载地域

第二波次发射点

A01

D1

F31

Z04

F39

A02

D1

F32

Z04

F38

A03

D1

F33

Z04

F37

A04

D2

F01

Z06

F18

A05

D2

F26

Z02

F59

A06

D2

F48

Z01

F56

B01

D1

F29

Z04

F36

B02

D1

F30

Z02

F27

B03

D1

F35

Z04

F10

B04

D2

F02

Z06

F19

B05

D2

F03

Z06

F13

B06

D2

F49

Z01

F55

C01

D1

F34

Z04

F11

C02

D1

F41

Z05

F40

C03

D1

F42

Z05

F23

C04

D1

F43

Z05

F20

C05

D1

F57

Z03

F54

C06

D1

F58

Z03

F60

C07

D2

F24

Z06

F12

C08

D2

F25

Z01

F50

C09

D2

F44

Z01

F51

C10

D2

F45

Z01

F52

C11

D2

F46

Z01

F53

C12

D2

F47

Z01

F28

为保证该阶段暴露时间的整体暴露时间最小，以上表计算出24条路径中从第一波次发射点到第二波次发射点的最长时间路径为关键路径，同时将该最长时间定为从第一波次发射时刻开始计时的第二波次的齐射时刻，以此为基准调整

24台车载发射装置从第一波次发射点的出发时间，并根据时间矩阵Ti求出每条

路径所经过的转载地域和道路节点的到达时刻和离开时刻，完成第二波次齐射任务具体发射点位分配及机动路线方案的制定。

最后，将两个波次的具体发射点位分配和制定的机动路线方案进行合并，就可得出完成两个波次发射任务的整体暴露时间为8638.8分钟（143.98小时），其中从开始到完成第一波次发射任务的整体暴露时间为2989.2分钟（49.82小时），从第二波次开始时刻到完成第二波次发射任务的整体暴露时间为5649.6分钟

（94.16小时）。

具体的机动路线方案详见文件E10610009.xls。

5问题二

5.1问题分析

转载地域的合理布设是问题的“瓶颈”之一。

问题二在除去已布设的6个转载地域外，可选择在道路节点J25、J34、J36、J42、J49附近临时增设2个转载地域，因此，应该如何布设临时转载地域，使得完成两个波次发射任务的整体暴露时间最短？

解题的基本思路和问题一大致相同，也分为两个阶段进行分析，其中第一阶段不受转载地域的影响，其计算结果和问题一相同，