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天一专升本高数知识点docx
第一讲函数、极限、连续
1、基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质,奇偶性、有界性
奇函数:
f(-X)=-f(X),图像关于原点对称。
偶函数:
f(-x)=f(X),图像关于y轴对称
3、无穷小量、无穷大量、阶的比较
设α,β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,则
(1)若Iim-=0,贝yα是比β高阶的无穷小量。
β
α
(2)若Iim-=C(不为0),贝yα与β是同阶无穷小量β
・α
特别地,若Iim1,则α与β是等价无穷小量
β
α
(3)若Iim,则α与β是低阶无穷小量
β
记忆方法:
看谁趋向于0的速度快,谁就趋向于0的本领高。
4、两个重要极限
..SinXXd
(1)IimIim1
XQXX>0sinX
..SinSin∣IC
IimOIimo0,
1
IimO(Il)TLe
使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑。
m
-
n
O-
a-b
ZrI
X-X
HX
PnX的最高次幕是n,QmX的最高次幕是m.,只比较最高次幕,谁的次幕高,谁的头大,趋向于无穷大的速度快。
n=m,以相同的比例趋向于无穷大;度趋向于无穷大。
右极限:
Iimf(X)=A
X=Xo
Iimf(x)=A充分必要条件是
X庐0
X>X)
7、左右极限
Iimf(X)=Iimf(X)=A
X_.X)…X)IX)
注:
此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
8连续、间断
连续的定义:
Iim诃=IimDlf(x0:
x)-f(xo^-0
或Iimf(χ)=f(x0)
XrX)
间断:
使得连续定义Iimf(x)=f(x0)无法成立的三种情况
f(Xo)不存在,f(Xo)无意义
∖Iimf(x)不存在
xrxo
IIimf(X)式f(Xo)
Lx—sxo
9、间断点类型
(1)、第二类间断点:
(2)、第一类间断点:
Iimf(x)、Iimf(x)至少有一个不存在
X)X)…X=X)
Iimf(x)、Iimf(x)都存在
XJX^^XJXo
可去间断点:
Iimf(x)=limf(x)
X》X0一XJXO
跳跃间断点:
Iimf(x)=Iimf(x)
Lx→⅞—IXo
注:
在应用时,先判断是不是“第二类间断点”,左右只要有一个不存在,就是"第二类”然后再判断是不是第
一类间断点;左右相等是“可去”,左右不等是“跳跃”
io、闭区间上连续函数的性质
(1)最值定理:
如果f(x)在la,b1上连续,则f(x)在la,b上必有最大值最小值。
(2)•零点定理:
如果f(x)在la,b1上连续,且f(a)f(b):
o,贝yf(x)在a,b内至少存在一点
第三讲中值定理及导数的应用
1、罗尔定理
如果函数目=f(X)满足:
(1)在闭区间la,b上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),
则在(a,b)内至少存在一点,使得f()=O
2、拉格朗日定理如果^f(X)满足
(1)在闭区间la,b上连续
(2)在开区间(a,b)内可导;
f(b)-f(a)
则在(a,b)内至少存在一点,使得f()=
b—a
(*)推论1:
如果函数^f(X)在闭区间⅛,b】上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(X)0,那么
在(a,b)内f(x)=c恒为常数。
记忆方法:
只有常量函数在每一点的切线斜率都为Oo
(*)推论2:
如果f(x),g(x)在la,b】上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(x)=g(x),χ∙(a,b),
3、驻点
满足f(x)=0的点,称为函数f(x)的驻点。
几何意义:
切线斜率为O的点,过此点切线为水平线
设f(X)在点Xo的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点f(x)的极大值,Xo称为极大值点。
X,有f(x):
:
f(Xo),则称f(Xo)为函数
4、极值的概念
X,有f(x)f(X0),则称f(X0)为函数
设f(X)在点X0的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点f(X)的极小值,X0称为极小值点。
记忆方法:
在图像上,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。
5、拐点的概念
连续曲线上,凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点,称为曲线的拐点。
6、
设f(x)在(a,b)内可导,如果f(x)0,则f(x)在(a,b)内单调增加;
如果f(x):
0,则f(x)在(a,b)内单调减少。
记忆方法:
在图像上凡是和右手向上趋势吻合的,是单调增加,f(X)0;
在图像上凡是和左手向上趋势吻合的,是单调减少,f(X)<0;
7、取得极值的必要条件
可导函数f(X)在点x0处取得极值的必要条件是f(x0)=0
8取得极值的充分条件
第一充分条件:
设f(X)在点Xo的某空心邻域内可导,且f(X)在Xo处连续,则
(1)如果XXo时,f(X)0;XXo时,f(X)0,那么f(x)在X。
处取得极大值f(X°);
(2)如果X:
:
:
Xo时,f(X):
:
:
0;XX0时,f(X)•0,那么f(x)在X。
处取得极小值f(X。
);
f(X)同号,那么
f(X)在x0处没有取得极值;
记忆方法:
在脑海里只需记三副图,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。
第二充分条件:
设函数f(x)在点X。
的某邻域内具有一阶、二阶导数,且f(X。
)=O,f(Xo)-0
贝U
(1)如果「(x0):
:
:
0,那么f(X)在X0处取得极大值f(X0);
(2)如果「(x0)∙0,那么f(X)在X0处取得极小值f(X0)
9、凹凸性的判定
设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,
(1)如果f”(x)∙0,x∙(a,b),那么曲线f(x)在(a,b)内凹的;
(2)如果f”(x):
:
:
0,x∙(a,b),那么f(x)在(a,b)内凸的。
图像表现:
:
/
凹的表现
10、渐近线的概念
凸的表现
曲线f(x)在伸向无穷远处时,能够逐步逼近的直线,称为曲线的渐近线。
(1)水平渐近线:
若limf(X)=A,则y=f(x)有水平渐近线y=A
⑵垂直渐近线:
若存在点x0,limf(x)=Q,则y=f(x)有垂直渐近线X=x0
X
11、
洛必达法则
遇到“0”、“二”,就分子分母分别求导,直至求出极限。
O
如果遇到幕指函数,需用f(X)=enf(X)把函数变成“0
O
第二讲导数与微分
1、导数的定义
(1)、f,(xo}=iim^y=iimf(χ0+^χ)—f(χ0^=o
(2)、
f(Xo)=Ihm
f(X。
h)-f(X。
)
h
(3)、
f(X。
)叽
f(X)-f(Xo)
X一X。
注:
使用时务必保证χ0后面和分母保持一致,不一致就拼凑。
2、导数几何意义:
f(X。
)在X=X。
处切线斜率
法线表示垂直于切线,法线斜率与f(X。
)乘积为一1
3、导数的公式,记忆的时候不仅要从左到右记忆,还要从右到左记忆。
4、求导方法总结
(1)、导数的四则运算法则
F
UV=UV
(U■V)二U*VV∙U
F
Z∖FF
U_UV—VU
2
IV丿V
(2)、复合函数求导:
y=MLX虹由y=f(u)与U=二(X)复合而成,则
dydy,dUdχdUdχ
(3)、隐函数求导
对于F(X,y)=O,遇到y,把y当成中间变量U然后利用复合函数求导方法。
(4)、参数方程求导
dy
'x=9(t)Jy=屮
确定
(t)
可导函数y=f(X),则dy
dx
__dt
dx
二(t)
'(t)
dt
d2y
dx2
d(dy、
d()
dx
dx
d(dy)
dx
dt
dx
dt
(5)、对数求导法先对等号两边取对数,
(6)、幕指函数求导
再对等号两边分别求导
幕指函数目=U(X)V(X),利用公式^eIna
y=elnu(X)V(X)
V(X)lnU(x)
e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。
第二种方法可使用对数求导法,先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导注:
优选选择第二种方法。
5、高阶导数
对函数f(x)多次求导,直至求出。
6、微分
dy=ydx
记忆方法:
微分公式本质上就是求导公式,后面加
7、可微、可导、连续之间的关系
可微=可导
可导=连续,但连续不一定可导
8可导与连续的区别。
脑海里记忆两幅图
dx,不需要单独记忆。
2
y=x在χ=0既连续又可导。
所以可导比连续的要求更高。
y=X在χ=0只连续但不可导。
第四讲不定积分
、原函数与不定积分
1、原函数:
若F(X)=f(x),则F(X)为f(x)的一个原函数;
2、不定积分:
f(x)的所有原函数F(x)+C叫做f(x)的不定积分,记作.f(x)dx=F(x)∙C
二、不定积分公式
记忆方法:
求导公式反着记就是不定积分公式
三、不定积分的重要性质
F
1、〔f(x)dχl=f(x)或df(x)dx=f(x)dx
2、f(x)dx=f(x)C
注:
求导与求不定积分互为逆运算。
四、积分方法
1、基本积分公式
2、第一换元积分法(凑微分法)
把求导公式反着看就是凑微分的方法,所以不需要单独记忆。
3、第二换元积分法
、axb,令i=axb
一a-x2令X=asint
三角代换*∙√x2—a2令X=asect
r',χ2+a2令x=atant
三角代换主要使用两个三角公式:
Sin2t■cos21=1,1tan2t=SeCt
4、分部积分法UdV=UV-VdU
第五讲定积分
1、定积分定义
bn
af(x)dx"imJf(J%
如果f(x)在la,b上连续,则f(x)在la,b】上一定可积。
理解:
既然在闭区间上连续,那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形,面积存在所以一定可积,因为面积是常数,所以定积分如果可积也是常数。
2、定积分的几何意义
(1)如果f(x)在fe,b】上连续,且f(x)>O,则[f(x)dx表示由f(x),x=a,x=b,χ轴所围成的
b
曲边梯形的面积。
S=af(x)dx。
(2)如果f(x)在a,b上连续,且f(x):
:
:
O,S=-Rt3f(x)dx。
3、定积分的性质:
bb
(1)akf(x)dx=k[f(x)dx
bbb
(2)αf(X)-g(x)dx=αf(x)dx-.αg(x)dx
bCb
(3)af(x)dx=αf(x)dxcg(x)dx
baab
(4){1dx=b-aLaf(x)dx=0{f(x)dx=-Jaf(x)dx
bb
(5)如果f(X)Eg(x),则f(x)dxJg(x)dx
Ia“a
(6)设m,M分别是f(x)在la,b1的min,max,则
b
m(b一a)岂f(x)dx乞M(b一a)
a
M
m
I►
记忆:
小长方形面积乞曲边梯形面积乞大长方形面积
(7)积分中值定理
如果f(x)在⅛,b】上连续,则至少存在一点EE【a,b】,使得Jaf(X)dx=f(:
)(b—a)
记忆:
总可以找到一个适当的位置,把凸出来的部分切下,剁成粉末,填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。
称」f(x)dx为f(X)在a,b1上的平均值。
^aa
4、积分的计算
(1)、变上限的定积分
X
(af(t)dt)=f(x)
X
注:
由此可看出来S(X)=Laf(t)dt是f(X)的一个原函数。
而且变上限的定积分的自变量只有一个是X而不是t
(2)、牛顿一莱布尼兹公式
设f(x)在a,b】上连续,F(X)是f(x)的一个原函数,则ff(χ)dx=F(x);=F(b)—F(a)由牛顿公式可以看出,求定积分,本质上就是求不定积分,
只不过又多出一步代入积分上下限,所以求定积分也有四种方法。
'基本积分公式
第一换元积分法(凑微分法)
'第二换元积分法
[分部积分法
5、奇函数、偶函数在对称区间上的定积分
(1)、若f(x)在[—a,a】上为奇函数,则[f(x)=O
(2)、若f(x)在[—a,a】上为偶函数,则Jf(X)=2j0f(x)dx
注:
此方法只适用于对称区间上的定积分。
C
f(x)dx二Iimaf(x)dx
b
f(x)dx=l∣m⅛f(x)dx
C÷C
f(x)dX=L(X)dxcf(x)dx
上函数减去下函数在边界
la,b1上的定积分。
面积S=f〔f(X)—g(x)dx,记忆:
面积等于
a
面积S=CdH(y)—(y)dy
记忆方法:
把头向右旋转90°就是第一副图。
8、旋转体体积
abX
曲线
(2)、
(1)y↑∕∖f^)
阴影部分绕绕X轴旋转一周所得旋转体体积:
VX=兀f〔f2(X)-g2(x)dx
X-τ(y)绕y轴旋转一周所得旋转体体积
=Q
G
(y)
阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积:
Vy=兀『b2(y)—L2(y)dy
)、直线与平面的相关考试内容
、二元函数的极限
定义:
设函数Z=f(X,y)在点(xo,y°)某邻域有定义(但(Xo,yo)点可以除外),如果当点(x,y)无论沿着任何途径趋向于(χ0,y0)时,Z=f(x,y)都无限接近于唯一确定的常数A,则称当点(x,y)趋向于(x0,y0)时,z=f(x,y)以A为极限,记为
(x,y)r(xo,y°)
二、二元函数的连续性
若Iimf(x,y)=f(xny°),则称Z=f(x,y)在点(χ°,y°)连续。
(x,y)―(xo,yo)
注:
z=f(x,y)的不连续点叫函数的间断点,二元函数的间断点可能是一些离散点,也可能是一条或多条曲
线。
三、二元函数的偏导数
四、偏导数求法
由偏导数定义可看出,对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量,其它的变量都当成常数看待。
五、全微分:
dzdxdy
.l~-l.l~∙.
XV
六、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系
二元函数可微,则必连续,可偏导,但反之不一定成立。
若偏导存在且连续,则一定可微。
函数Z=f(x,y)的偏导存在与否,与函数是否连续毫无关系。
七、二元复合函数求偏导
设Z=f(u,v),u=(x,y),v-:
(x,y),
L、.∙-∙1.∙-∙1.∙-∙l.∙-∙1
ZZUZV贝y
L、L、L、
XUXVX
注:
有几个中间变量就处理几次,按照复合函数求导处理。
八、隐函数求偏导
方程F(x,y,z)=O确定的隐函数为z=f(x,y),则对等号两边同时对X求导,遇到Z的函数,把Z当成中间变量。
第八讲多元函数积分学知识点
1、
f(x,y)dxdy=
D
几何意义:
代表由
f(x,y),D围成的曲顶柱体体积。
重积分的概念、性质
2、性质:
(1)!
]kf(x,y)dxdy=kf(x,y)dxdy
DD
(2)〔f(x,y)g(x,y)dxdy「f(x,y)dxdy+g(x,y)dxdy
DDD
(3)、JJay=D
D
(4)D=DlD2,f(x,y)dxdy=f(x,y)dxdy+f(x,y)dxdy
DD1D2
(5)若f(X,y)乞g(x,y),则f(x,y)dxd^g(x,y)dxdy
DD
(6)若m空f(x,y)乞M,则mD-f(x,y)dxdy-MD
D
⑺设f(x,y)在区域D上连续,则至少存在一点「,)D,使..f(x,y)dxd^f(,)D
D
、计算
(1)D:
a乞X岂b"1(x)乞y乞∖(x)
b⅛(x)
f(x,y)dxdy=,%、心)f(x,y)dy
D
(2)D:
d,1(y)zχ∖(y),
dQ(X)
f(x,y)dxdy=cdy心)f(x,y)dy
D1
技巧:
“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围,然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围
(3)极坐标下:
X=rcosτ1,y=rsin^,dxdy=rdrd-
∣∙,r(τl)
f(x,y)dxdy=d「0f(rcos二,rsin二)rdr
三、曲线积分
D一
1第一型曲线积分的计算
(1)若积分路径为L:
y=(x),a-x-b,贝U
Lf(X,y)ds=:
f(x,(x))(一(x))2dx
(2)若积分路径为L:
X=(y),c^y^d,贝U
Lf(x,y)ds=:
f(「(y),y)J^F(y))2dy
‘X=e(t)α
(3)若积分路为L:
」,α≤t≤B,则
A=%)
Lf(x,y)ds^j((t),(t))..(—(t))2—L(t))2dt
2、第二型曲线积分的计算
(1)若积分路径为L:
y="x),起点X=a,终点y=b,贝y
LP(x,y)dx+Q(x,y)dy={IP(x,d(χ))+Q(xf(X))A(X)dx
(2)若积分路径为L:
X=(y),起点y=c,终点y=d,贝U
LP(χ,y)dχQ(x,y)d厂CdIPC:
(y),y)^:
(y)QC(y),y)dy
X=(I)(t)P
(3)若积分路为L:
」,起点t=α,终点t=P,贝U
L(t)
LP(X,y)dxQ(x,y)dy=JP((t),(t))(t)Q((t),「(t))「(t)Idt
第九讲常微分方程
-、基本概念
(1)微分方程:
包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。
其中未知函数是一元函数的叫常微分
方程。
(2)微分方程的阶:
微分方程中未知函数导数的最高阶数。
(3)微分方程的解:
满足微分方程y=f(x)或f(x,y)=O。
前者为显示解,后者称为隐式解
(4)微分方程的通解:
含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解
(5)初始条件:
用来确定通解中任意常数的附加条件。
(6)微分方程的特解:
通解中的任意常数确定之后的解。
二、一阶微分方程
1、可分离变量的微分方程
(1)形如dy=f(x)g(y)的微分方程。
dx
解法:
变形为
dy二g(y)
f(x)dx,
两边作不定积分求出通解。
(2)形如
解法:
令--
X
U,则y=UX,两边对X求导,然后代入原方程,则变量分离
2、一阶线性微分方程
一阶线性齐次微分方程
形如dy■P(X)y=0。
解法:
变量分离dx
一阶线性非齐次微分方程
形如-yP(X)^Q(X)解法:
常数变易法或公式法dx
注:
一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:
在通常使用中建议选择常数变易法
-P(x)dxP(X)dx
y=eQ(x)edxC
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